Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

727

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

																																	12
		6						cos n 1																													при n нечетном
		6																												2n2							при n нечетном

			2n2
			2n2																																		при n четном.
																									0												при n четном.
				1 l															nx												1			0							nx													2			nx
bn						f (x) sin																	dx												6sin												dx 3x sin															dx


				l l																l											2				2								2											0			2
																						u x														dv sin									nx
																																													nx
	интегрируем																																															2				dx
																																							2									2
			по частям :																		du dx														v				2				cos							nx
			по частям :																		du dx														v				n				cos
																																							n											2
	6			2 cos nx															0				3				2x cos											nx					2							3			2		2		nx dx
																			0																								2												2
																																																							cos
																																																					n		cos
	2			n											2				2				2							n									2				0							2			n		0		2
		6																	2									3															0								6				0	nx			2
						1 cos( n)																										2cos n 0																							sin

		n																								n																									2n2					2			0


			6							6				cos n											6				cos n 0																	6						0 0								6			.
			n											cos n															cos n 0														2n2									0 0											.
			n						n															n																			2n2															n
Тогда разложение функции имеет вид (10.4):
								9								12									x										12										3 x										12							5 x
f (x)																				cos																				cos																	cos							...
f (x)																2				cos														2 32						cos															2	52	cos							...
								2								2										2								2 32												2									2	52					2
				6								x						6									2 x								6							3 x
							sin														sin																	sin											...
							sin											2			sin														3			sin											...
													2					2										2							3								2
	9				12											x					1												3 x						1								5 x
											cos															cos															cos												...
					2						cos										32					cos												52			cos												...
	2				2											2					32													2				52												2
	6								x						1						2 x										1						3 x
			sin														sin																	sin									...
			sin														sin																	sin									...
										2					2						2										3					2
																																							0,							при 2 x 1,
б) Заданная функция																																	f (x)											при 1 x 1,																			(рис.		11)
б) Заданная функция																																	f (x)						x,					при 1 x 1,																			(рис.		11)
																																							0,							при									1 x 2.

имеет период 2l 4 l 2 , нечетная, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.6).

Найдем коэффициенты ее разложения a0 an 0 ;

Рис. 11

	2 l		nx		2	1		nx	2	nx
bn		f (x) sin		dx			x sin		dx 0sin
	l		l		2			2		2	dx
		0					0		1

								u x								dv sin							nx				dx
																							nx
	интегрируем																							2
																		2						2
								du dx								v		2			cos					nx
	по частям :							du dx								v		n			cos
																		n								2
					1					1
					1					1
	2x cos nx							2		cos nx dx
	2x cos nx							n		cos nx dx
	n		2		0			n		0				2
					0					0							1
	2 cos		n 0					4			sin			nx					2 cos								n				4	sin	n	0.
								4						nx													n				4		n

	n		2				2n2							2			0		n									2			2n2		2
	n		2				2n2							2			0		n									2			2n2		2
Тогда разложение функции имеет вид
		4				x				1			3 x					1							5 x
f (x)				sin							sin									sin									...
f (x)				sin					32		sin							52		sin									...
			2			2			32					2				52								2
												1										1								1
															sin x									sin 2 x							sin	3 x ... .
															sin x									sin 2 x							sin	3 x ... .
																						2								3

§11.Ряды Фурье для непериодических функций 1. Ряды Фурье для непериодических функций,

заданных на отрезке [–l, l]

Пусть функция f(x) определена на отрезке l,l и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Можно тогда рассмотреть новую функцию F(x) с периодом T 2l , совпадающую с заданной функцией f(x) на отрезкеl,l . Так как функция F(x) – периодическая, то ее можно разложить в ряд Фурье. На заданном отрезке l,l она будет представлять функцию f(x). Таким образом, разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке (интервале), симмет-

ричном относительно начала координат, можно найти, разложив соответствующую периодическую функцию с периодом, равным длине этого отрезка.


	54. Разложить функцию в ряд Фурье в заданном интервале:
а)	f (x) x 5 в интервале (–3, 3);
б)	f (x) 1				x	в интервале( 1, 1) ;

в)	f (x)		x	в интервале( 1, 1) .

		2
		Решение.
	а)	Данная функция f (x) x 5 не является периодиче-
ской.		Она задана лишь в интервале ( 3, 3) . Если положить,
что выполняется условие f (x 6) f (x), то получим перио-

дическую функцию с периодом T 2l 2 3 6 . Эту периодическую функцию разложим в ряд Фурье, который будет вместе с тем и разложением заданной функции в интервале ( 3, 3) . Найдем коэффициенты разложения, используя (10.4):

					1 l										1	3														1	x2							3
					1 l										1	3														1	x2							3
a0								f (x)dx								(x 5)dx																							10 ;

																																		5x
						l l									3 3															3		2						3
						l l									3 3																							3
					1 l							nx											1 3											nx
a	n							f (x) cos								dx											(x 5) cos										dx
a								f (x) cos								dx											(x 5) cos										dx
						l l								3										3 3											3
						l l								3										3 3											3
		1	3							nx								5 3										nx
							x cos								dx											cos					dx
							x cos								dx											cos					dx
		3								3								3										3
			3 нечетн.																		3
								четн.																			четн.

								нечетн.
						10		3	nx dx											10							3	sin nx					3
								3																									3
0								cos																										0 .
0								cos																										0 .
						3		0		3												3				n					3		0
				1 l				0																	3								0
b				1 l				f (x)sin			nx					dx							1		3		(x 5)sin						nx			dx
b								f (x)sin								dx											(x 5)sin									dx
n					l l									l									3 3											3
					l l									l									3 3											3
		1	3						nx								5			3							nx					2		3					nx
							x sin						dx										sin						dx						x sin					dx
							x sin						dx										sin						dx						x sin					dx
		3								3							3										3					3							3
			3 нечетн.																3															0
								нечетн.																	нечетн.

четн.

dv sin

интегрируем

2 3x

3 n cos

по частям :

cos

nx dx

cos

cos n 0

sin

2n2

при n нечетном,

cos n

при n четном.

Таким образом, разложение в ряд Фурье данной функции в интервале ( 3, 3) имеет вид:

2 x

3 x

4 x

f (x) 5

sin

... .

3 2

б) Для разложения в ряд

Фурье функции f (x) 1

в интервале( 1, 1)

(рис. 12)

рассмотрим

периодическую

функцию, для которой вы-

полняется

условие

f (x 2) f (x) и разложим

ее в ряд Фурье. Т.к. на за- Рис. 12 данном интервале функция является четной, воспользуемся

формулами (10.5) при T 2l

l 1:

f (x)dx 2 (1 x)dx 2 x

2 l

f (x) cos

dx 2

x) cos nxdx

u 1 x

dv cos nxdx

интегрируем

по частям :

du dx

sin nx

			1		1			2		1		2		1
					1					1				1
2(1 x)				sin nx						sin nxdx 0			cos nx
2(1 x)			n	sin nx			n			sin nxdx 0		2n2	cos nx
			n		0		n			0		2n2		0
					0					0				0
									4
	2										при n нечетном,
	2										при n нечетном,
		(cos n 1)							2n2
	2n2	(cos n 1)							2n2
	2n2										при n четном.
						0					при n четном.

Следовательно, разложение данной функции в заданном интервале имеет вид:

f (x)

cos x

cos 3 x

cos 5 x ... .

в) Для разложения в

ряд

Фурье

функции

f (x)

в интервале ( 1, 1)

(рис. 13) рассмотрим пери-

одическую

функцию,

для

которой выполняется усло-

Рис. 13

вие

f (x 2) f (x) и раз-

ложим ее в ряд Фурье. Т.к. на заданном интервале функция

является

нечетной,

воспользуемся

формулами (10.6) при

T 2l 2, l 1: a0 an 0 .

2 l

n x

f (x)sin

dx 2

sin

nx dx

интегрируем

dv sin nxdx

по частям :

cos nx

cos nxdx

cos n 0

при n нечетном,

sin nx

cos n n

при n четном.

Следовательно, разложение данной функции в заданном интервале имеет вид:

	1		1		1		1
f (x)		sin x		sin 2 x		sin 3 x		sin 4 x ... .
f (x)		sin x		sin 2 x		sin 3 x		sin 4 x ... .
			2		3		4

2.Ряды Фурье для непериодических функций, заданных на отрезке от [0, l]

Пусть функция f(x) определена на отрезке [0, l] и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье.

Если график данной функции продолжить на отрезке [ l, 0] симметрично относительно оси ординат, то есть положить, что на отрезке [ l, 0] выполняется условие f ( x) f (x) , то на отрезке [ l, l] получим четную функцию, которая может быть разложена в ряд Фурье (рис. 14). Полученное разложение будет содержать только косинусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке[0, l] .

Рис. 14	Рис. 15
Если график данной функции	продолжить на отрезке

[ l, 0] симметрично относительно начала координат, то есть

положить, что	на отрезке [ l, 0] выполняется условие
f ( x) f (x),	то на отрезке [ l, l] получим нечетную функ-

цию, которая может быть разложена в ряд Фурье (рис. 15). Полученное разложение будет содержать только синусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке [0, l] .

Таким образом, если функция f(x), заданная на отрезке [0, l], удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то

ее можно разложить в ряд Фурье как по синусам, так и по косинусам.

55. Разложить данную функцию в указанном интервале в ряд Фурье по косинусам:

	f (x)		0,3			при		0 x 0,5,
а)	f (x)
			0,3 при					0,5 x 1
б)	f (x)				x	на отрезке [0; ].
б)	f (x)					на отрезке [0; ].
			4	2
	Решение.
а)	Чтобы				получить разложение					данной функции
f (x)		0,3		при				0 x 0,5,
f (x)									в ряд	Фурье, содержащий
		0,3 при					0,5 x 1
только		косинусы,						продолжим функцию на отрезке [ 1; 0]

четным образом. Получим четную функцию, совпадающую с данной на отрезке [0;1] (рис. рис. 16)

Рис. 16

Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы

(10.5): l 1, bn 0 ,

	2		1		0,5		1	2 0,3x
a0				f (x)dx 2	0,3dx		0,3dx		0,5	0,3x	1
									0,5		1

1									0		0,5
1			0		0		0,5
2 0,15 0,3 0,15 0;
			1			0,5		1
an		2	f (x) cos n x dx			2	0,3cos nx dx 0,3cos nx dx
an			f (x) cos n x dx			2	0,3cos nx dx 0,3cos nx dx
1				1
1			0	1			0	0,5

[0; ]

		0,3				0,5		0,3			1			0,6		n
		0,3				0,5		0,3			1			0,6		n
2			sin nx						sin nx						sin		0	sin n
2		n	sin nx					n	sin nx					n	sin		0	sin n
		n						n						n		2
						0					0,5
						0					0,5
	n						n			( 1)k 1 6			при n 2k 1 - нечетном
				6
				6
sin					sin			5 (2k			1)
sin				5 n	sin		2	5 (2k			1)
		2		5 n			2			0		при n четном.
										0		при n четном.

Таким образом, искомое разложение

			6		cos x		cos3 x		cos5 x
f (x)										...
f (x)			5							...
			5			1		3	5
	( 1)	k 1		cos(2k 1) x
	( 1)			cos(2k 1) x				... .
								... .
				2k 1
				2k 1

б) Чтобы получить разложение данной функции

f (x) x на

4 2

отрезке в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжим функцию на отрезке [ ; 0] четным образом. Получим четную функцию, совпадающую с данной на отрезке [0; ] (рис. 17).

Рис. 17

Для вычисления коэффициентов Фурье применим фор-

мулы (10.2):

						2				2				x		2			x2


bn 0, a0							f (x)dx								dx			x

													2				4		4
							0				0 4		2				4		4	0
	2		2		2
							0	0 ;
							0	0 ;
		4				4
		4				4
		2							2					x
an				f (x) cos nx dx											cos nx dx
an				f (x) cos nx dx									2		cos nx dx
											4		2
			0								0
												98

																		x
																		x
интегрируе м											u									dv cos nx dx
интегрируе м											u		4				2			dv cos nx dx
													4				2				1

по частям																1				v		sin nx
по частям																1				v		sin nx
											du							dx			n
											du							dx			n
																2			1
2						x			1									2					1		1
2						x			1									2					1		1
											sin nx									sin nx				dx		sin n 0
											sin nx									sin nx				dx		sin n 0
				4 2						n				0					0 n				2		2n
1			cos nx						0			1			cos n cos 0


n2								0				n2


															2
		1																при n нечетном,
		1																при n нечетном,
					cos		n 1 n2
	n			2	cos		n 1 n2
	n			2
												0						при n четном.

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

cos 3x

cos 5x

f (x)

cos x

... .

56. Разложить данную функцию в указанном интервале

0 x

в ряд Фурье по синусам:

f (x)

при

2 ,

x .

x при

Решение.

Чтобы получить разложение данной функции на отрезке [0; ] в ряд Фурье, содержащий только синусы, продолжим функцию на отрезке [ ; 0] нечетным образом. Получим нечетную функцию, совпадающую с данной на отрезке [0; ] (рис. 18). Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы (10.3): a0 an 0 .


	2		2	2	2
bn	2	f (x) sin nx dx	2	x sin nx dx	2	( x) sin nx dx
bn		f (x) sin nx dx		x sin nx dx		( x) sin nx dx
		0		0
						2

интегрируе м по частям :

u x

dv sin nx dx

u x

dv sin nx dx

;

du dx

cos nx

v cos nx

2( x)

cos nx

cos nx dx

cos nx

cos n

cos nx dx

sin nx

sin

sin n

sin

					4
			( 1)n 1
			( 1)n 1		n	2
					n
		sin n
	4		( 1)n		4
			( 1)n
n2		2		n2
n2		2		n2
			0

при n 2k 1, где k нечетное,

при n 2k 1, где k четное,

при n четном.

Рис. 18

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

	4		sin 3x	sin 5x	sin 7x
f (x)		sin x					... .
			32	52		2
					7

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf