книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

ОТВЕТЫ

371

4164.

</=

-

4165.

у = —

~ siri:l Jf + Ct

2 ____ _ - i)+ C *

4166- (x+Ctf = *Cx(y~Cx).

4167.

4168. ц = С у ? !а \ C i T m .

4169.

х =

±-

| (y l/i — 2C i) V yU i+ C t + C i-

4170. У — X + Q ^

4171.

lx +

C2) ° - ~ t f - C f

4172.

y = C xe Cf -

х + с х.

4173.

u c o si(x + C ,) ^ C t.

4174.

(хтуС2)1 п у =

417S. £сли произвольная постоянна,

вводимая

первым интегрированием,

положительна

(+ С П .

го у = Сх tg (Схдг+Сг);

если же она отрицательна (— С,).

то

1 j^giiCvX + C,)

- -

С, cth (Схх + С2у.

если

Сг =

0, то

у =

'

у = С х 1 _gAClx Т С«)

т+Са

4176.

jt*=C,+cosC4lfl | t g - ~ ^ | .

4177.

С1* + С г=

1п |-

.

4178.

J ^ + ^

=

Cl arctg(C 1 ln(/),

С, >

0.

4179.

In |Сху |= 2 tg (2дг+

Са).

4180.

p = ln| x2+ C i |+ г 7= = И п | ^ — Г7= ^ -

+ С«* если

Сг < 0 ,

и у :

2а

V ^ c l

Ix + V ^ c l

In :

I +

arctg

■*

- + C2,

если Cx > 0.

4181*. После

VCi

l/t,

уравнение

распадается па два,

из кото­

подстановки

y ' = p

рых одно — т и п а

Клеро. Его общее решение y =

C t

а особые

решения

р=

- ; 4

. Другое

уравнение

(/' = 0.

4182.

у ~ С хх (.г— C i)+ C 2 и особые

реше-

С/— X

ния р = г у З + С .

<V•С,

4183.

^ C V ^

+

Ca.

4184.

х =

1п

Со— хС,

4185.

j/ = j / "

з

х -'+ С ^ + С а .

4186.

j/= Ct* +

.

4187.

у = Сххес ‘/х .

4188.

In |у +

Сх ' +

+

Са.

4189.

?/ = ^ +

3 * + 1 .

4190.

у = 2 + 1 п - ^ ~ .

4 Ш .

4193.

</— .v =

2 In i

I/1.

4194.

у =

1^2дг — t2.

4195.

у ,:= |Л

4196.

;/=

— In |1

I.

4197.

(/ = ( * +

1)/х.

4198*. (/ — дг. Сделать

подстановку {/=</*.

4199.

j/ =

2e*a/2 — 1 .

4200*. Дифференциальное уравнение

линии dx =

dy

,

где А —

V ( С ху)21к - 1

коэффициент

пропорциональности.

Если

* =

1 ,

то

# = _ L fc . С,Х-ЕС* |

-|_е-(С,л- f С,)] ;

——

;

это— цепная

линия.

Если

k =

— 1,

ТО

(х +

Со)2+

p2=

C‘j!;

это — окружность.

Если

k =

2,

то

(*-+ C a)2 = 4 C f e —СД3

это — парабола. Если f e = _ 2 ,

то

d x ^ j / ' ^ - ^ L - d y ;

это-дифференциала

кое

уравнение циклоиды.

ОТВЕТЫ

373

V ' =

— fe/ 0=

— 0,00187

см3/с,

получим

ряд

V =

1000 — 0,00187/ — 10~* X

X [2,91/* — 3,64/*+ 3,64/5— 3,04/«+ 2,17/7—

Ряд

знакочередующийся,

коэф­

фициенты,

начиная

с шестого,

убывают,

стремясь

к

нулю,

что удобно для

вычислений.

4226*. Дифференциальное

уравнение задачи

имеет вид

£ - ^ j - +

+ dQ. . —

—= £ . Взяв в качестве

искомой

функции

количество у хлори-

dt

Mo — kQ

не

разложившегося к моменту /,

приведем

уравнение к виду

стого

водорода,

у у " + ау ' +

Ь у = 0 , где а = / + £ = 5 0 ,

b =

kE /L = 0,0 1 9 1 . Интегрируя это уравне­

ние при

начальных

условиях

(/в= М 0=

10,

(/„ =

— k l 0 =

— 0,00381,

получим

ряд у = Ю— 0,00381/+ 10-»/*. (1,21 -

1,52/ +

...).

4227.

х У - 6 х у '+ 1 2 « / = 0 .

4228.

х { Г - ( 2 х +

1){/' +

( х +

1)«/=0.

4229.

(х3— 3х2+ 3 х ) у'" — (х3— З х + З ) « ^ -З х (1 - х ) у ' +

3(1 -

х ) г/ = 0.

4230.

у =

Зх2— 2х3.

4231.

a)

sin2 x/cos2 х +

const;

б) у" sin 2х — 2у' соз 2х =

= 0.

\У1

У2

= Ce- f

P(x)rfxi

4232*.

3)

По

формуле Остроградского

или,

рас-

,

,

У\

У2

крывая определитель

— f Р (x)dx

обе

части

(вронскиан), у1у',■2 —~У,Уу[у2=

Се

J

. Делим

d ( У г\ _

С_

— J р (х) dx

откуда

и следует

искомое

dx

УI

У1

соотношение.

1 + *

4233.

у = С[Х In

— 2Ci +

С2х,

1

- х

4234. у =

Сх

х

+

С2

х .

4235.

у =

х2 -

е*~1.

4236*. Функции

Р и Q должны быть связаны соотношением

Q' +

2 P Q = 0 .

Подставить

y i= \ /y 2

в формулу

(вытекающую

из

формулы

Остроградского)

задачи 4232, полученное соотношение продифференцировать

дважды и y l, у !

подставить

в данное

уравнение.

4237*. у = С2 (4х:* — Зх) +

Са J^l — х‘2 (4х2 — 1).

Полагаем

согласно

условию

Ь\ — Дх3+

8 х 2+ С х + 0 .

Подставляя yt

в данное уравнение,

получим 8 = 0 ,

D = 0,

Д/С= 4 / — 3,

или

Д =

4ft,

С = — 3ft.

Следовательно,

частное

решение

будет

i/1 = ft(4x3 — Зх).

В

соответствии

со

свойством

линейного

уравнения

можно

принять

f c = l,

тогда

у2= 4х*— Зх.

Зная

одно

частное

решение, обыч­

ным путем находим второе и составляем общее решение.

4238.

y =

Ct sin х + С2 [1 — sin х In |tg (я/ 4+ х/ 2), J.

*

6 х d x

S

4240. ^ = C jX + C 2 (x2— 1).

4241.

/, =

Cix +

C2x5+

C3x*.

4242.

у =

x3+ x (Cj +

С2 111! x |).

• 4243.

y =

Cle* +

C2x - j f l - l .

4244.

у =

С ^

+ С2 ( x +

1) - * .

4245.

(/= 2 +

3x +

x ^ ~ +

2 arctg x j + x 2,

4246.

( / = - 2 +

2 x - x * +

43- - 4

-4 - t1

7x5

60

4247.

y = l

2x‘

2x5

,

2x*

2x7

62x*

4 !

51

6!

7!

81

4248.

У =

x-

X*

+

'Xе

Jt8

+ ...+

***

2n (2/i — 1) wl *

r 22 •3 ■2 ~г г з -б -З ! + 21-7

4249.

4250.

y= Ct (! + ^ + --) + C 2 { * - * 1 5

+

40 + “:)'

4251

y=Clex+ C&'2x, 4252. (/= Cle3jf + C2e-^.

374

ОТВЕТЫ

4253.

< / = C y * -fC 2. 4254.

</= Сге^ + ^

Х +

С ^ { ~ ^ *.

4255.

I/=С1^ + С 2е - 4л!/3.

4256. у = С 1 сочх +

С.^ sin *.

4257.

i/= е~3лг (Ci cos 2л: + Са sin 2л:).

4258.

у = е х (^Сг cos у + С2 sin y j .

4259.

у = ех (Q + C ^).

4260.

л := (С 1 +

С20 е 3'5/. 4261. у =

(С^ +

С^х) ё~ х'\

4262.

у = Ьех +

2ёзх. 4263.

у = 3 е ~ 2х sin 5х. 4264. у = е ' хП (2 + л:).

4267.

Если

* > 0,

то

У = -°г -- sin [ К *

(л: — ,v0)] +

у0 cos [>/'А (.v— T 0)];

если

У k

^

где

ki = - k .

426S.

y = C 1e~x + C tfx/Q-{-ex . 4269.

y = C l cos ax +

C2 sin a x 4—

„

. r . n

r .

5 sin л :+ 7 cos x

fl2 + l

4270.

у =

C^6-1 + C f x -j-----------щ ------------ .

4271.

y =

erx (Cj cos 2л: +

С2 sin 2л:) — ~

cos2л:— 2 sin 2x.

4272.

у =

(Cy+ С2л:) e™ +

1- * 2+ | ? * +

~ .

4273.

y = e x (Ci cos л: + С2 sin л:) +

л:+ 1.

4274. у =

Сугх -j- СгвЛ х —0,2.

4275.

у =

Cicv- f С2й2л -f у, где у

равно:

1)

е~х;

2)

Зл:е2*;

3) у

cos x-j- ~

sin х;

4) * +

5 ) - | e * [ c o s J + 2 s i n - ? ] ;

6) у

x+

i

~ Г2 е~2х' 7) ** <-2х2+ хУ>

8) у

лс+

у

(9 +

3 cos 2лс — sin 2л:);

9) —2хе* — ^ е -2Л;

1

3

2 0

s'n *

7

9

1

1

Ю) 2 0 cos *

2 6 0 cos

4* 2 0 Q sin Зл:;

1 1 ) — ^

е~х — у лее*.

4276.

//= Ci -t-С-2е

1Ъх,2+ у ,

где д

равно:

1)

-g-лс8— у

x24 - jg *'• 2) -у-е*;

3)

5 sin л: — 2 cos л:;

4)

jo х +

f 64 sin 2л: — 4'|

cos 2л:;

5)

cos 2,5л: +

sin 2,5лс — 0,02хе~~‘г,а* :

6)

5х — ^ g jco sx — ^2х —

sin л:;

7) y

g е~х [(650л: +

2650) sin л: -

(3250л: - 400) cos х];

8)

^ ( у eta/3 - M_ 8jt/2J .

4277

t/= e2jr (С1 +

С2л :)+ у ,

где у

равно:

1) |

, 2) - 1 е *;

3)

4)

|

cos 2 * +

у

х +

*- •

Ь)

sin Зл: I

6 cos Зл:|

-

^

(3 sin л:+

4 cos л:);

6) у^д (3 sin * + 4

cos

(5 sin 3 x — 12 cos Зл:),

376

ОТВЕТЫ

4299*. т =

.(*</>/+е-<А/).

Все

происходит

так, как

будто

трубка

непод­

вижна, но на шарик действует сила,

равная мсо2г (г — расстояние

от оси вращения

До

/

до шарика).

4300.

Если

k >

/по2,

70 г =

^ ^ п й л г|

— /пй)2cos \

Д

X

если k =

m«>2,

то

г = щ

1 1 +

=—

если

k <

то}2,

то

/•=

пил2— k

\

2т р ) :

X | ты- ch

(л2—

— k |.

4301.

y = C i cos Зх + С., sin Зх-|-С3.

4302.

у=

С,с2д-_| с ^ - 2 ^ + С .^ - Ь C4e~3jr.

4303.

у =

(С, -Ь С2х)

(С3+ С 4х) <Г2Х.

4304.

у =

+ Сае-“ -)- С3 cos 2.x +

С4 sin 2х.

4305.

//=C1e-Jf+ C 2e - ^ + C 3e4^.

4306.

у =

С ,^ +

С2хс ' + Сэх2«*.

4307.

y ~ C i

\-C-ix -j- C?p~x -f-C4xe

A-

4308.

у =

С У v + Cy--* +

C3x"-» +

С ^ л* 4+

... +

Cn4x +

Сл.

X \

4309.

у =

ex/V2 ‘ Ct cos ^ . +

C2 sin y ^ J + e ~ */V° ( Сэ cos ^

+ ° 4 sin

1П

- 7 = .

VV

4310.

у =

(Ci +

C2x-|-C3x2) cos ~

+

(C4+ C5x +

Cex2) sin

-)-C7x + Cg#

431 1.

у =

е~х (Ci +

С2х +

С3х2 +

■■■+

Спхп~1).

4312. y = l + c o s x .

4313.

f +

cos х — 2.

4314.

у = (Ci +

C2x) еЛ' +

С3е2* — х — 4.

4315.

у =

(C, +

C,x) e* +

C y

2Jt +

(x2 + x -

1) «

1

cos x .

4316.

у =

(Cj -b C2x) cos 2x +

(C3+

C4x) sin 2x - f

4317.

y == (Ci -I- CjJ») cos йл -f- (C3-f- C^x) sin ctx

jf2 CQS ддр

*

4318.

У = с10 а:5- ^

jea+

C ^ + C iX + C j+ ^ c o s jc + C s s in x .

4319.

у =

C,e x+ C2e- * +

C3 sin x +

x2 — 3x

1

C4cos x 4----- g— e* — - y x s m x .

4320.

у =

(С, +

C2x + x2) e* +

(C3+ C .x + x2)

+

sin x +

cos x.

4321.

y = 4 — 3e-A-+ e - * * .

4322.

y = e * +

x\

4323.

y = x ( C , + C2 ln !x| + C3 ln2 lx|).

.

4324.1. x = e

ef (Ci cos/ +

C3 sin t), y = e

e/ [(С2+ С,) cos* + (C2 — C,) sin 0 -

4324.2. x =

0

' +

C>a-',

y =

- C

4e' + 3 C ^ .

4324.Г

‘

~

'

"

"

‘

4324.

4324.

.

.

4324.6. x =

C1e' + C3e2<+ C 3e5<,

y = C te-'- 2 С ^

+

С ^ .

г =

_

< V - ЗСу2' +

3C3e« .

4324.7. x =

Cie*'+

e»< (Сг cos/ + C3 sinO.

у = е » М (С ,+ С 3)со 8 ^ +

(С3- С г) ДШ a

г =

C,e2' +

e21 [(2C3 — C3) cos t +

(C2+

2C3) sin t\.

4325.

x =

O ' + C2e~l -\ -tsht,

у =

< V -

C W

+ sh t + / ch /.

4326.

x =

О

~4' +

C ^

‘ +

-J6 *

+

5 с"

У = -2

4327.

2 -C i» .

гу 2 -|

x2-=C2.

4328.

y= / c 1+ x 2 / In

,

г - / С !+ х 21п

X+ / X 2 + Q

JC+ / X«+ C I *

ОТВЕТЫ

377

« 2 9 .

у /х = С „

x2 +</s + z'-’ =

C2.

4 3 3 9 .

*2 +

|f2 ^ .^ =

Cjy,

г= С ,у .

4 3 3 1 .

(/2_2-2_CI,

уг — у- — х = Сг.

4 332 .

x ^ C ^ -' +

CzC-u,

(/ = C ,e - ' +

3C se - " + c o 8 / .

4 3 3 3 .

x= Cie/-i-C2e-/-i-C3cosi-i-C, sin t,

у = Cie‘ + C2?"' —Ca cos / —C4 sin t.

4 3 3 4 .

x ^ C y + C.t + C ^ -

g - ^ + e'.

0 = C 4- ( C I +

2 Q / - - J

(C2-

4333 .

х + у + г = Сг,

х'-+ уг+ г- =

Сг.

4 335 .

г = х —у,

у(у — 2х)3= (х —у)2.

у = j е-* +

4 337 .

х =

//3,

у =

—

t/3.

4 3 3 8 .

х =

А е~‘ +

е2< + ~ <г2',

+ g

eZ '-^ .e -s/ ,

2 =

-

з

1

x = — e~‘, (/ = » -',

2 =

0. 4340. Ли-

e - '+ | e“ . 4339.

mm

C X^

C

^ ^2 L ^

заданных

начальных условиях

по­

yl := —l* - ТГ

2 „ (/2=

-----— -— 2. При

лучаются

3 _34-х2

4341.

у = е2х. 4342.

Плоская

ли-

гиперболы y i =

2 х - ,

У*— —2 ^

иия

X— 0 + 2=

0,

х =

± г1 п ,г

1