Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

727

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

вычислим предварительно значение х.

1 x	3,5 3,5(1 x) 1 x 4,5x 2,5 x	5	.
1 x		9

Подставим найденное х в разложение.

				5						5			3		5		5
										5					5


			1 9
ln 3,5 ln			1 9			2		5		9					9
ln 3,5 ln						2
		1		5				9		3					5
				5				9		3					5

				9

	5	53					55			57					59
2
2					3			5				7				9
	9	3 9			3		5 9	5	7		9	7		9 9		9
	9	3 9					5 9		7		9			9 9

...

... .

Т.к. пятый член разложения	59	0,0006 0,001, для удо-
	9 99

влетворения заданной точности достаточно вычислить сумму первых четырех слагаемых разложения:

ln 3,5 2 0,5556 0,0572 0,0106 0,0023 1,251. 41.Вычислить приближенно с точностью 0,0001:

а) ln10; б) lg е; в) ln5.

2. Применение рядов к приближенным вычислениям определенных интегралов

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

f (x)dx , для которого не может быть использована формула

Ньютона-Лейбница, т.к. первообразная функция не выражается в элементарных функциях. Если подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования [a, b] принадлежит области сходимости этого ряда, то, по теореме об интегрировании сходящегося степенного ряда, можно проинтегрировать почленно полученный сходящийся ряд в указанных пределах. А затем найти сумму нескольких первых членов, удовлетворяя заданной точности вычислений.

42.Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена

иинтегрируя его почленно, найти разложения в ряд следую-

щих интегралов: а) sin x2dx ; б) xexdx .

Решение.

а) Для разложения sin x2dx воспользуемся рядом Маклорена для sin x (7.7), заменим в нем х на х2:

	2		2	x6	x10		n 1	x4n 2
sin x		x				... ( 1)			....
sin x		x				... ( 1)			....
				3!	5!			(2n 1)!

Почленно интегрируя, получим искомое разложение:

sin x2dx	x3	x7	x11	x15	... C .
		3! 7	5! 11	7! 15
3

б) Для разложения xexdx заменим функцию ех ее ря-

дом Маклорена (7.6), почленно умножая его на x и интегрируя:

...

x 1

... dx

2n 1

x 2

...

... dx

2n 3

x 2

...

x 2

...

x 2

5 1! 7 2!

2n 3 n!

2x2

2x3

2xn 1

2x x

...

5 1!

7 2!

(2n 3) n!

43. Вычислить приближенно значения определенных интегралов с указанной точностью :

1
		1
4		1	sin x
а) e x2 dx,	10	4 ; б)	sin x	dx,	10 3 .
а) e x2 dx,	10	4 ; б)		dx,	10 3 .
0		0	x
0		0

Решение.

а) Для искомого интеграла 4 e x2 dx не может быть ис-

пользована формула Ньютона-Лейбница, поэтому разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя разложение (7.6) и проинтегрируем почленно полученный сходящийся степенной ряд в указанных пределах:

1								1

4		x	2						4				x2				x4				x6					( 1)n x2n
e		x
																							...
				dx 1									1!			2!				3!			...			n!	... dx
0								0					1!			2!				3!						n!
																								1
						x	3			x		5			x	7					x	9			4
							3					5				7						9
x
x
						3 5 2!								7 3!					9 4!						0
	1			1									1							1					...
											45 5 2														...
	4				43 3						45 5 2							47 7 6

0,25 0,0052 0,000098 ... 0,25 0,0052 0,2448,

т.к. третий член разложения 0,000098<0,0001.

	1 sin x
б) Для искомого интеграла		x	dx не может быть ис-
	0

пользована формула Ньютона-Лейбница, поэтому разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя разложение (7.7) для sin x и разделим его почленно на х. Затем проинтегрируем почленно полученный сходящийся степенной ряд в указанных пределах:

1	sin x						1			1					x	3		x	5	x	7	x		9
	sin x									1					x			x		x		x
				dx								x													... dx
		x		dx								x			3!		5!			7!		9!			... dx
0		x						0 x							3!		5!			7!		9!
	1				x	2					x	4	x		6									x	3		x		5		x	7			1
	1					2						4			6										3				5			7			1

		1														... dx x																	...
		1			3!					5!			7!			... dx x							3 3!								7 7!		...
	0				3!					5!			7!										3 3!			5		5!			7 7!				0
	0			1						1					1																				0
1				1						1					1		... 1 0,0556									0,0017				0,00003				0,946 ,
1			3 3!											7 7!			... 1 0,0556									0,0017				0,00003				0,946 ,
			3 3!						5 5!					7 7!

т.к. четвертый член разложения 0,00009<0,001. 44.Вычислить приближенно определенные интегралы с

точностью до 0,001:

				1
2		x					0,5
	e			2	arctg x

а)			dx ;	б)		dx ;	в)	1 x3 dx .

1	x			0	x		0

3. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений

Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение n-го порядка

			y(n) f (x, y, y',..., y(n 1) )							(8.1)
с начальными условиями
y(x ) y	0	,	y'(x ) y , ..., y(n 1)		(x	0	) y	n 1	.	(8.2)
0	0		0	1		0		n 1

Если его решение не выражается через элементарные функции или обычные способы слишком трудоемки, то в отдельных случаях его решение (частное или общее) удается отыскать в виде некоторого степенного ряда. Такое решение возможно отыскать методом последовательного дифференцирования, методом сравнения коэффициентов или другими.

Рассмотрим более подробно метод последовательного дифференцирования для нахождения частного решения дифференциального уравнения (8.1), удовлетворяющего заданным начальным условиям. Особенно часто этот метод применяется в инженерной практике, в исследовательских работах, где решение может быть проверено экспериментально.

Искомое решение у(х) разлагаем в ряд Тейлора в окрестности точки х = х0:

y(x) y(x	)	y'(x0 )	(x x )	y''(x0 )		(x x )2		...
y(x) y(x	)		(x x )			(x x )2		...
0	1!		0	2!	0
	1!			2!
							y(n) (x0 )		(x x )n ....
									(x x )n ....
							n!	0
							n!
(8.3)
Первые n	коэффициентов			y(x ), y'(x ), y''(x ),..., y(n 1) (x )
				0	0			0		0
заданы начальными условиями.					Значение			y(n) (x0 )		находят,

подставляя в данное уравнение начальные условия и х = х0. Далее, последовательно дифференцируя данное уравнение,

подставляя в него х = х0 и уже известные значения предыдущих производных, находят y(n 1) (x0 ), y(n 2) (x0 ),.... Процесс

или обрывается на заданном коэффициенте, или завершается нахождением общего закона построения коэффициентов.

45.Найти частное решение у(х) дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:


а)	y' 3ex y2 cos x,		y(0) 1;
б)	y'' 2x3 2y y' ex 1,			y(1)	2, y'(1) 4;
в)	y''' ( y')2 ,	y(0) y'(0)		0,	y''(0) 1.

Решение.

а) Найдем несколько первых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения первого

порядка y' 3ex y2 cos x . Так как по условию х0 = 0, искомое частное решение у(х) можно записать, используя разложение

(8.3), так:	y(x) y(0)	y'(0)	x	y''(0)	x2	...	y(n) (0)	xn ...	(*)

	1!		2!				n!

Найдем y(0), y (0) .

По условию y(0) 1. Значение y'(0) найдем, подставив в данное уравнение начальные условия: y'(0) 3e0 12 cos 0 2 .

Последовательно дифференцируя дан-ное уравнение и подставляя х = х0 = 0, найдем y (0), y (0):

y'' 3ex 2yy'cos x y2 sin x ;

y''(0) 3e0 2 1 2cos 0 12 sin 0 1.

y''' 3ex 2( y')2 cos x 2 yy''cos x 2yy'sin x 2 yy'sin x y2 cos x ; y'''(0) 3e0 2 22 cos 0 2 1 ( 1) cos 0 4 1 2sin 0 12 cos 0 2 .

Подставим найденные коэффициенты в разложение (*). Получим искомое частное решение:

y(x) 1	2x		x2	2x3	... или	y(x) 1 2x	x2		x3	....

	1!	2!		3!		2		3

б) Будем искать несколько первых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения второ-

го порядка y'' 2x3 2 y y' ex 1, удовлетворяющее начальным условиям y(1) 2, y'(1) 4 , положив в (8.3) х0 = 1.

Искомое решение имеет вид:

y(x) y(1)	y'(1)	(x 1)	y''(1)	(x 1)2	...	y(n) (1)	(x 1)n ...(**).

1!		2!				n!

Найдем коэффициенты y(1), y (1), y (1).

По условию y(1) 2, y'(1) 4 . Значение y''(1) найдем, под-

ставив в данное уравнение начальные условия: y''(1) 2 13 2 2 4 e1 1 3.

Последовательно дифференцируя данное уравнение и под-

		(4)	(1) :
ставляя х = х0 = 1, найдем y (1), y
y''' 6x2 2 y' y'' ex 1, y'''(1)	6 12		2 4 3 e1 1 2.

y(4) 12x 2 y'' y''' ex 1, y(4) (1) 12 1 2 3 2 e1 1 9.

Подставим найденные коэффициенты в разложение (**). Получим искомое частное решение:

y(x) 2 14!(x 1) 23!(x 1)2 32!(x 1)3 49!(x 1)4 ...

в) Будем искать несколько первых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения третье-

го порядка y''' ( y')2 , удовлетворяющего начальным услови-


ям y(0) y'(0) 0,			y''(0)		1, в виде:
y(x) y(0)	y'(0)	x		y''(0)		x2	...	y(n) (0)	xn ...	(*)

1!			2!					n!
По условию y(0) y'(0) 0,							y''(0) 1. Найдем коэффициенты
y'''(0), y(4) (0), y(5) (0),... :					y'''(0) 02 0.

Будем последовательно дифференцировать данное уравнение и подставлять х = х0 = 0:

y(4) 2 y' y'', y(4) (0) 2 0 1 0 .

y(5)	2 y'' y'' 2 y' y''', y(5) (0) 2 1 1	2 0 0 2 .
y(6)	4 y'' y''' 2 y'' y''' 2 y' y(4) 6 y'' y''' 2 y' y(4) ,
y(6) (0) 6 1 0 2 0 0 0.
y(7)	6( y''')2 6y'' y(4) 2y'' y(4) 2y' y(5) 6( y''')2 8y'' y(4)
2 y' y(5) , y(7) (0) 6 0 8 1 0 2 0		2 0.

y(8) 12 y''' y(4) 8y''' y(4) 8y'' y(5) 2 y'' y(5) 2 y' y(6)

20 y''' y(4) 10 y'' y(5) 2 y' y(6) ,

y(8) (0) 20 0 0 10 1 2 2 0 0 20.

Подставим найденные коэффициенты в разложение (*). Получим искомое частное решение:

y(x) 0 10! x 21! x2 30! x3 40! x4 52! x5 60! x6 70! x7 208! x8 ...

или y(x) 21! x2 52! x5 208! x8 ....

46. Найти частное решение у(х) дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:


а)	y' 2xy x cos x,	y(0) 1;
б)	y'' xy' y ex ,	y(0) 1, y'(0)		0;
в)	y'' 2y y' x3 ex 2 ,		y(2) 1,	y'(2) 3.

§9. Ряды с комплексными членами

1. Числовые ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность комплексных чисел

z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i,… zn = xn + yni, … , которая называется

сходящейся, а число z = x + yi – еѐ пределом: lim zn z , ес-

ли существуют конечные пределы lim xn x , lim yn y .

n n

Сумму вида z1 z2 ... zn ...

(x1 y1i) (x2 y2i) ... (xn yni) ... zn , где хn и уn –

n 1

действительные числа, i – мнимая единица, (i2 = –1), называ-

ют числовым рядом с комплексными членами .


Ряд с комплексными членами zn		называется сходя-
	n 1
щимся,	если последовательность его	частичных сумм
n	сходится, число S lim Sn называется его суммой.
Sn zk	сходится, число S lim Sn называется его суммой.
k 1	n
k 1

Ряд с комплексными членами zn является сходя-

n 1

щимся, если сходятся ряды, составленные из действительных частей членов ряда и из коэффициентов при мнимой ча-


сти членов ряда, то есть сходятся ряды: xn A ,	yn B .
n 1	n 1

Причем если действительные числа А и В – суммы этих рядов, то комплексное число A Bi называется суммой ряда

zn . Если хотя бы один из рядов

или

yn расходится,

n 1

то и комплексный ряд расходится.

47. Исследовать на сходимость ряды:

3 2i

а)

;

1 n

n 0

б) (1 i)

...

... .

2 3

Решение.

а)

Для исследования ряда

3 2i

составим ряды из

n 0

действительных частей членов ряда

и из коэффици-

1 n

n 0

ентов

при

мнимой

части членов

ряда

. Получили

n 0

числовые ряды с действительными членами, которые расходятся, что следует при сравнении с расходящимся обобщен-

ным гармоническим рядом

n 1

lim

n lim

3 const 0 ,

n 1

			lim 2
	1			n
lim	1	n		n	2 const 0 . Оба ряда расходятся,
n	1		n 1	n

значит, данный ряд с комплексными членами расходится. б) Для исследования ряда

1	1		1	1		1	1
(1 i)		i			i	...		i ...			составим
(1 i)		i		32	i	...	3n	i ...			составим
2	3		22	32		2n	3n
									1
ряд из действительных частей членов ряда									1		и ряд из ко-
ряд из действительных частей членов ряда									n		и ряд из ко-
								n 0	2
										1
эффициентов при мнимой части членов ряда										1		.
эффициентов при мнимой части членов ряда												.
								n 0 3			n
								n 0 3

Получили числовые ряды с действительными членами, которые сходятся как бесконечно убывающие геометрические

прогрессии со знаменателями 12 и 13 , меньшими единицы.

Оба ряда сходятся, значит, сходится и данный ряд. Причем его сумма равна:

i 2

i .

n 0

Ряд с комплексными членами

называется абсо-

n 1

лютно сходящимся,

если сходится ряд, составленный из

модулей его членов, то есть сходится ряд

n 1

...

... x 2

y 2

x 2

y 2

...

x 2

2 ....

Если ряд с комплексными членами zn сходится, а ряд

n 1

zn , составленный из модулей его членов, расходится, то

n 1

ряд zn сходится условно.

n 1

48. Исследовать на сходимость ряды:

а)

в)

	cos n i sin n
			;
	n2		;
n 1	n2
	(2 2i)n
		;
	n 3n	;
n 1	n 3n

	1
б)			(3 4i)n ;
		n
n 1 2

(2 3i)n

г) (3 i)2n

n 1

Решение.

	cos n i sin n
а) Модуль общего члена ряда		равен
а) Модуль общего члена ряда	n2	равен
n 1	n2

cos n i sin n

cos2 n sin 2 n

. Ряд

из модулей

членов исходного ряда

сходится,

следователь-

n 1

n 1 n

но, рассматриваемый ряд сходится абсолютно.

б) Для ряда

4i)n

составим сначала модуль ком-

n 1

плексного числа 3+4i:

3 4i

32 42

5 . Составим ряд из модулей членов дан-

ного ряда

, который расходится, т.к. не вы-

n 1

n 1 2

полнен необходимый признак сходимости числовых рядов:

	5	n	0 . Значит, данный ряд расходится.
lim
lim
n	2

(2 2i)n

в) Для исследования на сходимость ряда

со-

n 3n

n 1

ставим модуль комплексного числа 2 2i :

2 2i

22 ( 2)2

2 . Составим ряд из модулей членов

данного ряда

, для исследования ко-

n 1 n 3

n 1 n

торого на сходимость применим признак Даламбера:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf