книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

ОТВЕТЫ

341

. й + 1

.

а

sin а

sin ~ — а sm

sin 2 а -1—

+ sin йа -

а

sm 2

или неравенством sin х >

2х/л,

если 0 <

х <

я/2 .

абсолютно.

2792. Схо­

2780.

Сходится,

но

не абсолютно.

2791.

Сходится

дится, но

не абсолютно.

2793. Сходится абсолютно, 2784.

Сходится

абсолютно.

ОТВЕТЫ j

343

2890.

1

х» 1 ЗлД

* — -з-=г +

5

2

3 + 2 - 4

л_/__nn-n J , 3 ----- (2 я 3) хзп

1

1 C J C < 1)

2Я +1

f . . . ( - l

< * < 1 ) .

2891.

* + f

+ .„ + £

Т Г

у4

_

у!■2П

2892. * 2 + _

+ . . . +

_ Iy

2893^(S+s+~51 1

1

( 2 n + 1)1

-•••j (— o o < * <

+ oo),

l/2e.

2915>. 1 + 2 * +

2 *2+

- + [ 2 + 2| + g j

+• •+

(„ _ 1)| ]*я-1+ —

,

A; - | - ^ + ieI x3 _ ...+ ( _ i )n+i|^i+ i . +

^ +

... + I j ^

+ >„

2916

z

о

2g ,7.

1 - £

+

* + . . .

2918. -

f

+

* £

+ ...

2919.

x — x2+ 2r> + ...

У-2Я-1

2920.

C +

A;— 3 ^ T + - - - +

(— 1)4+1 (2« — 1) (2« —1)1 +

. . .

(— с о <

л:< + c o ) .

2921.

C +

In |дс I

2-21

M -41

... + (-!)« 2n •(2n)l + ...

( - О О < Г < 0 И 0 < r < + O D ) ,

2922.

C + ln | *| +

x + s ^

r + ... +

;i ^

f + ...

ri

(— a o < x < 0 и 0 < д: < + с ю ),

2923.

С - 1 + 1 п | л г | + + - +

.n

2-31

+

-

+

T 7 -

,- »■+•••

я (я + 1)1

(— o o < * < 0 и 0 < * < + o o ) .

Л-2Я-1

2924.

Л - - +

5-21

....+ (_!)«+! (2 я - 1 ) (я — 1)1 f . . . (— o o < * < + o o ) .

» 2 5 .

—

|

+

S

—

хгп-1

+ ...

( - l ^ * s £ l ) .

1

- 3 - ...- (2 я — 3)

x*n ~3

г926-

■ *+ 2"

5 + 2

4

9

+ “ ■ +

2 » -i( n - 1)1 ’ 4 n - 3 + ‘"

(

1й&к£1)*

9Q27

, .

I

? 4

,

,

i,„

1 -3

. .. . - (2я — 5)

^

2927.

- * +

2

4

2 - 4 7

+

’" +

*

г ^ Ч я(я- —П 1)1!

Зя — 2 +

" ‘

у-Ю

у10

У0Л—8

... (—1 < x < 1).

( - 1

;i).

2928.

* +

1

3 •7 •... •(4я — 5)

X *"-1

2929-

t -

f - r

8

T

+ -

+ ( -

l)n+l

4ч -я|

4 я — 1

< * s £ l) .

(- 1

ОТВЕТЫ

345

2957.

1)

9/16;

2)

1;

3)

16;

2;

2 .

2958.

Ф (а) t l 1/д^. .

.

Ф

а _

JL .

2959.

Вторая

функция

изменяется

быстрее.

2960.

Парабола

второго

порядка;

1)

нет; 2)

нет. 2961*. Положить

т =

1 /х ..2965. Функция не будет однозначной.

2966.

1)

1; 2)

1; 3)

1/5;

4)

не

определена; 5)

1. 2967. г = ( х +

у)х '» + (х +

у)У~х

( * + ;/ > 0);

2

будет

рациональной

функцией

от и

и и,

но не от ш,

t,

х

и у.

2968.

2 = ( х + у ) * У + (ху)2*.

Х2+ У*+ 2*

2969.

ц = ( л - 2 г ' * ) 2-

[(х2+ У 2-}-г2)2+

3 ( * + у + г ) 4];

и

явля­

ется целой рациональной функцией относительно X и т|, х,

в и г ,

но не отно­

сительно

<о

и

<р.

2970,

2 = (

(ц -L М V

и = хг -\-у2',

v = x y .

2971.

.r =

const

— парабола,

—

■)

у =»const — парабола,

2= const ф О — гипербола. 2 = 0 — пара прямых.

2972. х =

— const,

у = const — прямые,

г = const Ф 0 — гипербола,

г = 0 — пара

прямых.

2973.

х =

const — парабола,

у =

const — ку­

бическая

парабола,

z = con st Ф 0 — кривая

третьего

порядка,

г = 0 — полукубическая

парабола.

2974.

г — const >

0 — эллипс, х =

=

const

и y =

const — кривые

третьего

по­

рядка (при х — 0 и у =

0 — полукубичегкие

параболы).

2975.

0 < у < 2 ;

— 1 < у —

— х / 2 < 0 .

2976.

* a s £ y * s / * .

2977.

О<

< y < x V 3;

y < ( a — x )V 3-

— о о <

<

2978.

(x _ a )3 + (i) _ * )« < / ? * ;

2 < - f ОО.

2979.

( x - a ) 2+

( y - b ) 2-\ - (z - c )2 ^ R

2.

2980.

x2+ y 2 < 4 R K

2981.

ху (2R i

/

4tf2 -

х- -

г/2);

функция

не

однозначна.

Область

опреде­

ления

функции

х2-\-у2^

4R2\х >

0,

у > 0 .

2982.

S = .vy

при

0 < х ^ 1 ,

0 < у г £ 1;

S = x

при

0 s £ x « £ l ,

1 sg у;

S = y

при

lsg .v ,

0 sg у sg Г,

S ~ х у — х — у-\-2

при

1 sg x =g 2, l s g y s g 2 ;

S = x

при

1 ^ х ^ 2 ,

2 sg у;

S =

y

при

2 sg JC,

ls g y s g 2 ;

S =

2 при 2sg.*:,

2 sg у.

2983. ~

+

- ^ s g .1.

2984.

у2 > 4 х — 8. 2985.

Вся

плоскость,

за

исключением

точек

окружности

х2+

у2=

R 2.

2986.

Внутренняя

часть

правого

вертикального

угла,

образован­

ного

биссектрисами

координатных углов, включая сами биссектрисы

х + у 3 =0,

х — у2= 0.

2987.

То же,

что в задаче 2986, но

без

границ.

2988.

Внутренняя

часть

правого

п левого

вертикальных

углов,

образованных

прямыми

у — 1 + х

и у =

1 — х, включая

эти прямые,

но

без

точки их

пересечения:

1 — х ^

у ^

sg 1 + х (х >

0),

1 +

х =g у sg 1 — х (дс< 0)

(при х = 0

функция не определена).

полуосью абсцисс н параболой у = х -

(включая границу); * 2 **0 , у

0; л- 3 у.

2991.

Кольцо

между

окружностями

х2 -\-у2— 1

и

х2

у2= 4,

включая

сами

окружности:

1 ; < х2+ у2

4.

2992.

Часть

плоскости,

лежащая внутри

пара­

болы у2= 4х,

между

параболой

и

окружностью

х2 -\-у2= 1 ,

включая

дугу

параболы, кроме ее вершины, и исключая дугу

окружности. 2993. Часть пло­

скости,

лежащая

вне

окружностей

радиусов,

равных

единице,

с

центрами

в точках

(— 1, 0)

и (1, 0).

Точки

первой

окружности

принадлежат

области,

точки

второй

не

принадлежат. 2994. Только точки окружности

x2 -\-y2— R 2.

2995.

Вся плоскость,

за

исключением прямых

х -'-у = п ( а — произвольное

ц елое

число,

п олож ительн ое,

отрицательное

или

нудь)2996.. Внутренность

кр уга x*-j-y 2= l

и колец

2 п ^ .х 2 -'г у2 - ^ ,2п-\-1

(н — целое

число;,

включая

346

ОТВЕТЫ

границы.

2997.

Если

то

2 п п ^ .у ^ . (2 я + 1 )я ;

если

х < 0 ,

то

(2я +

1)я«£|/г^(2я + 2) я

(л — целое

число).

2998. * > 0 ; 2яя <

г/< 2

(л + 1 ) я

(я — целое

число).

2999.

Открытая

область, заштрихованная

на

рис.

83.

у > х - \ - \

при

* > 0 ;

* < ^ < * + 1

при

х < 0 .

3000.

Часть

плоскости,

заключенная между линией У = - г - ,

i

и ее

асимптотой,

включая

границу,

3001.

* >

0,

у >

0,

г >

0.

1 -г х

3002. Часть пространства, заключенная между сфе­

рами

х1 -1-у 2-1-г 2 =

г2

и

x2-j-y 2+ г2= В 2,

включая поверхность

внешней

и

исключая

поверхность

внутренней сферы, 3003. 2.

3004.

0.

3005.

0.

3006.

Функция не имеет предела при

* - + 0 ,

у - + 0 ,

3007.

0 .

3008.

1,

3009.

а)

у =

0

или

у = х а

(ее >

1),

х -> -0 по

произвольному

закону;

б) у = х / 3, х - * - 0

может принимать сколь

угодно

большие

положительные значения.

ЗОН.

Все

точки с целочисленными координатами. 3012.

На прямой у = х . 3013.

На

пря-

мых х = т , у = п

(т

и л — целые

числа),

ЗОН. На

параболе у2= 2 х . 3015.

1)

Непрерывна;

2)

разрывна; непрерывна

по *

и у в отдельности; 3)

непрерывна;

4) разрывна; 5) разрывна; 6) разрывна, Перейти к

полярным

координатам,

3016. Окружности с центром в начале

координат

радиусов соответственно

1,

V^2/2,

3/3,

1/2. 3017. Окружности, проходящие через точки

А

и

В .

3025.

Прямые

линии

у = ах -\ -Ь ,

где

а = \ п

Ь.

3026.

Концентрические

сферы

о центром в точке А и радиусами,

равными 1,

2, 3,

4,

3027.

Эллипсоиды

вращения с фокусами в точках А и В)

V ( x — *i)a+

(У— Ui)- — (г — гх)2 + У (х — хгу- +

{у — у2)2 + (г — г2)2 =

const.

£

1\2

где

с = е “.

3029. Параболоиды

враще-.

j j ,

иия

x2 -j-y2= c z ,

3030.

1)

Плоскости 2 х + 3 у — г= С \ 2) гиперболоиды вращения

(

или

конус

х2+ у 2— 2г= =

С.

3032.

при Г =

Г 0.

3033. |®-_скорость изме.

нения температуры в данной точке; дв

— скорость

изменения

температуры

в данный момент времени по длине (вдоль

стержня).

dS

6 — скорость

3034. -— =

as

ft — ско<

изменения площади в зависимости от высоты прямоугольника; ^ - =

рость изменения площади в

зависимости

от основания прямоугольника,

» 7 .

* _

* * - „

. ,

А .

3038'

f t ----- »” ■'+*■

1

3039.

дг

-----------

дг

~

ди = —

+

ди

и 2 ’

3040.

дг

х* + 3x2tf- - 2 х у '

дг

у * + 3 х 2у2— 2х?у

д х '

■

-

-

’

-

(**+41*)*

(-«--hr)'-

*/

3041.

дг=

30ху(5.Л/-г/3+ 7 ) - ,

^ =

3 (5х2г/- у 2+

7)2 (5х«- Зу2).

3042

д г =

У а

V

* =

- J U

+

r ^ -

д х

У 3 1 л-» ' ду

2 У у

V х

3043

32

’

-

=

-

_______ У

,

д х

Y JP + У 2' ду

х2+ у 1+ х У

х2+ У 2

3044.

*

-

У

дг

Г» ■

дх

х2-\-у2 ’

ду

х2+у‘

ОТВЕТЫ

\ 8 4 7

3045.

J

=

дг

OX

(х2+

у-) ( ai'c tg ^ - j2

ду

(х2+

Уг)

( a r c t g j - J ‘

3046.

=

■-ухУ-1, jr- =

xu In х. 3047.

_

2*

_

д г _

2У

OX

2 У

дг

2 х дХ

Х1^ У' ’ дУ

*~+ у 2 '

3048. — =

Y x 2+ y2 ’ ду

y Y x 2+ y2 '

дх

3049. — =

ХУУ " 2

д г

х- Y 2

О*2+ у2) У^2- ^ 2 ’

Ф

(х*+ tf-) Y x^ -tf

дх

3050.

~

=

2

дг

2х

у2 sin 2х

ОХ

У sin

2х ’

ду

‘

3051.

~

=

_1 р-х/у

’

° ± ___±_ р-Х/у

ОХ

'

У

д у -

У2

*

3052. ^

=

1

дг

1

* +

1п г/’ дг/

у (х +

\п у ) ‘

3053.

ди:

w

д а

v

ifl-j-w2 ’

dw

v2-\-w2 '

3054. ^

1

х

у

.

у .

х

.

g

== — cos — cos — +

Л- sin — sin — ,

ОХ

у

x

у

X

‘

x2

у

х

x

дг

x

у

1 .

у

W

= ------? cos — cos —--------- ап

— sin — .

у2

у

X

X

у

X

3055.

~

== -v Зту/х in

з

*

= _

1

z - m * In 3.

дх

х2

ду

х

3056.

~ = =1/2 ( 1 +

ху)У-\

~ = х у ( \ +

ху)У~1+

(1 +

ху)У In (1 +Д:(/).

дх

3057. да~--= у \ п ( х + у )

х + у '

^

=

л In (л +

у) +

ху~ .

дх

*

ду

* + У

3058.

~ = -- ххУху~1 (у In х +

1),

^

= хУххУ In2 х,

дх

ди

ди

3059.

д - =

d^ = * Z’

д г =Х У

дх

-уг’

.

3060.

~

,

ди

,

дии

= - у + г ,