ПРИЛОЖЕНИЕ 13
Пластический момент сопротивления сечения в форме равнобокой трапеции
Рис.1. Поперечное сечение балки в форме равнобокой трапеции
Расстояние y0 от нижнего основания трапеции до ее центра площади
с0 определяется известной формулой: |
|
(b2 |
+ 2b1 ). |
|
y0 |
= |
h |
|
(1) |
|
|
|
b1 + b2 |
|
3 |
|
|
|
Полагаем, что оси c0x0 c0y – главные центральные.
Обозначим центр площади трапеции через с0 ; центр площади сечения в состоянии пластического течения через с ; площади сжатой и растянутой частей сечения в состоянии пластического течения – A1 и A2 ; расстояние от оси cx до верхнего основания трапеции – η; расстояние между осями cx и c0x – epl ; длину отрезка 2-5 прямой, совпадающей с направлением оси cx, проходящей через центр площади сечения в состоянии пластического течения, – ξ; расстояние от оси cx до верхнего основания трапеции – η.
Построим выражение для определения расстояния η.
В состоянии пластического течения площади сжатой и растянутой
частей сечения A1 и |
A2 должны быть равны между собой, поскольку |
продольная сила в сечении равна нулю: |
N = ∫σy dA = ∫ |
σy dA − ∫σy dA = σy(A1 – A2) = 0; A1 = A2. |
(A) |
(A1 ) |
(A 2 ) |
Длину ξ отрезка 2-5 найдем из подобия треугольников 2-4-5 и 1-4-6:
Длина b3 отрезка 2-8 прямой, делящей сечение в состоянии пластического течения на две равные части A1 и A2 , определяется выражением:
b3 |
= b1 |
+ 2ξ = b1 |
+ |
b2 − b1 |
η = |
b1(h − η) + b2η |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
h |
h |
|
Площади сжатой A1 и растянутой A2 частей сечения в состоянии пластического течения определяем по известной формуле:
A1 |
= 0,5(b1+ |
b1 (h − η) + b2 η |
)η, A2 |
= 0,5( |
b1(h − η) + b2η |
+ b2)(h – η). |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняв A1 и A2 , придем к уравнению относительно η: |
|
|
η |
2 |
+ |
2b1 h |
|
η – |
|
|
b1 + b2 |
|
h |
2 |
= 0, |
(4) |
|
|
|
b |
2 |
− b |
1 |
|
2(b |
2 |
− b |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
корни которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
+ b2 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
η1,2 = ( – b1 ± |
1 |
|
|
2 |
)· |
|
|
|
|
. |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− b1 |
|
Отбросив знак “–” перед радикалом в формуле (5), как не отвечающий физической сущности задачи, получим выражение для вычисления η:
|
− b1 + |
|
|
|
h. |
|
η = |
0,5(b12 + b22 ) |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
b2 − b1 |
|
Расстояние h–η от нижнего основания трапеции до оси cx |
определяется выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 − |
|
|
|
h . |
|
h – η = |
|
0,5(b12 + b22 ) |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 − b1 |
|
Построим выражение для определения пластического момента сопротивления Wpl .
Расстояние yc1 от оси cx до центра площади верхней части трапеции определяем по формуле (1):
322
yc1 |
= |
b3 |
+ 2b1 |
|
η |
. |
(8) |
b1 |
+ b3 |
|
|
|
3 |
|
|
Расстояние между точками c и c2 определяем с помощью формул (1)
и (6):
|c-c2| = h – η – yc2 |
= |
h − η |
|
b2 |
+ 2b3 |
. |
(9) |
|
b2 |
|
|
3 |
|
+ b3 |
|
Статические моменты Sc и St |
площадей сжатой |
A1 и растянутой |
A2 частей сечения в состоянии пластического течения относительно оси cx :
|
|
|
|
|
|
b1 (h − η) + b2 η |
b3 |
+ 2b1 |
|
η |
|
|
|
Sc = A1·yc1 = 0,5(b1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)η· |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
+ b3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= η2 |
|
· |
b3 + 2b1 |
[(2h–η)b1 + b2η]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6h |
|
|
b1 + b3 |
|
|
|
|
|
|
St = A2·|c-c2| = (h − η)2 |
· |
b2 |
+ 2b3 |
|
·[(h–η)b1 + (h+η)b2]. |
|
b2 + b3 |
|
|
|
|
6h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пластический момент сопротивления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wpl = Sc + St |
= η2 |
· |
b3 |
+ 2b1 |
[(2h–η)b1 + b2η] + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6h |
|
|
b1 |
+ b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (h − η)2 |
· |
b2 + 2b3 |
·[(h–η)b1 + (h+η)b2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6h |
|
|
|
|
|
|
b2 |
+ b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние epl между осями cx и c0x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b |
|
+b |
|
)− (b +b |
|
)2 − (b2 |
+b2 ) |
|
3 |
|
0,5(b2 |
+ b2 ) |
|
|
|
h . |
epl = y0 – h + η = |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(b2 |
|
− b |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем момент сопротивления сечения W в упругой стадии деформирования.
Осевой момент инерции сечения Jx относительно c0x0 в упругой стадии деформирования можно определить по выражению:
323
Jx = |
b12 + 4b1 b2 + b |
22 |
h |
3 |
. |
(14) |
36(b1 + b2 ) |
|
|
Полагая, что расстояние до наиболее удаленных волокон сечения равно η, упругий момент сопротивления W можно определить следующим образом:
W = Jx/η = |
|
(b12 + 4b1b2 +b22 )(b2 |
−b1 ) |
h |
2 |
. |
(15) |
36(b |
1 |
+ b |
2 |
)[− b |
1 |
+ |
0,5 |
(b2 |
+ b2 ) |
] |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
В качестве примера найдем отношение пластического и упругого моментов сопротивления Wpl/W для равнобокой трапеции высотой h = 10 см с основаниями b1 = 5 и b2 = 10 см.
По формулам (6), (8)÷(12), (14), (15) вычисляем: η = 5,811; b3 = 7,906
см; A1 = A2 = 37,5 см2; yc1 = 2,312 см; |c-c2| = 2,013 см; Sc = 86,7 см3; St = 75,5 см3; Wpl = 162,2 см3; W = 103,6 см3.
Отношение пластического и упругого моментов сопротивления:
Wpl/W = 1,57.
Библиографический список:
1.Беляев Н.М. - Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1976. - 608 с.
2.Дарков А.В., Шпиро Г.С. - Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1989. - 624 с.
3.Феодосьев В.И.- Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1986 - 512 с.
4.Филоненко-Бородич М.М. и др. – Курс сопротивления материалов.Ч.I. - М.: Физматгиз, 1961. - 656 с.
5.Филоненко-Бородич М.М. - Механические теории прочности. - М.: Изд-во МГУ, 1961. - 92 с.
6.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. - Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1995. - 560 с.
7.Зубчанинов В.Г. - Основы теории упругости и пластичности. -
М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.
Учебное издание
Миляев Александр Сергеевич
Практикум
Для студентов, обучающихся по направлениям 150400 – Технологические машины и оборудование, 190500 –
Эксплуатация транспортных средств, 250300 – Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств.
Отпечатано в авторской редакции с готового оригинал-макета
Подписано в печать с оригинал-макета 15.10.09 г. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.-изд.л. 20,375. Печ. л. 20,375. Тираж 200. Заказ № с.104.
Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТА 194021, Санкт-Петербург, Институтский пер.,5.
326
