Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

727

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

3.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Задание 5. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

(x 3)n

а)

; б)

n 2n

n 1

Решение. а)

. Используем признак Даламбера:

n 1

xn 1

lim

un 1(x)

lim

(n 1)!

lim

xn x n!

lim

un (x)

xn n! (n 1)

n n 1

x 0 0 1. Значит, исследуемый степенной ряд сходится на всей числовой прямой.

(x 3)n

б)

. Используем признак Даламбера:

n 2n

n 1

(x 3)n 1

lim

un 1(x)

lim

(n 1) 2n 1

lim

(x 3)n (x 3) n 2n

un (x)

(x 3)n

(n 1) 2n 2 (x

3)n

n 2n

(x 3)

lim

(x 3)

2(n 1)

По условию признака Даламбера ряд сходится при

x 3

1, т.е. при

x 3

2 ,

x 3 2

1 x 5.

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

(1 3)n

( 2)n

( 1)n 2n

( 1)n

При x = 1:

– знако-

n 2n

n 1

n 1 n

n 1

чередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.

	(5 3)n		2n		1
При x = 5:						– гармонический ряд,
При x = 5:						– гармонический ряд,
n 1	n 2n	n 1 n 2n		n 1 n

который расходится.

111

Значит, исследуемый степенной ряд сходится при 1 x 5.

Задание 6. Разложить функцию		1	в ряд Макло-

	x2	3x 2
	x2	3x 2

рена по степеням x, используя известные разложения, и указать область сходимости.

Решение. Учитывая, что x2 3x 2 (x 1)(x 2), разложим данную дробь на сумму простейших дробей:

1	1	1		1		.

x2 3x 2	(x 1)(x 2)		x 2		x 1

Приведем каждую дробь к виду разложения (7.12)

1	1 x x2 x3 ... xn

1 x
1 x
1		1				1	1				1

x 2		x 1				2 1			x	1	x
						2 1
								2
				1				1		3
				1				1		3
1					xn						x
1			2n 1		xn						x
n 0			2n 1					2 4

...				( 1 x 1) .
	1	x		n		n
					x

	2 n 0		2		n 0

78 x2 ....

Разложение первой дроби пригодно, если	x	1, т.е.	x	2 ;

	2

второй дроби – если x 1. Общее разложение применимо в

том промежутке, где пригодны оба использованных разложения, т.е. при x 1.


Задание 7. Вычислить приближенно 5 35																			со степенью
точности 10 4 .
	Решение. Используем разложение (1 x)m (7.11) в би-

номиальный ряд, для чего 5 35 представим в виде:
									3						3
5 35 5 32 3 5 25									3						3
							1				2		5 1				.
							1				2		5 1				.
								32							32
															1
Составим разложение в ряд 5										1 x		(1 x)
Составим разложение в ряд 5										1 x		(1 x)				5	по формуле
1								4					1		4			9


(7.11): 5			1	1	x	5		5			x2			5	5			5	x3 ...
		1 x		1		5		5						5	5			5
		1 x
5							2!								3!
								112

1		4	1
			...	n 1

	5	5	5		xn ...
			n!

Подставим x 3 :

						32
					1	3	4	3	2		36	3	3
		2 1							2				3	...

5 35


					5	32	25 2	32		125 6		32
					5	32	25 2	32		125 6		32

				3		9		81
2	1			3		9		81		...	2 0,0375 0,00140625 2,0361.
2	1									...	2 0,0375 0,00140625 2,0361.
			160		12800		2048000

Т.к. четвертый член разложения знакочередующегося сходящегося ряда (по признаку Лейбница)

2 81 0,000079 0,0001, ошибка не будет превышать пер-

2048000

вого из отброшенных членов ряда по абсолютной величине и имеет одинаковый с ним знак. Поэтому достаточно взять сумму первых трех слагаемых.

Задание 8. Вычислить интеграл x3arctgx dx с точностью

до 0,001.

Решение. Используем разложение arctg x (7.10) и умножим каждый его член на х3:

... ( 1)n 1

2n 1

x3 arctg

x x3

...

2n 1

x10

...

Проинтегрируем полученный сходящийся ряд в указанных

пределах,					т.к. отрезок							интегрирования			0,		1		принадлежит
пределах,					т.к. отрезок							интегрирования			0,				принадлежит

															2
области сходимости полученного ряда 1, 1 :
1																				1
	2		4	x6		x8		x10				x5	x7	x9		x11				2
			4

x				3			5	7	... dx									...
0				3			5	7				5 21 45 77								0
			1		1			1			... 0,00625 0,000372 ... 0,0063 ,

		25 5						29
		25 5		27			21	29		45

т.к. второй член разложения 0,000372<0,001.

113

Задание 9. Применяя метод последовательного дифференцирования, найти n членов разложения в степенной ряд

частного	решения	дифференциального	уравнения
y 3x4 y3	x 2 y2 3	при заданных начальных	условиях
y(0) 2,	n 4.

Решение.

Найдем несколько первых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения первого поряд-

ка y 3x4 y3

x 2 y2

3. Так как по условию х0 = 0, искомое

частное решение у(х) можно записать, используя разложение

(8.3), так: y(x) y(0)

y'(0)

y''(0)

x2 ...

y(n) (0)

...

(*)

Найдем y(0), y (0) .

По условию

y(0) 2.

Значение

y'(0)

найдем,

подставив в

данное уравнение начальные условия:

3 0

( 2)

0 2 ( 2)

3 5.

y (0)

Последовательно дифференцируя данное уравнение и под-

(4)

(0):

ставляя х = х0 = 0, найдем y (0), y

(0), y

y 12x3 y3 9x4 y2 y 1 4yy ;

12 0

( 2)

1 4 ( 2) 5 41..

y (0)

( 2)

36x

(36x

18x

4 yy

;

yy ) y

4 ( 2) ( 41) 348.

(0) 0 0 (0 0) 5 0 4 5

Подставим найденные коэффициенты в разложение (*).

Получим искомое частное решение:

y(x) 2

41x2

348x3

....

Задание 10. Исследовать на сходимость ряд с комплекс-

ными членами 1 i n .

n 1 2

114

Решение.

Для исследования на сходимость ряда

ним радикальный признак Коши:


	1	i		n
	1	i
			приме-
			приме-
n 1		2

			1 i n		1 i		2		2		1
						1		1	2	1		2


n	zn	n


				2	2	2		2		2	2	2

		lim	2	1 поэтому ряд абсолютно сходится.
lim n	zn

			2
n		n	2

Задание 11. Найти область сходимости ряда с комплекс-

(1 i)n (z 1)n

ными членами . n 0 (n 1)(n 2)

Решение. Дан степенной ряд с комплексными членами. Для его исследования применим признак Даламбера:

(1 i)n 1(z 1)n 1

lim

zn 1

lim

(n 2)(n 3)

(1 i)n (z 1)n

(n 1)(n 2)

lim

(1 i)n (1 i)(z 1)n (z 1)(n 1)(n 2)

(1 i)n (z 1)n (n 2)(n 3)

(1 i)(z 1)(n 1)

n 1

lim

(1 i)(z 1)

lim

(n 3)

n 3

12 ( 1)2 (z 1)

(z 1)

Поэтому круг сходимости при

(z 1)

z 1

–

круг с центром (–1;

0) комплексной плоскости, радиуса

. Вне этого круга ряд расходится.

Исследуем границу круга сходимости

z 1

(1 i)n

Ряд принимает вид:

(n 1)(n

n 0

115

Для его исследования составим сначала модуль комплексного числа 1– i: 1 i 12 ( 1)2 2 .

Составим ряд из модулей его членов:

(

2)n

n 0 (n

, который сходится по

1)(n 2)

n 0

(n 1)(n 2)

предельному признаку сравнения:

lim

(n 1)(n 2)

lim

1 0 const (сравнили со

1)(n 2)

сходящимся обобщенным гармоническим рядом

n 1 n

Значит, данный степенной ряд с комплексными членами на границе круга сходимости сходится.

Задание 12. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале длины периода. Построить график функции f(x). Найти сумму полученного ряда:

	3,	x 0,
а)	f (x)	0 x ;	б)
	4,	0 x ;

Решение.

а) Заданная функция f (x)

2, 3 x 0, f (x) 2x 3, 0 x 3.

x 0,

0 x ; (рис. 20) име-

ет период 2 , удовлетворяет условиям разложимости в ряд

Фурье, т.к. на отрезке [ , ] имеет одну точку разрыва первого рода (при х = 0), а во всех других точках отрезка она непрерывна. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.1).

Найдем коэффициенты ее разложения.

	1		1	0				1	3x	0
a		f (x)dx			3dx		4dx				4x

0												0

						0

1 ( 3 4 ) 1,

116

Рис. 20

1 0

f (x) cos nx dx

( 3) cos nxdx 4cos nxdx

3sin nx

0 4sin nx

( 3sin 0 3sin( n)

4sin n 4sin 0)

(0 0 0 0) 0.

f (x)sin nx dx

( 3)sin nxdx 4sin nxdx

3cos nx

0 4cos nx

3cos 0 3cos( n)

4cos n 4cos 0

3 3cos n 4cos n 4

, при n нечетном,

1 cos n n

0, при n четном.

Тогда

разложение

функции

имеет

вид

(10.1):

f (x)

sin x

sin 3x

sin 5x ... .

В точках разрыва функции, т.е. в точках

x n

(n 0,1, 2,...)

сумма ряда равна 3 4

f (x)

3 x 0,

б) Заданная функция

(рис. 21) имеет

3, 0 x 3

период 2l 6 l 3,

удовлетворяет условиям разложимости

в ряд Фурье. Следовательно, ее разложение имеет вид (10.4).

117

Рис. 21

Найдем коэффициенты ее разложения.

							1 l								1		0										3																1						0		2				3
																											3

a0									f (x)dx										2dx									(2x				3)dx														2x			3 (x 3x)



								l	l						3				3								0																	3											0
			1		0 6 9 9 0 2 ,
					0 6 9 9 0 2 ,
	3
							1 l							nx									1		0						nx												3								nx
an									f (x) cos										dx								2 cos									dx (2x 3) cos																		dx
an								l	f (x) cos							l			dx				3				2 cos					3				dx (2x 3) cos																3		dx
								l	l							l							3				3					3											0									3
																													dv cos								nx							dx
																																					nx
				интегрируем													u 2x 3																					3
				интегрируем																																		3
	по частям :																				2dx								v			3								nx
																du																			sin
																du																			sin
																																n										3
																																n										3
			2				3				nx	0					3			2x 3						sin nx						3				3					2				3			nx dx
												0																				3													3
										sin																																			sin
						n				sin																													n						sin
	3					n					3	3					3			n								3				0				3			n						0			3
												3																				0													0			3
		2					0 sin( n)												3		sin n 0												6						cos nx
		2																	3														6
	n																	n															2n2
																																															3	0
																																															3	0
																							12
				6																								при n нечетном
																												при n нечетном

										cos n 1												2n2
	2n								2	cos n 1												2n2
	2n								2
																			0									при n четном.
						1 l							nx										1	0						nx											3									nx
bn									f (x) sin									dx									2sin							dx (2x 3) sin
bn							l		f (x) sin						l			dx					3				2sin					3		dx (2x 3) sin																	3		dx
							l		l						l								3	3								3									0										3
																u 2x 3													dv sin									nx							dx
																																						nx
	интегрируем																																						3
																																3							3
					по частям :												du 2dx												v			3			cos						nx
					по частям :												du 2dx												v			n			cos
																																n											3
																												118

[0; 4]

	2			3 cos						nx				0			3			2x 3									nx			3				2			3		3		nx dx
														0																		3									3
																											cos														cos
																											cos												n		cos
	3			n						3				3			3						n							3		0			3				n		0		3
														3																		0									0	3
		2				1 cos( n)												1		3cos n 3															6				sin nx
		2																1																	6

		n																n															2n2								3	0
		n																n															2n2								3	0
		5						1		cos n								6				sin n 0													1			(5 cos n)
								n		cos n							2n2					sin n 0													n			(5 cos n)
		n						n									2n2																		n
					4
								при n нечетном,
				n				при n нечетном,
					6															.
					6
				n				при n четном.
				n
Тогда разложение функции имеет вид (10.4):
									12							x			1							3 x					1						5 x
f (x) 1												cos											cos											cos						...
f (x) 1									2			cos							32				cos							52				cos						...
									2							3			32							3				52								3
	4							x			1					3 x				1					5 x
			sin										sin									sin						...
			sin										sin									sin						...
								3			3					3				5						3
	6		1						2 x						1			4 x						1				6 x
							sin									sin									sin						... .
							sin									sin									sin						... .
			2							3					4			3						6					3
			Задание												13.				Разложить
функцию										f (x) x 5,											0 x 4
в ряд Фурье по косинусам и по
синусам (продолжить функцию
чѐтным								и		нечѐтным										способом
на симметричный интервал).
Построить график функции f(x).
						Решение.
			а) Чтобы получить разло-
жение данной функции																							f (x) на																		Рис. 22
отрезке [0; 4]														в ряд Фурье, со-																											Рис. 22
отрезке [0; 4]														в ряд Фурье, со-

держащий только синусы, продолжим функцию на отрезке [ 4; 0] нечетным образом.

Получим нечетную функцию, совпадающую с данной на отрезке (рис. 22).

Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы

119

(10.6) при l 4 :

2 l

f (x)sin

(x 5)sin

dv sin

x 5

интегрируем

по частям

du dx

cos

4(x 5)

cos nx

nx dx

cos

cos n

2 n

sin

cos n 5

sin n 0

2n2

при n нечетном,

cos n 5

при n четном.

πn

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

3 x

5 x

f (x)

sin

...

2 x

3 x

sin

... .

б) Чтобы получить разло-

жение

данной

функции

f (x) x 5

на отрезке [0; 4]

ряд Фурье, содержащий только

косинусы,

продолжим функцию

на отрезке [ 4; 0] четным обра-

зом. Получим четную функ-

цию, совпадающую с данной на

Рис. 23

отрезке [0; 4] (рис.23).

Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы

(10.5) при l 4 : bn 0 ,

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20243.18 Mб0722.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0723.pdf
#
09.01.20243.19 Mб0724.pdf
#
09.01.20243.2 Mб0725.pdf
#
09.01.20243.21 Mб0726.pdf
#
09.01.20243.22 Mб0727.pdf
#
09.01.20243.24 Mб1728.pdf
#
09.01.20243.25 Mб0729.pdf
#
09.01.2024423.26 Кб073.pdf
#
09.01.20243.28 Mб0730.pdf
#
09.01.20243.29 Mб0731.pdf