659

Рассмотрим треугольник . Запишем проекцию отрезка ̅̅̅̅̅ на

направление нормали:

пр ̅̅̅̅̅ = | | cos .

Учитывая, что = − Θ, получаем:

пр ̅̅̅̅̅ = | | cos = | | cos( − Θ) =

=| |(cos cos + sin sin ) =

=(| | cos ) cos + (| | sin ) sin .

Рассмотрим треугольник . Выразим синус и косинус угла Θ че-

рез координаты точки :

sin = || || = | | , cos = || || = | | .

Отсюда:

= | | sin , = | | cos .

С учётом этих выражений получаем:

пр ̅̅̅̅̅ = cos + sin .

Учитывая, что пр ̅̅̅̅̅ = | | = , получаем:

= cos + sin

или

cos + sin − = 0,

где – угол наклона нормали к оси , – расстояние от начала координат до прямой. Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Для приведения общего уравнения прямой + + = 0, где2 + 2 ≠ 0, к нормальному уравнению cos + sin − = 0, надо общее уравнение умножить на нормирующий множитель:

где знак выбирается противоположным знаку коэффициента .

Пример. 3.28. Среди приведённых уравнений указать нормальные уравнения прямой:

Решение. Нормальное уравнение прямой имеет вид cos +

+ sin − = 0. Это уравнение характеризуется тем, что коэффициенты при и по модулю не превосходят единицы (|cos | ≤ 1, |s | ≤ 1); сумма квадратов коэффициентов при и равна единице (по основному тригонометрическому тождеству cos2 + sin2 = 1); числовое слагаемое должно быть отрицательным.

1) = −3 + 5. Это уравнение является уравнением прямой с угловым коэффициентом.

111

2) 4 − 2 + 7 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое положительно: 7 > 0, поэтому уравнение не является нормальным.

3) 4 − 2 − 7 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое отрицательно: −7 < 0. Коэффициенты при неизвестных по модулю больше единицы: |4| > 1, |−2| > 1, поэтому уравнение не является нормальным.

4) 35 − 45 − 2 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое отрицательно: −2 < 0. Коэффициенты при неизвестных по модулю не превосходят единицы: |35| < 1, |− 45| < 1. Найдём сумму

квадратов коэффициентов при неизвестных: (35)2 + (− 45)2 = 259 + 1625 = 1.

Сумма квадратов равна единице. Все условия выполняются, поэтому уравнение является нормальным.

5) 35 − 45 + 2 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального.

Числовое слагаемое положительно: 2 > 0, поэтому уравнение не является нормальным.

6) 2 + 3 = 1. Это уравнение является уравнением прямой в отрезках.

7) 135 + 1213 − 1 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое отрицательно: −1 < 0. Коэффициенты при неизвестных по модулю не превосходят единицы: |135 | < 1, |1213| < 1. Найдём сумму

квадратов коэффициентов при неизвестных: (135 )2 + (1213)2 = 16925 + 144169 = 1. Сумма квадратов равна единице. Все условия выполняются, поэтому урав-

нение является нормальным.

8)− + 2 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое положительно: 2 > 0, поэтому уравнение не является нормальным.

9)− 2 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое отрицательно: −2 < 0. Коэффициенты при неизвестных по модулю не превосходят единицы: |1| = 1, |0| < 1. Найдём сумму квадратов коэффициентов при неизвестных: 12 + 02 = 1. Сумма квадратов равна единице. Все условия выполняются, поэтому уравнение является нормальным.

10)+ 1 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое положительно: 1 > 0, поэтому уравнение не является нормальным.

11)− 1 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Числовое слагаемое отрицательно: −1 < 0. Коэффициенты при неизвестных по модулю не превосходят единицы: |0| < 1, |1| = 1 Найдём сумму квадратов коэффициентов при неизвестных: 02 + 12 = 1. Сумма квадратов равна единице. Все условия выполняются, поэтому уравнение является нормальным.

12)5 − 2 = 0. В целом это уравнение имеет вид нормального. Коэффициенты при неизвестных по модулю больше единицы: |5| = 5 > 1, |−2| = 2 > 1, поэтому уравнение не является нормальным.

112

Ответ: 4, 7, 9, 11.

Пример. 3.29. Привести общее уравнение прямой к нормальному:

Решение. Для приведения общего уравнения прямой к нормальному надо умножить общее уравнение на нормирующий множитель .

1) 4 − 3 + 6 = 0. Вычислим нормирующий множитель:

3.8. Угол между двумя прямыми

Пусть прямые 1 и 2 заданы уравнением с угловым коэффициентом:

= 1 + 1 и = 2 + 2 ,

где 1 = 1, 2 = 2; 1 и 2 – углы наклона прямых к оси . Обозначим через наименьший угол между прямыми 1 и 2

(рис. 3.40).

По чертежу запишем угол между прямыми через углы наклона прямых: = 2 − 1. Далее запишем тангенс угла между прямыми и воспользуемся формулой тангенса разности:

= ( 2 − 1) = 2− 1 .

1+ 1∙ 2

Учитывая, что 1 = 1, 2 = 2, получаем выражение тангенса угла между прямыми через угловые коэффициенты прямых:

113

2

1

2 1

1 2

Рис. 3.40. Угол между двумя прямыми, заданными уравнением с угловым коэффициентом

= 2−1 .

1+1∙2

По этой формуле находят угол между двумя прямыми.

Эта формула применима всегда, кроме случая = 2 , то есть когда

прямые перпендикулярны. В этом случае тангенс не существует, то есть

1 + 1 ∙ 2 = 0.

При нахождении угла между двумя прямыми обычно подразумевают острый угол. С учётом этого формулу можно записать в виде:

= | 2−1 |.

1+1∙2

В этом случае нет необходимости учитывать очерёдность прямых. Если есть необходимость учёта очерёдности прямых, то пользуются следующим правилом: поворот от первой прямой ко второй прямой должен происходить против часовой стрелки.

Выведем формулу угла между двумя прямыми, заданными общим уравнением. Пусть прямая 1 задана уравнением 1 + 1 + 1 = 0 и пря-

мая 2 задана уравнением 2 + 2 + 2 = 0. Преобразуем уравнение пер-

вой прямой к уравнению с угловым коэффициентом: = − 1 − 1 . Пре-

1 1

образуем уравнение второй прямой к уравнению с угловым коэффициен-

Таким образом, угол между двумя прямыми, заданными общим уравнением, можно найти по формуле:

= | 1 2−2 1|.

1 2+ 1 2

114

Эта формула применима всегда, кроме случая = 2 , то есть когда

прямые перпендикулярны. В этом случае тангенс не существует, то есть

1 2 + 1 2 = 0.

Пример. 3.30. Найти угол между двумя прямыми:

1)= −3 + 7, = 2 + 1;

2)= 4 − 3, = 2 + 2;

3)= − 12 + 6, = − 13 − 43 .

Решение. Применим формулу нахождения угла между двумя пря-

мыми: = | 2− 1 |, где 1 – угловой коэффициент одной прямой, 2 –

1+ 1∙ 2

угловой коэффициент другой прямой.

В примере прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом, поэтому коэффициенты перед " " – это и есть угловые коэффициенты прямых.

Пример. 3.31. Найти угол между двумя прямыми:

1)2 + − 5 = 0, 6 − 2 + 7 = 0;

2)− 3 + 6 = 0, 4 + 5 − 7 = 0;

3)6 − 7 − 2 = 0, 7 + 6 + 5 = 0

Решение. В примере прямые заданы общим уравнением + + + = 0. Найдём угол между прямыми двумя способами.

Первый способ. Применим формулу нахождения угла между двумя

прямыми: = | 2− 1 |, где 1 – угловой коэффициент одной прямой, 2 –

1+ 1∙ 2

угловой коэффициент другой прямой. Для нахождения угла между этими прямыми надо знать угловые коэффициенты прямых. Для этого преобразуем каждое уравнение к уравнению с угловым коэффициентом = + .

Второй способ. Применим формулу угла между двумя прямыми че-

рез коэффициенты общего уравнения: = | 1 2− 2 1| .

1 2+ 1 2

115