659

Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

В этой главе будет рассмотрен такой геометрический объект как точка, расположенная на плоскости. Такой точке ставится в соответствие пара чисел, называемых её координатами и определяющих её расположение на плоскости.

2.1. Система координат на плоскости

Для определения системы координат на плоскости (рис. 2.1) необхо-

димо:

1)выбрать две взаимно перпендикулярные прямые, одну из которых называют осью или осью абсцисс, другую называют осью или осью ординат; точку пересечения прямых называют началом координат; начало координат обозначают буквой , ось абсцисс – буквами , ось ординат – буквами ; оси и называют также осями координат;

2)на каждой оси координат задать положительное направление;

3)на каждой оси координат задать единицу масштаба (на чертеже – отрезок ).

Рис. 2.1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости

Описанная система координат называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости.

2.2. Координаты точки на плоскости

Рассмотрим произвольную точку и опустим из этой точки перпен-

(−3; −7), (0; 2), (−3; 0), (4; −2√3).

Решение.

Для построения точки (2; 1) отложим по оси вправо отрезок длины 2. Получим точку – проекцию точки на ось . Далее отложим по оси вверх отрезок длины 1. Получим точку – проекцию точки на ось . Проведём через точки и прямые, параллельные осям координат. В пересечении этих прямых получаем точку (рис. 2.3).

4

Рис. 2.3. Построение точек , , , , , , (к Примеру 2.1)

Для построения точки (3; −5) отложим по оси вправо отрезок длины 3. Получим точку – проекцию точки на ось . Далее отложим по оси вниз отрезок длины 5. Получим точку – проекцию точки на

22

ось . Проведём через точки и прямые, параллельные осям координат. В пересечении этих прямых получаем точку (рис. 2.3).

Для построения точки (−2; 4) отложим по оси влево отрезок длины 2. Получим точку – проекцию точки С на ось . Далее отложим по оси вверх отрезок длины 4. Получим точку – проекцию точки С на ось . Проведём через точки и прямые, параллельные осям координат. В пересечении этих прямых получаем точку С (рис. 2.3).

Для построения точки (−3; −7) отложим по оси влево отрезок длины 3. Получим точку – проекцию точки на ось . Далее отложим по оси вниз отрезок длины 7. Получим точку – проекцию точки на ось . Проведём через точки и прямые, параллельные осям координат. В пересечении этих прямых получаем точку (рис. 2.3).

Для построения точки (0; 2) отложим по оси вверх отрезок длины 2. Получим точку – проекцию точки на ось . Проекция точки на ось равна нулю. Поэтому точка лежит на оси (рис. 2.3).

Для построения точки (−3; 0) отложим по оси влево отрезок длины 3. Получим точку – проекцию точки на ось . Проекция точки на ось равна нулю. Поэтому точка лежит на оси (рис. 2.3).

Для построения точки (4; −2√3) отложим по оси вправо отрезок длины 4. Получим точку – проекцию точки на ось . Далее отложим по оси вниз отрезок длины 2√3. Получим точку – проекцию точки на ось . Проведём через точки и прямые, параллельные осям координат. В пересечении этих прямых получаем точку (рис. 2.3).

Пример 2.2. Найти координаты точки, симметричной точке (−4; 3) относительно оси абсцисс.

Решение. Абсциссы точек, симметричных относительно оси абсцисс, совпадают, а ординаты отличаются знаком. Поэтому искомая точка имеет следующие координаты: ′(−4; −3). Нахождение точек, симметричных относительно чего-либо удобно определять графически (рис. 2.4).

′ −3

Рис. 2.4. Построение точки, симметричной относительно оси абсцисс (к Примеру 2.2)

23

Пример 2.3. Тело падает с высоты 50 метров под действием силы тяжести. Изобразить положение тела в тот момент, когда началось падение, когда оно закончилось, и промежуточные положения, вычисленные для каждой 0,5 секунды. Полученные точки соединить плавной кривой.

Указание. Путь, пройденный падающим телом без учёта сопротивле-

ния воздуха, вычисляют по формуле: = 22, где – время в секундах, –

ускорение свободного падения, ≈ 9,8 м/с2.

Решение. Обозначим через расстояние падающего тела до земли, при этом = 50 − . Будем изображать положение тела точками ( ; ). В начале падения = 0, = 0, = 50. Получаем точку, характеризующую положение тела в начале падения: 1(0; 50). В конце падения = 50, =

= 0, и тогда найдём из уравнения: 22 = 50. Отсюда = √10 ≈ √109,8 ≈ 3,2. Получаем точку, характеризующую положение тела в конце падения:

8(3,2; 0).

Найдём промежуточные точки.

Отметим полученные точки и соединим их плавной линией (рис. 2.5).

24

50,0

48,8

45,1

39,0

30,4

19,4

Рис. 2.5. Точки, характеризующие падение тела под действием силы тяжести (к Примеру 2.3)

2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть 1( 1; 1) и 2( 2; 2) – две данные точки на плоскости. Найдём расстояние между ними. Для этого опустим из этих точек перпендикуляры на координатные оси. Основания перпендикуляров на оси обозначим 1 и 2 , на оси обозначим 1 и 2 (рис. 2.6). Через точку 1 проведём прямую, параллельную оси , через точку 2 проведём прямую, параллельную оси . Точку пересечения прямых обозначим через . Получаем прямоугольный треугольник 1 2 . Расстояние между точками 1 и 2 обозначим через .

Рис. 2.6. Расстояние между двумя точками на плоскости

25

Полученная формула означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек.

Пример 2.4. Найти расстояние между точками 1(3; −6) и 2(1; 5). Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точка-

ми. Здесь 2 = 1, 1 = 3 , 2 = 5, 1 = −6. Получаем:

= √(1 − 3)2 + (5 − (−6))2 = √125 = 5√5.

Ответ: = 5√5.

Пример 2.5. Доказать, что треугольник с вершинами (1; 1), (2; 3),(5; −1) прямоугольный.

Решение. Треугольник является прямоугольным, если для него выполняется теорема Пифагора. Поэтому найдём квадраты длин сторон тре-

угольника по формуле расстояния между двумя точками:

2 = (2 − 1)2 + (3 − 1)2 = 5;2 = (5 − 2)2 + (−1 − 3)2 = 25;2 = (5 − 1)2 + (−1 − 1)2 = 20.

Получаем: 2 = 2 + 2. Значит треугольник прямоугольный. Пример 2.6. Даны две смежные вершины квадрата (2; −1),

(−1; 3). Определить две его другие вершины.

Решение. Со стороной возможны два квадрата. Обозначим их

1 1 и 2 2 (рис. 2.7).

1

Рис. 2.7. Два квадрата с общей стороной (к Примеру 2.6.)

26

1) Найдём координаты точек 1 и 2. Обозначим их координаты:

1( 1; 1) и 2( 2; 2).

С одной стороны:

12 = ( 1 + 1)2 + ( 1 − 3)2, 12 = ( 1 − 2)2 + ( 1 + 1)2,

с другой стороны:

12 = 2 = (−1 − 2)2 + (3 + 1)2 = 25,

По теореме Пифагора: 12 = 2 + 12 = 2 2 = 50.

Составим систему уравнений:

{( 1 + 1)2 + ( 1 − 3)2 = 25, ( 1 − 2)2 + ( 1 + 1)2 = 50.

Раскроем скобки:

{ 12 + 2 1 + 1 + 12 − 6 1 + 9 = 25,12 − 4 1 + 4 + 12 + 2 1 + 1 = 50.

Вычтем из первого уравнения второе:

6 1 − 8 1 = −30.

Выразим из полученного уравнения 1:

1 = 43 1 − 5.

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

(43 1 − 5 − 2)2 + ( 1 + 1)2 = 50.

Преобразуем:

(4 1 − 21)2 + 9( 1 + 1)2 = 450.

16 12 − 168 1 + 441 + 9 12 + 18 1 + 9 − 450 = 0, 25 12 − 150 1 = 0,12 − 6 1 = 0,1 = 0, 2 = 6.

Тогда 1 = −5, 2 = 3.

Получаем следующие координаты точек: 1(−5; 0), 2(3; 6).

2) Найдём координаты точек 1 и 2. Обозначим их координаты:

1( 1; 1) и 2( 2; 2).

С одной стороны:

12 = ( 1 − 2)2 + ( 1 + 1)2, 12 = ( 1 + 1)2 + ( 1 − 3)2,

с другой стороны:

12 = 2 = 25, 12 = 2 + 12 = 2 2 = 50.

Составим систему уравнений:

{( 1 − 2)2 + ( 1 + 1)2 = 25, ( 1 + 1)2 + ( 1 − 3)2 = 50.

Раскроем скобки:

{ 12 − 4 1 + 4 + 12 + 2 1 + 1 = 25,12 + 2 1 + 1 + 12 − 6 1 + 9 = 50.

Вычтем из первого уравнения второе:

−6 1 + 8 1 = −20.

Выразим из полученного уравнения 1:

1 = 43 1 + 103 .

27

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

(43 1 + 103 + 1)2 + ( 1 − 3)2 = 50.

Преобразуем:

(4 1 + 13)2 + 9( 1 − 3)2 = 450.

16 12 + 104 1 + 169 + 9 12 − 54 1 + 81 − 450 = 0, 25 12 + 50 1 − 200 = 0,12 + 2 1 − 8 = 0,1 = −4, 2 = 2.

Тогда 1 = −2, 2 = 6.

Получаем следующие координаты точек: 1(−2; −4), 2(6; 2).

Ответ: 1(−5; 0), 1(−2; −4) или 2(3; 6), 2(6; 2).

2.3. Проекция направленного отрезка на ось

Рассмотрим направленный отрезок ̅̅̅̅̅̅̅̅ и ось . Опустим из точек

1 2

екцию на ось . Для этого опустим из точек 1 и 2 перпендикуляры на ось . Основания перпендикуляров обозначим 1 и 2 соответственно

(рис. 2.9).

2

1

Рис. 2.9. Проекция направленного отрезка на ось

28

На оси точка 1 имеет координату 1, точка 2 имеет коорди-

Таким образом, для нахождения абсциссы направленного отрезка надо от абсциссы его конца вычесть абсциссу его начала.

Далее найдём проекцию направленного отрезка на ось . Для этого опустим из точек 1 и 2 перпендикуляры на ось . Основания перпендикуляров обозначим 1 и 2 соответственно (рис. 2.10).

2 2

1 = −5. Отсюда 1 = 2.

29

Таким образом, координаты начала отрезка: 1(−3; 2 ).

Ответ: 1(−3; 2 ).

Выведем ещё одну формулу для вычисления проекции направленного отрезка на координатные оси. Найдём сначала проекцию на ось . Для

этого проведём через точку отрезок ̅̅̅̅̅̅ параллельно оси (рис. 2.11).

1 1

Обозначим через угол между отрезком ̅̅̅̅̅̅̅̅ и осью . Угол понима-

1 2

ют также как угол, на который надо повернуть ось до её совпадения с

.

2

Учитывая определение проекции направленного отрезка на ось, величину

Таким образом, проекция направленного отрезка на ось равна произведению длины этого отрезка на косинус угла, образуемого отрезком

=1 2 . Учитывая определение проекции направленного отрезка на ось, | 1 2| 1 2 можно записать следующим образом: 1 2 =

30