659

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова"

Н. В. Деменева

Аналитическая геометрия.

Прямая линия на плоскости

Учебное пособие

Пермь

ИПЦ "Прокростъ"

2019

УДК 514.12 ББК 22.151.5 Д 30

Рецензенты:

И. К. Березин – ведущий научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН, доктор технических наук, профессор.

В. В. Аюпов − заведующий кафедрой математики и физики ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ, кандидат технических наук, доцент

Д-30 Деменева, Н. В.

Аналитическая геометрия. Прямая линия на плоскости : учебное пособие / Н. В. Деменева; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего образования "Пермский гос. аграрно-технологический университет им. акад. Д. Н. Прянишникова". – Пермь: ИПЦ "Прокростъ", 2019. – 196 с.

ISBN 978-5-94279-433-0

Предлагаемое учебное пособие состоит из трёх глав: простейшие задачи аналитической геометрии на прямой линии, простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости, прямая линия на плоскости. Каждая глава содержит теоретический материал, контрольные вопросы, упражнения, дополнительные упражнения, индивидуальные задания и тесты.

Данное пособие предназначено для обучающихся очной, заочной и очно-заочной форм обучения.

Пособие может быть использовано для организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 09.03.02 Информационные системы и технологии, 09.03.03 Прикладная информатика, 09.03.04 Программная инженерия, 38.03.01 Экономика, 38.03.07 Товароведение.

УДК 514.12 ББК 22.151.5

Печатается по решению методического совета "Пермского государственного аграрнотехнологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова" (Протокол № 5 от 4 февраля 2019 года).

Учебное издание

Деменева Надежда Валерьевна

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Прямая линия на плоскости

Учебное пособие

Подписано в печать 02.04.19. Формат 60*84 1/8. Усл. печ. л.24,5 Тираж 50 экз. Заказ №. 62

ИПЦ "ПрокростЪ"

Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д.Н. Прянишникова,

614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 тел. (342) 217-95-42

ISBN 978-5-94279-433-0

© ИПЦ "Прокростъ", 2019

© Деменева Н. В., 2019

4

Введение

Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором геометрические задачи решаются алгебраическими методами. Основой аналитической геометрии является метод координат, согласно которому каждой точке на прямой линии, на плоскости или в пространстве ставится в соответствие одно число, пара или тройка чисел, называемых координатами точки и определяющих её расположение. Данный подход был предложен в 17 веке французскими математиками Рене Декартом и Пьером Ферма.

Из точек состоят такие простейшие геометрические объекты как прямые, кривые второго порядка, плоскости, поверхности второго порядка. Каждый геометрический объект обладает индивидуальным свойством, по которому можно составить алгебраическое уравнение, связывающее координаты точек этого объекта. Свойства геометрических объектов можно изучать, исследуя уравнения этих объектов.

Методы аналитической геометрии используются в различных разделах математики, физики, механики, техники, естественных наук, экономики.

Цель предлагаемого учебного пособия состоит в доступном изложении основных понятий и методов аналитической геометрии, сопровождающееся многообразием примеров и упражнений, различных как по уровню сложности, так и по их "сюжетному" наполнению.

Содержание учебного пособия соответствует рабочей программе по дисциплине Математика для направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 38.03.01 Экономика, 38.03.07 Товароведение; по дисциплине Высшая математика для направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность и по дисциплине Линейная алгебра и аналитическая геометрия для направлений подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, 09.03.03 Прикладная информатика, 09.03.04 Программная инженерия, а также способствует формированию компетенций указанных направлений подготовки.

В результате изучения аналитической геометрии обучающиеся должны:

знать

–уравнения, свойства и виды простейших геометрических объектов;

уметь

–составлять уравнения простейших геометрических объектов по их заданным свойствам;

–выявлять свойства простейших геометрических объектов по их заданному уравнению;

–по заданному алгебраическому уравнению первой или второй степени строить геометрические объекты, определяемые этими уравнениями;

владеть

–техникой исследования свойств и вида простейших геометрических объектов.

Потребность в данном пособии вызвана большим объёмом самостоятельной работы обучающихся.

Пособие состоит из трёх глав: простейшие задачи аналитической геометрии на прямой линии, простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости, прямая линия на плоскости. Каждая глава содержит теоретический материал, контрольные вопросы, упражнения, дополнительные упражнения, индивидуальные задания и тесты. К упражнениям и тестам приведены ответы.

Основная часть формул и утверждений детально выводятся и доказываются, что необходимо для понимания изучаемых понятий. Все изложенные теоретические факты проиллюстрированы большим числом подробно разобранных примеров (около 100). Материал сопровождается большим числом пояснительных рисунков (около 100). Все примеры и упражнения упорядочены по принципу от простого к сложному, что делает пособие доступным для различных категорий обучающихся. Индивидуальные задания и тесты дифференцированы по трём уровням сложности, что позволяет реализовать индивидуальный подход в обучении. Индивидуальные задания рассчитаны на 36 типовых варианта. Достаточное число упражнений (около 200) и индивидуальных заданий (около 40) поможет получить и отработать основные навыки.

Некоторые упражнения иллюстрируют приложения аналитической геометрии в технических дисциплинах. К ним относятся задания на нахождение центра масс однородного стержня и однородной пластины, нахождение центра тяжести системы материальных точек, исследование прямолинейной траектории движения точки.

Учебное пособие предназначено для организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся инженерно-технических

иэкономических направлений подготовки бакалавриата.

6

Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на прямой линии

В этой главе будет рассмотрен такой геометрический объект как точка, расположенная на прямой линии. Такой точке ставится в соответствие одно число, называемой её координатой и определяющее её расположение на прямой линии.

1.1. Ось и направленный отрезок

Осью называется прямая, на которой задано положительное направление. Положительное направление указывают стрелкой и около стрелки указывают наименование оси, например, (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Определение оси

Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом. Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке обозначают ̅̅̅̅.

1.2. Система координат на прямой линии

Для определения системы координат на прямой линии (рис. 1.2) необходимо:

1)задать начало координат (на чертеже – точка ), то есть точку, по отношению к которой определяется положение других точек;

2)задать положительное направление на прямой линии;

3)задать единицу масштаба (на чертеже – отрезок ), которая позволит измерить расстояние от начала координат до рассматриваемых точек.

Рис. 1.2. Определение системы координат на прямой линии

С помощью единицы масштаба можно измерить длину направленного отрезка.

1.3. Величина направленного отрезка на прямой линии

Величиной направленного отрезка ̅̅̅̅ называется число, равное длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление этого отрез-

ка совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление этого отрезка противоположно направлению оси. Величина отрезка ̅̅̅̅ обозначается . Если точки и совпадают, то отрезок называется нулевым, и величина такого отрезка равна нулю.

1.4. Координата точки на прямой линии

Координатой точки в заданной системе координат называется величина отрезка ̅̅̅̅̅. Эту величину принято обозначать через , то есть =. Используют обозначение: ( ). Координату точки можно записать. Число характеризует положение точки на прямой линии. Точкам, лежащим справа от начала координат, соответствуют отрезки положительной величины, слева – отрицательной.

Если говорят, что дана точка, то это означает, что известна её координата. И, наоборот, если требуется найти точку, то это означает, что надо найти её координату.

Пример 1.1. Построить точки (2), (25), (−2), (3,8), (√3),(− √22).

Решение.

Для построения точки отложим вправо от начала координат отрезок длины 2 (рис. 1.3).

Для построения точки отложим вправо от начала координат отре-

зок длины 25 (рис. 1.3).

Для построения точки отложим влево от начала координат отрезок длины 2 (рис. 1.3).

Для построения точки отложим вправо от начала координат отрезок длины 3,8 (рис. 1.3).

Для построения точки отложим вправо от начала координат отрезок длины √3 (рис. 1.3).

Для построения точки отложим влево от начала координат отрезок длины √22 (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Построение точек на прямой линии (к Примеру 1.1)

Пример 1.2. Положение точки, равномерно движущейся по прямой, задаётся для любого момента времени формулой: = + , где – скорость движения, – время, – начальное положение точки. Отметить на чертеже положение точки в начальный момент и в конце каждой из первых пяти секунд, если закон движения дан уравнением: = 3 − 7.

Решение.

Найдём положение точки в начальный момент, то есть при = 0:

8

= 3 ∙ 0 − 7 = −7 и получаем точку 1(−7).

Найдём положение точки в конце первой секунды, то есть при = 1:

= 3 ∙ 1 − 7 = −4 и получаем точку 2(−4).

Найдём положение точки в конце второй секунды, то есть при = 2:

= 3 ∙ 2 − 7 = −1 и получаем точку 3(−1).

Найдём положение точки в конце третьей секунды, то есть при = 3:

= 3 ∙ 3 − 7 = 2 и получаем точку 4(2).

Найдём положение точки в конце четвёртой секунды, то есть при =

4:

= 3 ∙ 4 − 7 = 5 и получаем точку 5(5).

Найдём положение точки в конце пятой секунды, то есть при = 5:

= 3 ∙ 5 − 7 = 8 и получаем точку 6(8). Построим полученные точки (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Точки, характеризующие равномерное движение по прямой линии (к Примеру 1.2)

1.5. Нахождение величины направленного отрезка на прямой линии по известным координатам его начала и конца

наты конца отрезка вычитают координату его начала и формула величины направленного отрезка принимает вид:

1 2 = 2 − 1.

Пример 1.3. Даны точки (−2), (−7), (3). Найти величины от-

резков ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅.

Решение. На основании формулы 1 2 = 2 − 1 получаем:

= −7 − (−2) = −5;= −2 − (−7) = 5;= 3 − (−7) = 10;= −7 − 3 = −10.

Ответ: = −5; = 5; = 10; = −10.

Пример 1.4. Дана точка (2) и величина направленного отрезка ̅̅̅̅:= −5. Найти координату точки .

Решение. Используя формулу нахождения величины направленного отрезка 1 2 = 2 − 1 и, учитывая, что величина направленного отрезка равна −5, можно записать: − = −5, где – координата точки , – координата точки . Так как по условию = 2, то: 2 − = −5. Отсюда

= 7.

Ответ: (7).

Пример 1.5. Даны точки (3), (−7), (−2). Проверить, что независимо от взаимного расположения этих точек, между их расстояниями справедливо следующее соотношение: + = .

9

Решение. Найдём величины , и соответственно направлен-

ных отрезков ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅. Используя формулу нахождения величины направленного отрезка 1 2 = 2 − 1, получаем: = −7 − 3 = −10,= −2 − (−7) = 5, = −2 − 3 = −5. Подставляем полученные значения в проверяемое соотношение: −10 + 5 = −5. Отсюда −5 = −5. Соотношение верное.

1.6. Расстояние между двумя точками на прямой линии

Длиной отрезка ̅̅̅̅ называют модуль величины этого отрезка. Используют обозначение: | |. Длину отрезка ̅̅̅̅ можно интерпретировать как расстояние между двумя точками и .

Если 1( 1) и 2( 2) – две точки на прямой линии, то расстояние

между ними вычисляется по формуле:

= | 2 − 1|.

Можно использовать обозначение | 1 2|.

Пример 1.6. Найти расстояние между точками: 1) (2) и (−5); 2) (−3) и (7); 3) (−6) и (0).

Решение. На основании формулы = | 2 − 1| получаем:

1) = |−5 − 2| = |−7| = 7. 2) = |7 − (−3)| = |10| = 10. 3) = |0 − (−6)| = |6| = 6.

Ответ: 1) = 7; 2) = 10; 3) = 6.

Пример 1.7. Найти координату точки, симметричной точке (3) относительно точки (−2).

Решение. Две точки, симметричные относительно третьей точки, находятся по разные стороны и на равных расстояниях от неё. Вычислим расстояние между точками и : = |−2 − 3| = |−5| = 5. Так как точка находится справа от точки на расстоянии = 5 от неё, то искомая точка′ будет находится слева от точки на таком же расстоянии = 5 от неё.

Рис. 1.5. Деление отрезка в некотором отношении

10