659

Пример. 3.35. Дана прямая 7 + 2 − 5 = 0. Определить угловой коэффициент прямой: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.

Решение. Данная прямая задана общим уравнением. Преобразуем его к уравнению прямой с угловым коэффициентом, то есть к виду = = + , где – угловой коэффициент прямой:

2 = −7 + 5,

Решение.

1)= −2 + 8, = 2 + 8. Обе прямые заданы уравнением прямой

сугловым коэффициентом. Условием их параллельности является равен-

ство угловых коэффициентов. Угловой коэффициент первой прямой 1 = −2, угловой коэффициент второй прямой 2 = 2. Угловые коэффициенты не равны, поэтому прямые не параллельны.

2) = − + 2, = − − 2. Обе прямые заданы уравнением прямой с угловым коэффициентом. Условием их параллельности является равенство угловых коэффициентов. Угловой коэффициент первой прямой 1 = −1, угловой коэффициент второй прямой 2 = −1. Угловые коэффициенты равны, поэтому прямые параллельны.

3) 5 − + 1 = 0, 10 − 2 − 7 = 0. Обе прямые заданы общим уравнением. Условием их параллельности является пропорциональность

коэффициентов при неизвестных, то есть 1 = 1 . В условиях нашего при-

2 2

121

мера: 1 = 5, 2 = 10, 1 = −1, 2 = −2. Составим пропорцию: 105 = −1−2 . Отсюда: 12 = 12 . Пропорция верная, поэтому прямые параллельны.

4) = 34 + 14 , 6 − 8 − 3 = 0. Первая прямая задана уравнением с

угловым коэффициентом, вторая прямая задана общим уравнением. Преобразуем уравнение второй прямой к уравнению прямой с угловым коэффи-

циентом: = 34 − 38 . Угловой коэффициент первой прямой 1 = 34 , угловой коэффициент второй прямой 2 = 34 . Угловые коэффициенты обеих

прямых равны, поэтому прямые параллельны.

5) 3 − 4 + 1 = 0, 5 + 3 − 4 = 0. Обе прямые заданы общим уравнением. Условием их параллельности является пропорциональность

коэффициентов при неизвестных. Составим пропорцию: 35 = −34 . Пропорция неверная, поэтому прямые не параллельны.

прямой в отрезках, вторая прямая задана общим уравнением прямой. Пре-

образуем уравнение первой прямой к общему уравнению:

− 3 + 23 − 1 = 0,− 2 + 3 = 0.

Проверим пропорциональность коэффициентов при неизвестных:

12 = −2−4 . Отсюда: 12 = 12 . Коэффициенты при неизвестных пропорциональны, поэтому прямые параллельны.

7) = − 13 − 2; 12 + 4 = 1. Первая прямая задана уравнением пря-

мой с угловым коэффициентом, вторая прямая задана уравнением прямой в отрезках. Преобразуем уравнение второй прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

отрезках. Приведём уравнения обеих прямых, например, к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Преобразуем первое уравнение:

5 = 5 + 1,

4

= 14 + 54 .

Преобразуем второе уравнение:

1 = − 1 + 1,

5 3

122

нением. Условием их перпендикулярности является равенство 1 2 + + 1 2 = 0, где 1 и 2 – коэффициенты при переменной в общем уравнении прямой, 1 и 2 – коэффициенты при переменной в общем уравнении прямой. В условиях нашего примера: 1 = 2, 2 = 1, 1 = −1, 2 = 2. Проверяем равенство: 2 ∙ 1 + (−1) ∙ 2 = 0. Отсюда: 0 = 0. Равенство верное, поэтому прямые перпендикулярны.

2) = − 12 + 1, = −2 + 1. Обе прямые заданы уравнением прямой с угловым коэффициентом. Условием их перпендикулярности является равенство 1 ∙ 2 = −1. Угловой коэффициент первой прямой 1 = − 12 , угловой коэффициент второй прямой 2 = −2. Проверяем равенство:

− 12 ∙ (−2) = −1. Отсюда 1 ≠ −1. Равенство неверное, поэтому прямые не

перпендикулярны.

3) 5 + 4 + 1 = 0, = −3 − 4. Первая прямая задана общим уравнением, вторая прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом. Преобразуем уравнение второй прямой к общему уравнению прямой:

3 + + 4 = 0. Проверим равенство 1 2 + 1 2 = 0: 5 ∙ 3 + 4 ∙ 1 = 0. От-

сюда 19 ≠ 0. Равенство неверное, поэтому прямые не перпендикулярны.

4)= −8 + 6, = 18 + 1. Обе прямые заданы уравнением прямой

сугловым коэффициентом. Угловой коэффициент первой прямой 1 = −8 , угловой коэффициент второй прямой 2 = 18 . Проверяем равенство

=−1: −8 ∙ 1 = −1. Отсюда −1 = −1. Равенство верное, поэтому1 ∙ 2

8

прямые перпендикулярны.

123

отрезках. Приведём уравнения обеих прямых, например, к общему уравнению прямой.

Преобразуем первое уравнение:

−3 + 4 − 1 = 0; 3 − 4 + 1 = 0.

Преобразуем второе уравнение:

2 + 32 − 1 = 0; 4 + 3 − 2 = 0.

Проверим равенство 1 2 + 1 2 = 0: 3 ∙ 4 + (−4) ∙ 3 = 0. Отсюда 0 = 0. Равенство верное, поэтому прямые перпендикулярны.

6) 5 + 2 − 7 = 0, − − 4 = 0. Обе прямые заданы общим урав-

нением. Проверим равенство 1 2 + 1 2 = 0: 5 ∙ 1 + 2 ∙ (−1) = 0. Отсюда: 3 = 0. Равенство неверное, поэтому прямые не перпендикулярны.

7) = 2 − 1; 3 + = 1. Первая прямая задана уравнением прямой с

−2 3

угловым коэффициентом, вторая прямая задана уравнением прямой в отрезках. Преобразуем уравнение второй прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

= 1 − 3 ,

3 −2

= 3 + 2 ;

= 2 + 3.

Угловой коэффициент первой прямой 1 = 2 , угловой коэффициент второй прямой 2 = 2 . Проверяем равенство 1 ∙ 2 = −1: 2 ∙ 2 = −1. Отсюда 4 = −1. Равенство неверное, поэтому прямые не перпендикулярны.

прямой в отрезках, вторая прямая задана общим уравнением прямой. Преобразуем уравнение первой прямой к общему уравнению:

−3 + − 1 = 0; 3 − + 1 = 0.

Проверим равенство 1 2 + 1 2 = 0: 1 ∙ 3 + 3 ∙ (−1) = 0. Отсюда: 0 = 0. Равенство верное, поэтому прямые перпендикулярны.

Ответ: 1, 4, 5, 8.

Пример. 3.38. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

(2; −1) параллельно прямой 4 − 7 + 12 = 0.

Решение. Обозначим через угловой коэффициент данной прямой, через 1 обозначим угловой коэффициент искомой прямой. Так как искомая и данная прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны:= 1. Найдём угловой коэффициент данной прямой. Данная прямая задана общим уравнением. Преобразуем его к уравнению прямой с угловым коэффициентом, то есть к виду = + , где – угловой коэффициент прямой:

7 = 4 + 12,

124

= 47 + 127 .

Таким образом, угловой коэффициент данной прямой = 47 и угловой коэффициент искомой прямой 1 = 47 .

Далее воспользуемся уравнением прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку: − 1 = 1( − 1), где ( 1; 1) – данная точка; в условиях примера – это точка (2; −1).

Подставляем данные:

− (−1) = 47 ( − 2), 7( + 1) = 4( − 2),

4 − 7 − 15 = 0. Ответ: 4 − 7 − 15 = 0.

Пример. 3.39. Составить уравнение прямой, проходящей через точку(−5; 2) перпендикулярно прямой 4 − + 3 = 0.

Решение. Обозначим через угловой коэффициент данной прямой, через 1 обозначим угловой коэффициент искомой прямой. Так как искомая и данная прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэф-

фициентов равно −1: 1 = −1. Отсюда 1 = − 1 . Найдём угловой коэф-

фициент данной прямой. Данная прямая задана общим уравнением. Преобразуем его к уравнению прямой с угловым коэффициентом, то есть к виду= + , где – угловой коэффициент прямой: = 4 + 3. Таким образом, угловой коэффициент данной прямой = 4 и угловой коэффициент

искомой прямой 1 = − 1 = − 14 .

Далее воспользуемся уравнением прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку: − 1 = 1( − 1), где ( 1; 1) – данная точка; в условиях примера – это точка (−5; 2).

Подставляем данные:

− 2 = − 14 ( − (−5)), 4( − 2) = −( + 5),

+ 4 − 3 = 0. Ответ: + 4 − 3 = 0.

Пример. 3.40. Даны середины сторон треугольника 1(2; 1),2(5; 3), 3(3; −4). Составить уравнения его сторон.

Решение. Сделаем схематичный чертёж (рис. 3.44).

Отрезок 1 2 является средней линией треугольника. Как известно из элементарной геометрии, средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон, поэтому отрезок 1 2 параллелен стороне и значит

125

Рис. 3.44. Составление уравнений сторон треугольника по известным координатам середин сторон (к Примеру 3.40)

Таким образом, 1 2 = = 23 .

Далее можно составить уравнение стороны , используя уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную

точку: − 0 = ( − 0), где – угловой коэффициент прямой, ( 0; 0) – данная точка прямой. В условиях примера = 23 . Данная точка прямой –

это точка 3(3; −4). Подставляем данные в уравнение и преобразуем его

общему уравнению прямой:

− (−4) = 23 ( − 3), 3( + 4) = 2( − 3),

2 − 3 − 18 = 0.

Составляем уравнение стороны2 :

− 1 = 72 ( − 2), 2( − 1) = 7( − 2),

7 − 2 − 12 = 0.

Найдём угловой коэффициент отрезка 1 3:

1 3 = 2− 1 = −4−1 = −5.2− 1 3−2

Таким образом, 1 3 = = −5 . Составляем уравнение стороны :

− 3 = −5( − 5), 5 + − 28 = 0.

Ответ: 2 − 3 − 18 = 0, 7 − 2 − 12 = 0, 5 + − 28 = 0.

3.10. Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости

Если прямые не параллельны, то есть для них не выполняется усло-

вие параллельности ( 1 ≠ 2 или 1 ≠ 1), то прямые пересекаются в неко-

2 2

торой точке.

126

Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости, когда прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом

Пусть прямые 1 и 2 заданы уравнением с угловым коэффициентом:

= 1 + 1 и = 2 + 2.

Для нахождения координат точки пересечения прямых решим их

уравнения совместно, то есть составим систему уравнений:

{ = 1 + 1,= 2 + 2.

Решение системы будет являться общей точкой для обеих прямых. Так как левые части уравнений одинаковые, то можно приравнять правые части. Получаем уравнение:

1 + 1 = 2 + 2.

Решим уравнение относительно :

1 − 2 = 2 − 1;( 1 − 2) = 2 − 1;

= 2− 1 .1− 2

Затем полученное выражение подставим вместо в любое уравнение, например, в первое:

Получаем следующую точку пересечения прямых: ( 2− 1 ; 1 2− 2 1).

1− 2 1− 2

Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости, когда прямые заданы общим уравнением

Пусть прямые 1 и 2 заданы общим уравнением:

1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0, причём 12 + 12 ≠ 0,22 + 22 ≠ 0.

Для нахождения координат точки пересечения прямых решим их

уравнения совместно, то есть составим систему уравнений:

{ 1 + 1 + 1 = 0,2 + 2 + 2 = 0.

Перенесём числовые слагаемые в правые части:

{ 1 + 1 = −1,2 + 2 = −2.

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и . Решим систему, например, по

Таким образом ∆≠ 0 и система имеет единственное решение и следовательно прямые имеют единственную точку пересечения.

Далее найдём определители ∆1 и ∆2:

127

При решении примеров возможна ситуация, когда выполняется усло-

вие параллельности прямых. Тогда нужно проверить условие совпадения прямых: 1 = 2, 1 = 2, когда прямые заданы уравнением прямой с угло-

вым коэффициентом, и 1 = 1 = 1 , когда прямые заданы общим уравне-

2 2 2

нием. Если прямые параллельны, то они не имеют общей точки. Если прямые совпадают, то они имеют бесконечно много общих точек.

Пример. 3.41. Найти точку пересечения двух прямых:

1)= − 23 − 73 , = − 56 − 53 ;

2)3 + 7 − 10 = 0, 5 + 2 − 36 = 0;

3)2 − + 8 = 0, 4 − 2 − 1 = 0;

4)− 3 + 2 = 0, 3 + − 5 = 0;

5)= −4 − 12 , = −4 + 2;

6)2 − 4 − 11 = 0, 4 − 8 − 22 = 0;

7)5 + 8 − 1 = 0, 4 − 3 + 18 = 0;

8)6 − 5 + 9 = 0, 4 − 3 = 0;

9)3 + 1 = 0, − 6 + 7 = 0;

10)= − 12 + 1, 7 + 14 + 6 = 0.

11)8 + 3 = 0, 5 − 2 = 0.

Решение.

1) = − 23 − 73 , = − 56 − 53 . Прямые заданы уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловые коэффициенты прямых не совпадают: − 23 ≠ − 56 , поэтому прямые не параллельны и, значит, пересекаются в неко-

торой точке. Найдём эту точку.

Приравниваем правые части уравнений:

− 23 − 73 = − 56 − 53 .

Найдём :

56 − 23 = 73 − 53 , 16 = 23 ,

= 4.

Найдём , подставив найденное значение , например, в уравнение

первой прямой:

= − 23 ∙ 4 − 73 = −5.

Таким образом, получаем следующую точку пересечения прямых:

(4; −5)

128

2) 3 + 7 − 10 = 0, 5 + 2 − 36 = 0. Прямые заданы общим уравнением. Коэффициенты при и не пропорциональны: 35 ≠ 72 , поэтому

прямые не параллельны и, значит, пересекаются в некоторой точке. Найдём эту точку.

Объединим уравнения прямых в систему:

ны и не имеют общей точки.

4) − 3 + 2 = 0, 3 + − 5 = 0. Прямые заданы общим уравнением. Коэффициенты при и не пропорциональны: 13 ≠ −13 , поэтому прямые

не параллельны и, значит, пересекаются в некоторой точке. Найдём эту точку.

Объединим уравнения прямых в систему:

− 3 + 2 = 0, {3 + − 5 = 0.

Решим систему, например, методом подстановки. Выразим из второго уравнения , подставим в первое уравнение и найдём :

= −3 + 5,− 3(−3 + 5) + 2 = 0, 10 − 13 = 0,

= 1310 .

Вычислим : = −3 ∙ 1310 + 5 = 1110 .

Таким образом, получаем следующую точку пересечения прямых:

(1310 ; 1110).

5) = −4 − 12 , = −4 + 2. Прямые заданы уравнением прямой с

угловым коэффициентом. Угловые коэффициенты прямых совпадают: −4 = −4, поэтому прямые параллельны или совпадают. Проверим условие

129

совпадения: −4 = −4, − 12 ≠ 2. Условие совпадения не выполняется, поэто-

му прямые параллельны и не имеют общей точки.

6) 2 − 4 − 11 = 0, 4 − 8 − 22 = 0. Прямые заданы общим уравнением. Коэффициенты при и пропорциональны: 24 = −4−8 12 = 12 , по-

этому прямые параллельны или совпадают. Проверим условие совпадения:

24 = −−48 = −−1122

12 = 12 = 12 . Условие совпадения выполняется, поэтому прямые совпадают и

имеют бесконечно много общих точек.

7) 5 + 8 − 1 = 0, 4 − 3 + 18 = 0. Прямые заданы общим уравнением. Коэффициенты при и не пропорциональны: 54 ≠ −38 , поэтому

прямые не параллельны и, значит, пересекаются в некоторой точке. Найдём эту точку.

Объединим уравнения прямых в систему:

5 + 8 − 1 = 0, {4 − 3 + 18 = 0.

Решим систему, например, методом сложения. Умножим первое

уравнение на −4, второе уравнение умножим на 5:

−20 − 32 + 4 = 0, {20 − 15 + 90 = 0.

Сложим уравнения:

−47 + 94 = 0.

Найдём : = 2.

Подставим найденное значение , например, в первое уравнение исходной системы и найдём :

5 + 8 ∙ 2 − 1 = 0,= −3.

Таким образом, получаем следующую точку пересечения прямых:

(−3; 2).

8) 6 − 5 + 9 = 0, 4 − 3 = 0. Прямые заданы общим уравнением. Вторая прямая параллельна оси , первая прямая не параллельна этой оси, поэтому прямые не параллельны и, значит, пересекаются в некоторой точке. Найдём эту точку.

Объединим уравнения прямых в систему:

{6 − 5 + 9 = 0, 4 − 3 = 0.

Выразим из второго уравнения и подставим в первое уравнение:

= 34 , 6 ∙ 34 − 5 + 9 = 0,

29 − 5 + 9 = 0, 5 = 272 ,

= 2710 .

130