книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 3. У Р А В Н Е Н И Я В Т О Р О Г О И В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В

26 Г

4143. Параболам

t/2 = 4(x — а).

4144. Окружностям хг-f- уг = 2ах.

4145. Циссоидам

(2a — x)yi = x?.

4146. Равным

параболам, касающимся данной прямой, причем

для каждой параболы точкой касания служит ее вершина.

4147. Кругам одного радиуса, центры которых

лежат на дан­

ной прямой линии.

4148.

Найти семейство траекторий, пересекающих

под

углом

сг = 60° линии

x2 = 2 a (y - x V B ) .

4149.

Найти

изогональные

траектории

семейства парабол

у" = 4a.v;

угол

пересечения a = 45°.

4150*. Найти линии распространения звука по плоскости от

неподвижного

источника звука,

лежащего в

той

же

плоскости,

если вдоль какого-либо направления дует ветер

с

постоянной

скоростью а.

В задачах 4151—4154 найти эвольвенты линий:

4151.

Окружности x2-\-y2 = R2.

4152.

Цепной

линии у = а c h * .

4153.

Эвольвенты

окружности

х = a (c o s ( +

( si n(),

у =з

= a (sin t — t cos t).

y = 3t2, x = — 2P.

4154.

Полукубнческой параболы

В задачах 4155— 4182

найти общие решения уравнений:

4155.

t/ ^ x -l-sin x .

4156.

t/"= arctgx.

4157.

t/' = lnx.

4158.

xy" = y'.

4159.

tf = y '+ x .

4160.

y"=~- + x.

4161.

( l + x 2)y" + (y')2+ 1 = 0 .

4162.

xtf = y' ln^-.

4163. (yH)2 = y\

§ 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

263

4201.

Найти

линию, для которой проекция радиуса кривизны

на ось Оу есть величина постоянная, равная а.

4202.

Найти

линию,

проходящую через начало

координат

у которой отношение

площади треугольника МТР

(рис. 70)

натой

этой точки

МР и осью

абсцисс, к площади криволиней

ного

треугольника

ОМР

равно

постоянному

числу k (k > 1/2)

4203. Найти линию,

длина дуги которой,

отсчитываемая от

горизонтальную

плоскость? (Весом нити пренебрегаем.)

4206. Найти

закон

прямолинейного движения

материальной

точки массы т,

если

известно, что работа силы,

действующей

в направлении

движения и зависящей от пути, пропорциональна

жидкости

он

равен

ти а

на глубине h он равен т2. Найти форму

светового

луча в

жидкости.

(Показатель

преломления среды

обратно пропорционален

скорости распространения света.)

Ч а с т н ы е с л у ч а и у р а в н е н и й

б о л е е в ы с о к и х п о р я д к о в

В задачах

4208— 4217

найти

общие решения уравнений:

4208.

=

4209. «Г =

COS 2*.

2 6 1

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4210.

ух = е а*.

4211.

х2у"' = (УУ -

4212.

xyv = ylv.

4213.

у'" = (у'')а.

4214.

у'у” =

3 (у")2.

4215.

у у " '- у У = 0.

4216.

у [1 +

(у')2] = 3у' (у")2.

4217.

{у У -у 'у " = (£)*•

ние вида у" = Ы * )+ Ы у ) + / з (*/')• Решить

это

уравнение графи­

чески, если:

1) fi (х) =

0,

f2(у) =

— V y ,

/8 (у') = 0,5у'

и y U o =

y'U 0 = 0;

2) Ы * ) = — * .

h(y) = 0, f3(y') = — 0,ly' —0,\у'л и yU-o =

= У U-o =

1 •

4219. у" = уу'

хг\ у U -o = l, y 'U - o = l.

1) Решить данное уравнение графически.

2) Найти

несколько

первых

членов

разложения

решения

в степенной

ряд.

4220. Найти шесть первых членов разложения в ряд решения

дифференциального

уравнения

у" — - -------удовлетворяющего

начальным условиям y U -i= l> у' |JT- I

= 0.

4221. Найти

в

форме степенного

ряда

частное решение урав­

/' (0 )= 1.

Если ограничиться пятью

первыми членами разложения,

го будет

ли этого

достаточно для

вычисления /(— 0,5) с точно­

стью до

0,001?

4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения

дифференциального

уравнения уу" + у '-г у = 0, удовлетворяющего

начальным условиям у U-o = 1.

y'U-o = 0- Какого порядка малости

будет при х -»■ 0

разность у — (2 —х —е-*)?

4224. Найти

12

первых членов разложения в ряд решения

дифференциального

уравнения

у" + уу' — 2 = 0, удовлетворяющего

начальным условиям

у U-o = 0, y'U~o = 0.

Вычислить интеграл

\ydx с точностью

до

0,001.

Вычислить

у 'U-o.5 с точностью до

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ у р а в н е н и я

2 6 5

ной кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются

кон­

задачей,

где количество растворенного вещества

не менялось,

а

менялся объем растворителя). Напряжение на

клеммах цепи

20

В , электрохимический эквивалент k хлористого водорода равен

0,000381

г/Кл, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме

условиям

у U - i = l , у' U_i = 0.

4231. Функции cos*x и sin2x удовлетворяют некоторому линей­

ному однородному уравнению второго порядка:

а) проверить, что они составляют фундаментальную систему

решений;

б) составить уравнение;

в) показать, что другой фундаментальной системой этого

уравнения

являются функции 1

и cos2x .

4232*.

Если у\ есть частное

решение уравнения

тп

tf-\-y'P{x)-\-yQ(x)= 0,

то

Уг = Cyi j ё~ 1 р W ix

(С — постоянная)

тоже

является решением. Показать

это тремя способами:

уравнения

(1 — х*) у" — 2ху' + 2у = 0,

зная

его частное

решение

yi = x.

4234. Решить

уравнение у" + —у’ + у = 0,

зная его

частное

решение

t/i = —^—.

4235.

Уравнение

(2х — х2) у" - f (х2— 2) у' - f 2 (1 — х) у = 0

имеет

решение

у = ех.

Найти

решение уравнения,

удовлетворяющее

начальным

условиям

у' |*_i = 0,

J/ '| *= i= l.

4236*. Найти

необходимое

и

достаточное

условие для

того,

чтобы уравнение

у” + у'Р (х) — yQ (х) = 0 имело два линейно

неза­

висимых

решения yi

и

у2, удовлетворяющих

условию

yiy2= l .

4237*. Найти общее решение уравнения (1 —х2)у" — ху'+9у=0,

если

его

частное решение есть многочлен третьей степени.

В

задачах

4238 — 4240

легко

подобрать одно частное решение

(не считая

тривиального

у = 0)

для

данного

уравнения.

Найти

общие решения этих

уравнений:

4238.

у" — tg х •у' + 2у = 0.

4239. у"-у'+ -~ - = 0.

4240.

у"

2 х

У

2У

*2+1 = 0.

уравнения х?у” — Ях2^ + 6ху' —

4241.

Найти

общее

решение

— 6у = 0,

зная

частные

решения

уг = х и у2 = х2.

В

задачах

4242 — 4244

найти

общие

решения неоднородных

4244.

(3* +

2xs) y * - 6 ( l + x ) y ' +

6 y = 6 .

4245.

Уравнение (1 + х2) if + 2xtf — 2у = 4х2 + 2 допускает част­

ное решение у = х2. Найти

решение этого уравнения, удовлетво­

ряющее

условиям

у |ж_1= 0,

г/'!*__! = 0.

4246.

Найти шесть первых членов разложения в степенной

ряд решения

дифференциального

уравнения у" —(1 + х1)у = 0,

удовлетворяющего

начальным

условиям у |*-о= — 2, у'|*-о = 2.

4247.

Найти девять первых

членов разложения в степенной

воряющего начальным условиям у U_o=l. у' |*_о = 0.

4248. Записать

в

виде степенного ряда частное решение

урав­

нения t f - x y ' -\-у~ 1=0; у\х-а=0, у' !*-о=0-

4249. Записать

в

виде степенного ряда общее решение

урав­

нения у" = уе*. (Ограничиться шестью первыми членами.}

4250. Записать

в

виде степенного ряда общее решение уравне­

ния у" + х у '— х *у = 0 .

(Ограничиться шестью первыми членами.)

В задачах 4262 — 4264 найти

решения

уравнений, удовлетво­

ряющие указанным

начальным условиям:

4262. г/"-4г/'+Зу = 0;

yU_0 = 6,

t/'U-o= 10.

4263.

у" + 4у' + 29у =

0;

у | ^ =

0,

у 'U-0= 1 5 .

4264.

4г/' + 4г/ +

г/ =

0;

у[,_0 =

2,

у'\х. 0 = 0.

4265.

Дано частное решение некоторого линейного однородного

уравнения второго

порядка

с

постоянными коэффициентами

Ух = emjc.

Дискриминант

соответствующего

характеристического

циального

уравнения, обращающееся вместе со своей производной

в 1 при

х = 0.

4266.

Найти

интегральную кривую уравнения у" + 9у = 0, про­

ходящую

через

точку

М (я,

— 1)

и

касающуюся в этой

точке

прямой

у + 1 = х — я.

y"+ ky = 0,

4267. Найти интегральную кривую уравнения

проходящую через

точку

М (х<>. Уо)

и касающуюся в

этой

точке

прямой

у — у0 = а(х — Хо).

В

задачах 4268 — 4282 составить общие решения неоднородных

уравнений, находя их частные решения

либо подбором, либо

методом вариации

произвольных

постоянных:

4268.

2у" + у' - у

= 2е*.

4269.

у’ + агу = е*.

4270.

у" — 7y' +

6y =

sinx.

4271.

у" + 2у' + 5у = — ~ co s2x .

4272.

у " - 6 у '+ 9 у =

2х2 - х

+ 3.

4273.

у* - 2у' +

2у =

2*.

4274. у" + 4у' -

5у = I .

4275. у " - 3 у ' +

2 у = / (х ),

если

/(х)

равна:

1)

10е х; 2) Зе2д;

3)

2 sin x ;

4)

2 г' — 30;

5)

2е* cos

* ;

6)

х —е~2х+

1;

7)

е*(3 —4х); 8)

3x +

5sin 2x; 9) 2ex — erix\

10) sin x sin 2 x ;

11) shx.

4276.

2tf + 5y' = /(x),

если

/(x)

равна:

1)

5x2 — 2 x — 1;

2)

ex;

3)

2 9 cosx;

4)

cos2x;

5)

0,le~ 2'5x —25 sin 2,5x,

6)

29xsin x;

7)

lOOxe-*cosx;

8)

3ch | -x .

4277. y " - 4 y '+ 4 y =

/(x),

если

/ (x)

равна:

1)

1;

2)

e-x\ 3)

3e2jc;

4) 2 (s in 2 x + x );

5)

sin x co s2 x ; 6)

sin3x;

2 6 8

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7)

8 (x2 + e2v + sin 2х);

8)

sh2x;

9)

shx + sinx;

10) е х — sh (х — 1).

f(x)

4278.

yn + y = f(x),

если

равна:

1) 2Х3 —х + 2; 2) —8cos3x;

3) cosx; 4) sinjc-2«r*;

5)

cosx cos 2х;

6)

24 sin4x;

7)

chx.

равна:

4279.

5y' —бу' +5г/=/(х), если f(x)

1) 5e3c/5;

2)

sin^x;

3)

e2x+ 2x3- x

+ 2;

4)

e3t'5cosx;

5)

e3je/ssin g- x;

6)

13 e*chx.

4280.

tf + y + ctg2x =

0.

4281. y"-

2y' +

У= ^

.

4282.

y" — y' —f (x), если

/(x)

равна:

1) -f-J-j;

2)

e®-*К

1 —e2x;

3)

e2xcosex.

В

1 4 - e * 1

4283 — 4287

найти

частные

решения

задачах

у р а в н е н и й ,

удовлетворяющие указанным начальным условиям:

4283.

4 у "+ 16у' +

15у= 4e~3x/i;

у U-0= 3;

у' |.г-0== — 5,5.

4284.

у " - 2 у ' +

10у= 10х2+ 1 8 х + 6;

yU_0= l ;

y'U-o = 3,2.

4285.

у * - у '= 2 ( 1 - х ) ;

y U _ o = l,

y 'U -o = l-

4286.

У' —2y' = eJC(x‘2+ x —3);

yU-o = 2,

y'U -0= 2.

4287.

У + y + s in 2 x = 0;

УU-« = У U-я =

1 •

4288*. Показать, что частное решение д уравнения

а „у"-fa iу 4-

-f- а гу = АеР* (а0, аи а< — постоянные

коэффициенты, р и А —дей­

ствительные или комплексные

числа)

имеет вид д — -^^ерх, если

р не

является

корнем

характеристического

уравнения ф (г) =

з з а0г2+ a ir 4 - а2= 0; д = -£ jL epx, если р — простой корень

хэрак-

теристического

уравнения; g = -^ j^ epx, если

р —двойной

корень

характеристического

уравнения.

В

задачах 4289— 4292 найти общие решения уравнений Эйлера:

4289.

х У - 9 х у '4 - 2 1 у = 0.

4290.

x2tf + ху' + У - х-

4291.

у" -

+

J r

=

2~.

4292. х2у" - 2

ху' 4- 2у 4- х -

2х3 =

0.

4293.

Если ось вала турбины расположена

горизонтально

и

если центр масс диска, насаженного на

вал,

не лежит на оси, то

прогиб у оси

вала

(рис. 71)

при

его

вращении удовлетворяет

уравнению

d-U

та■—or

у = g cos со/ 4- w2o

dt* +

где m —масса

диска,

а — постоянное

число,

зависящее

от рода

закрепления

концов

А

и

В;

со— угловая

скорость

вращения,

е —эксцентриситет

центра

масс

диска.

Найти

общин интеграл

этого

уравнения.

4294.

Материальная

точка

массы

1

г

отталкивается

вдоль

прямой

от некоторого

центра

с

силой,

пропорциональной

ее

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

269

расстоянию от этого центра (коэффициент

пропорциональности