Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

727

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

г)

;

д)

;

n 1 n(n 2)(n 4)

n 1 (n 1)

ln 2 (n 1)

е)

;

ж)

;

з)

;

n 1 n2 1

n 1 3 4n 1

n 3 n4 9

и)

;

к)

n 1

(n 1) n

n 2 n ln n

ln ln n

Радикальный признак сходимости Коши

Если для ряда (2.3) с положительными членами суще-

lim n

l ,

ствует

(2.8)

то ряд (2.3) сходится при условии, что l < 1 и расходится при условии, что l > 1. Если l =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

16.Исследовать ряды на сходимость с помощью радикального признака Коши:

2n 1

2n2

а)

;

б)

;

в)

;

n 2 ln n n

n 1 3n

n 1

3n 2

2n3

4n2

;

д)

г)

n 1

Решение.

а) Для ряда

применим радикальный признак:

n 2 ln n n

lim n

lim

0 1, ряд сходится.

lim n u

ln n n

n ln n

б) Для ряда

n 1

3n 1

3n 1 n

(1 )

lim n

lim

3n 2

3n 1

3n 1 3n 2 n

lim

3n 2

			3
	lim 1
	lim 1		3n 2
	n		3n 2

3n 2 n 3

3 3n 2

	3
при n ,		0
при n ,	3n 2	0
	3n 2

lim 3n

en 3n2 e1 1. (Применили второй замечательный предел

lim 1 e.) Ряд расходится.

2n 1

2n2

в) Для ряда

n 1

3n 2

2n 1 2n2

2n 1

lim n un

lim

0 1.

n 3n 2

Ряд сходится.

2n3

г) Для ряда

n 1

2n3

2n2

lim

n u

lim

2n2 5

2n2

2n2 5

lim

при n

2n2 5

2n2

lim

18n2

e 9

en 2n2 5

ряд сходится (использован второй

замечательный предел).

4n2

д) Для ряда

n 1

2n3 1

4n2

2n3 1

lim

n u

lim

2 ,

ряд

расходится. 17. Исследовать ряды на сходимость с помощью ради-

кального признака Коши:

	1	n	n2
а)				;

n 1	3n n 1


	5n			2				1		n3
	5n							1

											;

г)	3n		2				4
n 1	3n						4
		2n				2			1		3n2
		2n							1

											;

ж)		2n			2
n 1		2n							4

б)

д)

з)

2n 1 n ; n 1 n 3

	n	2n		n
4
			;
		3n 5
n 1

	4n 3	5n2

		;
	4n 2
n 1


в) sin n		;
в) sin n	2n	;
n 1	2n
n 1
		1
е) arcsin n		1		;
е) arcsin n			n	;
n 1			n
n 1

3n2 1 6n4 и) .

n 1 5 3n2

§3. Знакопеременные ряды 1. Основные понятия

Ряд	u1 u2 u3	... un	...	(3.1)
с членами	произвольных	знаков	называется	з н акоп ер е -

м е н н ым .

Ряд (3.1) называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. сходится ряд

(3.2)

Ряд (3.1) называется условно сходящимся , если он сходится, а ряд (3.2) расходится.

cos n

18. Исследовать на сходимость ряд .

n 0 2n

Решение. Заменим члены данного знакопеременного ряда, где – любое число, их абсолютными значениями, и

	cos n

исследуем полученный ряд		с положительными
	2n
n 0

членами. Сравним его со сходящимся рядом, члены которого

представляют геометрическую прогрессию (1.3) . Каж-

n 0 2n

дый член полученного ряда не превосходит соответствующе-

	cos n	1
го члена геометрической прогрессии:			, т.к.
	2n	2n

cos n 1. Поэтому, согласно первому признаку сравнения,

ряд с положительными членами также сходится, а данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Свойства знакопеременных рядов.

10. Сходящийся знакопеременный ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой группировке его членов, произведенной без изменения порядка их следования.

Обратная теорема в общем случае не верна. Например, ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, а ряд

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …= 0 + 0 + 0+…, полученный по-

парной группировкой его членов, является сходящимся.

20. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов.

30. Изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу и даже сделать его расходящимся.

40. Если знакопеременный ряд (3.1) сходится абсолютно, то сходятся ряды, составленные из его а) положительных членов; б) отрицательных членов. Если знакопеременный ряд сходится условно, то упомянутые выше ряды расходятся.

§4. Знакочередующиеся ряды 1. Основные понятия

Знакопеременный ряд называется з н а к о ч е р е д у ю - щ и м с я , если любые два рядом стоящие члены имеют противоположные знаки. Знакочередующийся ряд можно записать так:

u u	2	u	3	u	4	... ( 1)n 1u	n	...	(4.1)
1	2		3		4		n

где все числа иn (п = 1, 2, 3, ...) положительны.

2. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов справедлив признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (4.1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un стремится к нулю при n , т.е.

...

... и lim

un 0 , то ряд сходится,

и его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена. (4.2)

Погрешность при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных его членов.

Знакочередующийся ряд, для которого выполняются условия признака Лейбница, называется рядом Лейбница .

19. Проверить, является ли данный ряд рядом Лейбница

1 12 13 ... ( 1)n 1 1n ....

Решение. Данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотон-

но убывают, так как 1

...; или

un 1

; lim

lim

0. Следовательно, по

n 1

n n

признаку Лейбница этот ряд сходится.

20. Проверить, является ли данный ряд рядом Лейбница:

а) 1		1		1				1		... ( 1)		n 1	1	...;
а) 1		2!		3!			4!			... ( 1)			n!	...;
		2!		3!			4!						n!
б)	2		3		4		5		... ( 1)		n 1 n 1				....
б)	1		2		3		4		... ( 1)				n		....
	1		2		3		4						n
	21. Дан					сходящийся						ряд 1				1	1	1	1	.... Сколько
	21. Дан					сходящийся						ряд 1				2!	3!	4!	5!	.... Сколько
																2!	3!	4!	5!

членов ряда достаточно учесть, чтобы допущенная погрешность была по абсолютной величине меньше 0,001?

Решение. u			1	1	; u		1	1	;
	6					7
		6 !		720			7 !	5040

так как |u7| < 0,001, то, ограничившись суммой первых шести членов, будет допущена погрешность, абсолютная величина

которой меньше 0,001.
	22.		Вычислить						с		точностью до 0,01 сумму S ряда
1	1		1	1			1		1		...
			3		3					3
	2	3		4		5		3	6
			3
											35

Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница.

Отбросив все члены, начиная с 1 , мы допустим погреш-

ность, которая меньше 0,01. Так как первый из отброшенных членов имеет знак плюс, то сумма первых четырех членов

S		1	1		1		1		1549		является приближенным значени-
	4
		8		27		64		1728

ем суммы данного ряда по недостатку.
		23.		Доказать сходимость ряда и вычислить с точностью
до 0,01 сумму ряда								1		1		1		1		1	....

								23			43		63		83

3. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов

Пусть дан знакочередующийся ряд

u1 + u2 + u3 + u4+…+un+… (4.3)

Составим новый ряд из абсолютных величин членов ряда (4.3):

(4.4)

Ряд (4.3) называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть сходится ряд (4.4).

Ряд (4.3) называется условно сходящимся , если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть ряд (4.4), расходится.

24.					Исследовать сходимость рядов:
а) 1	1		1				1		... ( 1)	n 1 1		... ; б)	1	1		1	1		1	...;
а) 1	2			3			4		... ( 1)		n	... ; б)	1	2		22	23		24	...;
	2			3			4				n			2		22	23		24
	( 1)n														( 1)n (n 2)
в)								;				г)						.
																n 1
		2n
n 0		2n				1							n 0

Решение.

а) По признаку Лейбница данный ряд сходится (см.зад.19). Если составить ряд из абсолютных величин членов данного

ряда, то получим гармонический ряд 1 12 13 14 ... 1n ...,

который, как известно, расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

б) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку

Лейбница:			1			1		1		1	1	...	и lim	1	0.	Если со-
											24
						2	22		23				n 2n 1
ставить		ряд					из		абсолютных				величин		его	членов
				1
	un				,		то получим ряд, члены которого представ-

			2	n 1
n 1		n 1

ляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию (1.3), которая сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

																											( 1)		n
			в) Данный знакочередующийся ряд																								( 1)				сходится

																												2n
																							n 0					2n		1
по признаку Лейбница:
1		1				1				1			1		... и lim						1				0 .
1															... и lim										0 .
		3			5					7	9						n				2n 1
Составим								ряд				из			абсолютных							величин								его		членов
										1
	un											и сравним его с обобщенным гармониче-



									2n
											1
n 0					n 0						1
														1				1
ским					рядом					(1.5)				1				1		,	который расходится,												т.к.


													n 1			n	n 1		1
													n 1			n	n 1	n 2
																		n 2
											1


p			1	1):			lim				2n 1				lim				n					1		const 0 ,						ряд	из
											1											2

		2					n									n		2n 1

модулей расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

г) Исследуем данный знакочередующийся ряд

	( 1)n (n 2)
		по признаку Лейбница. Члены ряда монотон-
	n 1	по признаку Лейбница. Члены ряда монотон-
n 0	n 1
но убывают по абсолютной величине: 2			3	4	5	6	...,
но убывают по абсолютной величине: 2			2	3	4	5	...,
			2	3	4	5

но общий член отличен от нуля:

lim

n 2

1 0 . Значит, ряд

n n 1

расходится.

25.

Исследовать сходимость рядов:

а) 1

... ( 1)n 1

...;

2n 1

б) 1

... ( 1)n 1

...;

(2n 1)2

в)

... ( 1)n 1

... ;

ln 2

ln 3

ln 4

ln (n 1)

( 1)n 1

г)

;

д)

;

е)

;

n 1

n 1 n 2n

n 1(2n 1) !

( 1)

n 1

( 1)

ж)

;

з)

;

и)

( 1)n n 2 1 ;

n 1

n 3ln ln n

n 1

( 1)n 13n

( 1)n

( 1)n 1

к)

;

л)

;

м)

;

n 1

(2n 1)n

n 1n3 1

n 12n ln n

( 1)n

( 1)n ln n

( 1)n

н)

;

о)

;

п)

;

n 2n ln n ln ln n

n 1

n 1n 3 ln n 2

( 1)

n 1

cos 3n

n 3

р)

;

с) ( 1)n ln

n 1

2n 1

§5. Действия над рядами

Суммой (разностью )

двух рядов un

и vn назы-

n 1

вается ряд vn un . Если сходятся слагаемые ряды, то

n 1

сходится и суммарный ряд. Это определение распространяется на любое конечное число рядов.


Произведением двух рядов un и		vn	называется
	n 1	n 1
	... unv1 u1v1 u1v2	u2v1
ряд u1vn u2vn 1	... unv1 u1v1 u1v2	u2v1
n 1	u1v3	u2v2	u3v1 ....
	u1v3	u2v2	u3v1 ....
	38

Если перемножаемые ряды сходятся и притом хотя бы один из них абсолютно, то сходится и ряд произведения. Произведение условно сходящихся рядов может оказаться либо рядом сходящимся, либо расходящимся. Определение справедливо для любого конечного числа рядов.

Возведение ряда в натуральную степень определяется как произведение ряда самого на себя.


	Ч а стным от деления ряда un			на ряд vn называет-
			n 1		n 1

ся ряд wn такой, что
	n 1

wn vn			un . Если все три ряда сходятся, то
n 1	n 1		n 1

		un
wn		n 1	. Ряд wn может оказаться расходящимся даже
wn			. Ряд wn может оказаться расходящимся даже
n 1		vn	n 1
n 1			n 1
		n 1

при абсолютной сходимости рядов un					и vn .
			n 1		n 1

n 1

u4v1

	u1				u1v2				u1v3
			u2				u3			u2v2

	v	v		2		v		2		2
1		1			v1	1			v1	v1

u1v4 u2v3 u3v2 2u1v2v3 u2v2 2

v 2	v 2	v 2	v 3	v 3
1	1	1	1	1

		2
		u1v2

3
		v1
3
	u1v2		...

4
		v1

Каждый последующий член ряда wn может быть вы-

n 1

ражен через предыдущие по формуле

w	un w1vn w2vn 1 ... wn 1v2			.		(5.1)
w				.		(5.1)
n	v1
	v1
		1				n
26. Найти разность двух рядов		1	и			n	.
26. Найти разность двух рядов			и				.
	n 1 n				n 1 n2 1
	39

	1	n			1

Решение.							. Причем данные

n 1 n		n2	1	n 1 n(n2		1)

ряды – расходящиеся, а полученный ряд – сходящийся.

	( 1)n 1		( 1)n 1
27. Найти произведение рядов		и		.
	(2n 1)!		(2n 2)!
n 1		n 1

Решение.

	( 1)	n 1				( 1)		n 1					1			1			1				1
										1											...	1

	(2n 1)!					(2n 2)!					3!			5!				7!					2!
n 1				n 1
					1		1					1			1		1			1
1 1			1					1	1												1	...

				2!		3!					4!			3! 2!				5!

1	1
		...

4! 6!

			4		16		64	256					n 1		22n 2
1										... ( 1)								....
1										... ( 1)								....
			3!		5!		7!	9!							(2n 1)!
			28.			Найти частное рядов
	2	n					4	8		16				( 1)		n			1	1	1
	2			1 2			4	8		16	... и			( 1)			1 1		1	1	1	....
				1 2							... и						1 1					....
n 0	n!						2!	3!	4!			n 0			n!				2!	3!	4!

Решение.

Вычислим коэффициенты искомого ряда по формуле (5.1):

1; w

u2 w1v2

2 1 ( 1)

w v w v

( 1)

1 3

;

w v

w v w v

1 4

2 3

;

; w6

; …; wn

3n 1

(n 1)!

Следовательно, искомый ряд имеет вид:

1 3	32	33	...	3n 1	3n	....
	2!	3!		(n 1)!	n!

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf