Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

659

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

2.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>


		2
2


						−
					2	−
	1
	1			1


Рис. 2.12. Проекция направленного отрезка на ось
			̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅		пр 1 2		.
= пр 1 2. Тогда sin =			̅̅̅̅̅̅̅̅	.
			\| 1 2\|
Отсюда:
			̅̅̅̅̅̅̅̅		= \| 1		2\| sin .
			пр 1	2	= \| 1		2\| sin .
Таким образом,	проекция направленного отрезка на ось равна

произведению длины этого отрезка на синус угла, образуемого отрезком с осью . Или этот результат можно интерпретировать следующим образом: проекция направленного отрезка на ось равна произведению длины этого отрезка на косинус угла, образуемого отрезком с осью .

Из

̅̅̅̅̅̅̅̅

| 1 2| cos

̅̅̅̅̅̅̅̅

= | 1 2| sin

формул пр 1

и пр 1 2

можно получить формулу нахождения полярного угла

̅̅̅̅̅̅̅̅

отрезка 1 2.

̅̅̅̅̅̅̅̅

Выразим из каждой формулы длину отрезка 1

̅̅̅̅̅̅̅̅

| | =

пр 1 2

и |

| =

пр 1 2

cos

sin

Приравняем полученные выражения:

̅̅̅̅̅̅̅̅

пр 1 2

cos

sin

̅̅̅̅̅̅̅̅

Умножив полученное равенство на sin

и разделив на пр 1 2, по-

лучаем:

sin

̅̅̅̅̅̅̅̅

пр 1 2

cos

̅̅̅̅̅̅̅̅

пр 1 2

Отсюда, учитывая формулы нахождения проекции отрезка на оси ко-

ординат через координаты начала и конца отрезка, можно записать:

2− 1

−

Полученная формула позволяет находить полярный угол отрезка по известным координатам его начала и конца.

Пример 2.9. Вычислить проекции отрезка на координатные оси, зная, что длина отрезка равна 2, полярный угол равен 6 .

Решение.

Найдём проекцию отрезка на ось :

̅̅̅̅̅̅̅̅

= | 1 2

| cos = 2 cos

√3.

пр 1 2

Найдём проекцию отрезка на ось :

̅̅̅̅̅̅̅̅

= | 1 2

| sin = 2 sin

= 1.

пр 1 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅6

Ответ: пр 1 2 = √3, пр 1 2

= 1.

Пример 2.10. Даны две точки (−5; 2) и (3; 1). Найти проекцию отрезка ̅̅̅̅ на ось, которая составляет с осью абсцисс угол = 43.

Решение. Обозначим через ось, которая составляет с осью абсцисс заданный угол . Ось проведём через начало координат. Обозначим черезполярный угол отрезка ̅̅̅̅, то есть угол между отрезком ̅̅̅̅ и осью . Обозначим через полярный угол отрезка ̅̅̅̅ относительно новой оси , то есть угол между отрезком ̅̅̅̅ и осью Опустим из точек и перпендикуляры на ось . Основания перпендикуляров обозначим через ′ и

′ соответственно. Проекцией отрезка ̅̅̅̅ на ось является величина направленного отрезка ̅̅̅̅̅̅′ ′ (рис. 2.13).




		′





′
′

Рис. 2.13. Проекция отрезка ̅̅̅̅ на ось (к Примеру 2.10)

Применяя формулу нахождения проекции отрезка на ось через полярный угол, получаем: пр ̅̅̅̅ = | | cos . Найдём длину отрезка ̅̅̅̅ по

формуле: = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2. Тогда:

| | = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2 = √(3 − (−5))2 + (1 − 2)2 = √65.

Из чертежа (рис. 2.13) найдём полярный угол :

= − = − ( − − ) = + .

Запишем проекцию отрезка ̅̅̅̅ на ось с учётом выполненных рас-

суждений:

пр ̅̅̅̅ = | | cos = √65 cos( + ) = √65(cos cos − sin sin ).

Найдём полярный угол из формулы нахождения полярного угла отрезка через координаты начала и конца отрезка:

=	2− 1		=	1−2	= −	1	.
				3−(−5)
	−	1			8
2

Угол найдём из условия задачи: = 43 .

Далее найдём cos , cos , sin , sin , учитывая, что углы и – острые. Поэтому cos , cos , sin , sin – положительные величины. Найдём эти величины, используя формулы тригонометрии:

1			1			3											1				1			8
cos =		=			=		; cos =													=			=		;

	√1+ 2			4 2		5												√1+ 2			1	2		√65
			√1+( )																		√1+(− )
				3																	8
				√1 − (				3		)2		=		4
sin = √1 − 2 =								3						4	;
sin = √1 − 2 =															;
							5						5

				√1 − (					8		)2						1		.
sin = √1 − 2 =									8				=				1
sin = √1 − 2 =													=
							√65									√65

Тогда искомая проекция:

пр ̅̅̅̅ = √65(cos cos − sin sin ) = √65 (35 ∙ √865 − 45 ∙ √165) = 4. Ответ: пр ̅̅̅̅ = 4.

2.4. Деление отрезка в заданном отношении на плоскости

	Пусть 1( 1; 1) и 2( 2; 2) – две данные точки на плоскости и из-
			̅̅̅̅̅̅̅̅
вестно, что некоторая точка ( ; ) делит отрезок 1 2 в отношении , то
есть	1	= . Здесь 1 и 2		̅̅̅̅̅̅
	2		– величины направленных отрезков 1 и
̅̅̅̅̅̅̅
2.
	Получим формулы для вычисления координат точки .			Для этого

опустим перпендикуляры из точек 1, 2, на ось . Основания перпен-

дикуляров обозначим	,	, соответственно (рис. 2.14).
1	2
		2
		2

1
− 1	2	−
1
1		2

Рис. 2.14. Нахождение абсциссы точки , которая делит отрезок ̅̅̅̅̅̅̅̅

1 2

в заданном отношении

Из элементарной геометрии известно, что отрезки прямых, заклю-

чённые между параллельными прямыми, пропорциональны,

то есть

−

= .

Но = − ,

− . Тогда:

= . Выразим

−

отсюда

− 1 = ( 2 − )

− 1 = 2 −

+ = 1 + 2

(1 + ) = 1 + 2

1+ 2

Полученная формула позволяет вычислить координату точки .

Далее опустим перпендикуляры из точек 1, 2, на ось . Осно-

вания перпендикуляров обозначим

, , соответственно (рис. 2.15).

2 −

− 1

̅̅̅̅̅̅̅̅

Рис. 2.15. Нахождение ординаты точки , которая делит отрезок 1 2

в заданном отношении

Запишем пропорциональность отрезков:

= .

−1

Но

= − ,

= − . Тогда:

= . Выразим отсюда :

2−

− 1 = ( 2 − )

− 1 = 2 −

+ = 1 + 2

(1 + ) = 1

+ 2

1+ 2

Полученная формула позволяет вычислить координату точки .

Рассмотрим частный случай, когда точка является серединой от-

̅̅̅̅̅̅̅̅

1 = 2 и = 1. Формулы нахождения координат

резка 1 2. Тогда

середины отрезка принимают вид:

1+ 2

, =

1+ 2

Таким образом, координаты середины отрезка равны полусумме со-

ответствующих координат его концов.

Пример 2.11. Точки (3; 7), (−4; −7),

(5; 11) лежат на одной

прямой. Определить, в каком отношении точка

̅̅̅̅

делит отрезок С.

Решение.

Для нахождения используем формулу =

− 1

. Здесь

−

3−(−4)

= 3,

= −4,

= 5. Тогда: =

5−3

Ответ:

Пример 2.12. Даны две точки 1(2;

5) и 2(3; −7). Найти коорди-

̅̅̅̅̅̅̅̅

в отношении =

наты точки , которая делит отрезок 1 2

Решение.

Здесь 1 = 2,

2 = 3, 1 = 5, 2 = −7. Найдём абсциссу

точки : =

1+ 2

2+3∙3

. Найдём ординату точки : =

1+ 2

5+1∙(−7)

= 2.

Ответ:

(

; 2).

Пример 2.13. Даны две точки 1(−8; 1) и 2(2; −5). Найти коор-

̅̅̅̅̅̅̅̅

динаты середины отрезка 1

Решение. Здесь 1 = −8, 2 = 2, 1 = 1, 2 = −5. Найдём абсциссу

середины отрезка:

1+ 2

−8+2

= −3.

Найдём ординату середины от-

резка:

= 1+2 2 = 1−25 = −2.

Ответ: (−3; −2).

Пример 2.14. Даны вершины треугольника (2; −5), (1; −2),(4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла при вершине со стороной .

Решение. Обозначим точку пересечения биссектрисы со сторонойчерез (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Треугольник и биссектриса (к Примеру 2.14)

Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторо-

нам. Тогда можно записать соотношение:

| |

По формуле расстояния между двумя точками:

√

(

)

(−2

(

)

1 − 2

−

−5

= √10,

√

(

)

(

)

4 − 1

(7 −

−2

) = √90 = 3√10.

| |

√10

̅̅̅̅

Тогда | | =

= 3

, то есть точка делит отрезок в отношении

3√10

. Найдём координаты точки :

1+ 2

2+3∙4

, =

1+ 2

−5+3∙7

= −2.

Точка пересечения биссектрисы и стороны : (52 ; −2).

Ответ: (52 ; −2).

Пример 2.15. Даны вершины однородной треугольной пластины

1( 1; 1), 2( 2; 2), 3( 3; 3). Определить координаты её центра масс. Указание. Центр масс находится в точке пересечения медиан.

Решение. Обозначим точку пересечения медиан через . Точку пересечения медианы, проведённой из вершины 1, с противоположной стороной обозначим через (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Нахождение центра масс треугольной пластины (к Примеру 2.15)

Учитывая, формулы нахождения координат середины отрезка, находим координаты точки : = 2+2 3, = 2+2 3. Имеем: ( 2+2 3 ; 2+2 3).

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины, то есть точка

делит медиану 1 в отношении 2: 1, считая от точки 1. С учётом этого,

| 1 |

= 2. Далее находим точку :

| |

+2∙ 2+ 3

+ +

+2∙ 2+ 3

+ +

1 2 3

, =

1 2 3

1+2

Получаем следующий центр масс однородной треугольной пластины:

(	1+ 2+ 3		;	1+ 2+ 3			).

3				3
Ответ: (		1+ 2+ 3			;	1+ 2+ 3		).
						3
				3

Пример 2.16. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по рёбрам пластины. Определить центр масс пластины.

Указание. Если однородную пластину разбить на две части и найти центр масс каждой из них, то центр масс исходной пластины находится в точке, которая делит расстояние между центрами масс каждой из частей в отношении, обратном отношению их площадей. Центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан. Центр масс прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей.

Решение. Разобьём пластину на три фигуры: прямоугольник, квадрат и треугольник. Центр масс прямоугольника обозначим 1, квадрата – 2, треугольника – 3 (рис. 2.18).

2	1	3
2	1
		2	1
		2
		2

Рис. 2.18. Нахождение центра масс пластины (к Примеру 2.16)

По чертежу центр масс прямоугольника: 1 (12 ; 1), центр масс квад-

рата: 2 (32 ; 12). Сначала найдём центр масс пластины, состоящей из прямо-

угольника и квадрата. Для этого найдём их площади: 1 = 2, 2 = 1 соответственно. Тогда, согласно указанию к задаче, центр масс пластины, состоящей из прямоугольника и квадрата, находится в точке, которая делит

расстояние между точками 1 и 2 в отношении 1 = 2 = 1. Тогда центр

1 2

масс пластины, состоящей из прямоугольника и квадрата:

1 3

1 1

1+ 1 2

= 2+21∙2

, =

1+ 1 2

1+2∙2

1+ 1

Получаем точку ′ (56 ; 56) – центр масс пластины, состоящей из прямоугольника и квадрата.

Далее найдём центр масс треугольника, используя результат Примера 2.15. Обозначим вершины треугольника через , , и запишем их координаты: (1; 2), (2; 1), (1; 1). Тогда координаты центра масс треугольника:

=	1+ 2+ 3	=	1+2+1	=	4	, =	1+ 2+ 3	=	2+1+1	=	4	.

3		3		3		3		3		3

Получили точку 3 (43 ; 43) – центр масс треугольника.

Далее для нахождения центра масс исходной пластины нам понадобится площадь треугольника: 3 = 12.

Находим центр масс исходной пластины, учитывая, что он находится в точке, которая, согласно указанию к задаче, делит расстояние между точ-

														3	1						1
ками ′ и в отношении										2		=		3	=		2	=			1		:
ками ′ и в отношении												=			=			=					:
3														1+ 2	2+1			6
														1+ 2	2+1			6
				5		1 4																5		1 4
′ =	1+ 2 2		= 6+61∙3						=		19		, ′ =			1+ 2 2			=			6+61∙3					=		19	.
′ =			= 6+61∙3						=	21			, ′ =						=			6+61∙3					=		21	.
	1+ 2			1+				6		21						1+ 2						1+			6				21
								6																	6
Таким образом, получили точку																		(		19		;		19		)		–	центр масс исходной
Таким образом, получили точку																		(				;		21		)		–	центр масс исходной
																		21						21
пластины.
Ответ: (		19		;	19		).
Ответ: (				;			).
21				21

2.5. Вычисление площади треугольника через координаты его вершин

Пусть 1( 1; 1), 2( 2; 2) и 3( 3; 3) – три данные точки, не лежащие на одной прямой. Вычислим площадь треугольника 1 2 3 че-

рез координаты его вершин. Обозначим через угол между отрезками

̅̅̅̅̅̅̅̅	̅̅̅̅̅̅̅̅			̅̅̅̅̅̅̅̅
1 2	и 1 3, через 1	обозначим полярный угол отрезка 1 2, через 2
		̅̅̅̅̅̅̅̅
обозначим полярный угол отрезка 1 3. Рассмотрим два случая: когда
		̅̅̅̅̅̅̅̅	̅̅̅̅̅̅̅̅	положителен и отрицате-
наименьший угол между отрезками 1 2			и 1 3	положителен и отрицате-

лен (рис. 2.19, рис. 2.20).

	2
	2

	1
	1

Рис. 2.19. Треугольник 1 2 3, когда наименьший угол
̅̅̅̅̅̅̅̅	̅̅̅̅̅̅̅̅	положителен
между отрезками 1 2	и 1 3	положителен
38

			3
		1

		2
1

Рис. 2.20. Треугольник 1 2	3, когда наименьший угол
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅	отрицателен
между отрезками 1 2		и 1 3	отрицателен

Найдём площадь треугольника 1 2 3. Площадь треугольника возьмём как половину произведения двух сторон треугольника на синус уг-

ла между ними:

| ∙

| | sin .

∆

1 2

1 3

̅̅̅̅̅̅̅̅

Если наименьший угол между отрезками 1 2

и 1 3 положителен

̅̅̅̅̅̅̅̅

(рис. 2.19), то = 2 − 1. Если наименьший угол между отрезками 1

̅̅̅̅̅̅̅̅

отрицателен (рис. 2.20), то = 1 − 2. Таким образом, =

и 1 3

= ±( 2 − 1). Тогда:

| ∙

| | sin =

∆

1 2

= ±

| ∙ |

| sin(

− )

= ±

| ∙ |

|(sin

cos

− cos

sin ).

Учитывая формулы нахождения проекций направленного отрезка на

координатные оси через длину и полярный угол отрезка, получаем:

̅̅̅̅̅̅̅̅

= | 1 2| sin 1,

пр 1

| 1 2| cos 1, пр 1 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

= | 1 3| sin 2.

пр 1

| 1 3| cos 2, пр 1 3

=± 12

Тогда площадь треугольника:

= ±

| ∙ |

|(sin

cos − cos

sin ) =

∆

1 2

1 3

(| 1

| ∙ | 1 3 | sin 2 cos 1 − | 1

2 | ∙ | 1 3 | cos 2 sin 1) =

(| 1

| cos 1

∙ | 1 3 | sin 2

− | 1

2 | sin 1

∙ | 1 3| cos 2) =

̅̅̅̅̅̅̅̅

(пр 1

∙ пр 1 3

− пр 1

2 ∙ пр

1 3).

Учитывая формулы нахождения проекций направленного отрезка на

координатные оси через координаты концов отрезка, получаем:

∆ 1 2 3 = ± 12 [( 2 − 1)( 3 − 1) − ( 2 − 1)( 3 − 1)].

С учётом понятия определителя второго порядка формулу площади треугольника можно записать в виде:

| 2 − 1

2 − 1

3 − 1

∆

3 − 1

Если три точки 1( 1; 1), 2( 2; 2) и 3( 3; 3) лежат на одной

прямой, то площадь треугольника 1 2 3

равна нулю. Формула площади

принимает вид:

[( − )( − )

− ( − )( − )] = 0.

Отсюда:

( 2 − 1)( 3 − 1) − ( 2

− 1)( 3 − 1) = 0

2− 1

−

Полученная формула связывает координаты трёх точек, лежащих на

одной прямой.

Пример 2.17. Даны три точки 1(−5; −2),

2(−1; 4) и 3(3; 2).

Найти площадь треугольника 1 2 3.

Решение. По формуле площади треугольника получаем:

2 − 1

− 1

−1 − (−5) 4 − (−2)

| =

3 − 1

∆

2 3 − (−5) 2 − (−2)

6| =

∙ (−32) = −16. Отсюда

= 16.

∆

Ответ: 16.

Пример 2.18.

Выяснить,

лежат

ли

точки

1(2; −3), 2(6; 5) и

3(−1; −9) на одной прямой.

Решение. Воспользуемся условием, при котором три точки лежат на

одной прямой:

2− 1

. Подставляем координаты данных точек:

−

6−2

5−(−3)

−1−2

−9−(−3)

Отсюда:

−3

−6

То есть −

= −

и точки лежат на одной прямой.

Ответ: точки лежат на одной прямой.

Пример 2.19. Известны координаты

двух

вершин треугольника

(2; 1) и (3; −2),

а третья вершина лежит на оси . Площадь тре-

угольника равна 4. Найти координаты вершины .

Решение. Обозначим абсциссу точки через , ордината этой точки

равна 0: ( ; 0). По формуле площади треугольника получаем:

| 2

− 1

− 1| =

|3 − 2 −2 − 1| =

| 1

−3| =

∆

− 1

3 − 1

2 − 2

0 − 1

2 − 2 −1

(−1 + 3( − 2))

(−7 + 3 ).

По условию площадь треугольника равна 4, поэтому получаем сле-

дующее уравнение:

(−7 + 3 ) = ±4.

Отсюда

(−7 + 3 ) = 4 или

(−7 + 3 ) = −4.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.20242.38 Mб1654.pdf
#
09.01.20242.38 Mб0655.pdf
#
09.01.20242.38 Mб1656.pdf
#
09.01.20242.4 Mб0657.pdf
#
09.01.20242.42 Mб0658.pdf
#
09.01.20242.42 Mб0659.pdf
#
09.01.2024411.65 Кб066.pdf
#
09.01.20242.46 Mб1660.pdf
#
09.01.20242.47 Mб0661.pdf
#
09.01.20242.49 Mб0662.pdf
#
09.01.20242.49 Mб0663.pdf