книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

312

ОТВЕТЫ

k =

0,

: t

1,

Л. 2,

. . . ;

£/Мякс — е— 1

при

х =■ я/2 +

2кл

и

=

1 -ф ]/е

при

х= Зя/ 2 + 2£гг. Асимптот нет.

1434. Определена везде. t/M1I£c =

4/27 при х — 8/27,

г/мж, =

0

при

х = 0.

График

не

имеет ни точек перегиба, ни асимптот.

1435. Оп­

ределена

везде. График симметричен

относительно оси

ординат. унакс— 0 при

х =

0,

Ушш =

— 3

при x =

d i 1.

График не имеет ни точек

перегиба, ни асимп­

тот.

1436. Определена

везде.

График

симметричен

относительно начала

коор­

динат. у чЗкс = 2/3 при х =

1,

«м,ш = — 2/3 при х = — 1. Точка перегиба графика

<0. 0),

Асимптот

нет.

1437.

Определена

везде. умякс = 2

при

х = 0 ,

//„„„= 0

при х = — 1.

Точка

перегиба

графика

(— 1/2,

1). Асимптота у = 1 .

1438.

Опре­

делена

везде. !/макс ®=2,2

при

дс =

7/11, !/Mmi =

0

при

х = 1 .

Абсциссы

точек

перегиба

графика

— 1

7 -I- 3 1 /3

Асимптот

нет.

1439.

Определена везде.

и —

------ ,

У«1КГ =

2 '/ 4

при

х = 4 ,

?/„„„ =

0

при х =

0,

Точка

перегиба

графика (6, 0).

Асимптота х + у = 2 . 1440.

Функция

определена при х^гО , двузначна. Функ­

ция

у = х +

Ух*-

(верхняя

ветвь

графика)

монотонно

возрастает.

Функция

У = х — У х5

(нижняя ветвь графика)

имеет максимум при х =

уг 20/5. График

не имеет ни точек

перегибании

асимптот.

1441.

Определена

при

х -Дг 0, дву­

значна. Функция у = х г -\-Ух\

(верхняя ветвь графика) монотонно возрастает

Функция y = x i — Y x b

(нижняя ветвь графика)

имеет максимум

при х =

16/25

Абсцисса

точки

перегиба

нижней

ветви графика 64/225. Асимптот нет

1442. Определена

при хЭ=— 1, двузначна. Экстремумов нег. График симметри

чен относительно оси абсцисс,

имеет точки перегиба (0,

1) и (0, — 1). Асимптот

нет. 1443. Определена на отрезке

[— 1, 0]

и в

интервале ( 1, -фор),

двузначна,

График симметричен относительно оси абсцисс. Iт/|Макс =

V 12/3 при х = ~ У 3/3

Абсцисса

точек

перегиба

графика

V l +

V 12/3. Асимптот нет.

1444.

Опреде

лена

при х 5 =0, двузначна.

График

симметричен

относительно оси

абсцисс

IV !макс =

УЛ12/9

при

х = 1/3.

График

не имеет

точек перегиба. Асимптот нет,

1445. Определена

при х =

0

и при х ^ 1 .

Начало

координат — изолированная

перегиба

графика (4/3, ±4| ^ 3/ 9). Асимптот

нет.

1446.

Определена при х < 0

и при

х Э ^ у ^ ,

двузначна.

График

симметричен

относительно оси

абсцисс.

I У !макс =

1_при х = — 1.

График

не

имеет точек перегиба.

Асимптоты

х = 0 и

V = ± х У

3/3. 1447. Определена

при

x sg — 2

и при

х > 0,

двузначна. График

симметричен

относительно

прямой

у =

х.

умаКс =

— 2

при

х = 1 .

График не

имеет

точек

перегиба.

Асимптоты

х =

0,

у =

0 и х-ф</= 0.

1448.

Определена

при — а а ^

х с а,

двузначна. График

симметричен

относительно

оси

абсцисс.

I </!«,-.кс— а у

_11

ПРП

х = —

а

Точек

перегиба

нет.

Асимп­

------- 2------

2‘ -(У"5 — 1).

тота х — а.

1449.

Определена

при 0 s g x = s:4 ,

двузначна. График

симметричен

относительно

оси

абсцисс. I у !Н1КС ~ У з

при

х = 3.

Абсцисса

точек перегиба

графика 3 — У 3.

Асимптот

нет.

1450. Определена

при — 2 s i х

< 2 , двузначна.

Точки перегиба графика (0, 0) и ( ± Уз, ±Уз/5). Асимптот нет.

1451. Опре­

делена при

— I s i x s i l , двузначна.

График

симметричен относительно осей

координат.

I I/!MSKC= I/ 2

при

х = ± у г2/2.

Точка

перегиба

графика (0 ,0 ).

Асимптот нет.

1452. Определена при

х> = 1,

двузначна.

График

симметричен

относительно

оси абсцисс.

IУ |макс=

1 ПРИ

х = 2. Абсцисса

точек перегиба

6 i-2 |/з

Асимптотау —0.

1453. О пределена

при

0 х- i<

2а,

двузначна.

- - Ч г -— .

ОТВЕТЫ

313

асимптоты .* = 0

п (/ =

А 1 и Две точки

перегиба. Экстремумов нет.

1455. Опре­

делена

при

— а ?= :л с< 0

и

при

0 < * ; + а ,

двузначна.

График

симметричен

относительно

осп

. абсцисс.

Экстремумов

нет.

Точки

перегиба

графика

[а(| / 3 — 1),

А

а

г

27/4]. Асимптота х = 0.

1456. Определена

прн — l s c j e ^ l

и при * = А 2,

двузначна.

График симметричен относительно осей координат

и

имеет две

изолированные

точки: (а 2, 0)

ly !„ jKt= l

при

*= < ). Точек

пере­

гиба

и асимптот

нет.

1457.

Определена при

— 1 so д: -< 1,

двузначна.

График

симметричен

относительно осей координат.

I г/!„зкс =

1

при

* = 0 .

Точки

пере­

гиба

графика

( а

1/2/2,

±

V 2/4). Асимптот нет.

1458. Определена при

I

и при х$~-1,

двузначна. График симметричен относительно осей

координат.

Экстремумов

нет,

Точки перегиба графика ( i.V ' 2 ,

А 1/2). Асимптоты у = ± х .

115У.

Определена

при

x 2 * 0 ,

двузначна.

График

симметричен

относительно

оси абсцисс.

1//''„акс =

1

при *= 1/ 2 . Абсцисса

точек

перегиба графика

.

Асимптота 0 =

0.

1460. О пределена

везде,

кроме * = 0 .

Э кстремум ов

нет. Точка

перегиба графика

(—

1/2, е '- + 1 / 2 ) .

Асимптоты х = 0

и

* +

//= 1.

1461. О пре­

делена

везде,

кроме

х = л / 2 +

/;я, где

к =

0,

А

I,

А

2,

. . . Период я ,

Э кстре­

мумов

нет.

График

не

имеет

точек

перегиба.

Асимптоты

х = я / 2 + А л .

1462. О пределена

везде. Граф ик симметричен относительно оси ординат. Точки

экстрем ум ов

удовлетворяю т

уравнению

* =

t g * .

Асимптота

0 =

0.

1463. О пре­

делена

везд е.

Э кстремум ов

нет,

График

не

имеет

точек

перегиба,

При x e g O

функция тож дественно равна линейной

функции- у =

1 — * , Асимптота

* +

0= 3 ,

(0, I) — угловая точка

графика с двумя

различными

касательны ми.

1464. О пре­

делена

везде.

График

симметричен

относительно

оси

ординат,

умаК(. = 3

при

х —0 . Утт — — 1

прн х =

А 2 .

График не имеет ни точек

перегиба,

ни асимптот,

и

правая его

часть

представляет

собой

часть

парабо-.ы

(/ =

* - — 4 * +

3, л еж а ­

щ ую

правее

оси

ординат. (0 , 3) — угловая

точка

графика

с

двумя

различными

касательны м и .

1465.

* (() и

у (I)

определены

при

всех

г,

а

у(х) — при всех * .

(— 3,

3) — м аксим ум ,

(5,

— 1)— минимум,

(1,

I ) — точка

перегиба. А симптот нет.

При * - > + oo

угол

наклона

липни

к

оси

абсцисс

стремится к

45°.

1466. * (/)

и

У (0

определены

при

всех

I,

а

у(х) — при

всех

* .

Асимптоты

у = х

и у —х +

+

6л : (— 1, — З л , — 1 +

Зл/2) — м аксимум,

(I — Зл, 1 — Зя/2) — минимум, (— З л , 0 )—

точка

перегиба.

1467. * (/) и у (t)

определены

при

всех I,

кроме

t — — 1.

А симптота * +

0 +

1 =

0 . (0 , 0) — точка

самопересечения,

касательными в

этой

точке

сл у ж ат

оси

координат. Точек

перегиба

нет. В

первом

квадранте — зам к ­

нутая

петля,

1468. *(/ )

и

y(t)

определены

при

есех

/.

ф ункция

//(*)

при

х < ’ — 1/е не определена,

при — 1ф <

*

<

0

эта функция двузначна,

при х : > 0 —

однозначна. Л иния симметрична относительно

прямой

* + 0 =

0 . М аксимум —

(е,

I+ ).

Имею тся

две

точки

перегиба.

Координатные

оси

сл у ж а т

асимптотами.

14(>й.

Зам кн утая

линия,

симметричная

относительно

осп

абсцисс,

с точкой

во звр ата (о,

0).

1470.

Зам кн утая

тр ехлеп естковая

роза.

Ф ункция

определена

на

отр езк ах

[0,

л/З),

|2.л/3, я ),

|4.л/3, 5л,/3]. Экстремумы

при <р — л/6 ,

<р =

5я/6

н

ф = *Зя/2.

1471.

Ф ункция

определена

в

полуинтервалах

(0,

я /2).

[л , Зл/2),

Граф ик

функции

симметричен

относительно

полю са. П рямые

* =

а

и

* =

— а

являю тся асимптотами

*),

К 7 2 ,

Ф ункция определена в полуинтервалах

[0,

л/2),

|Зл/4,

Зл/2)

м на отр езке

[7л/4,

2 д|. Граф ик функции

симметричен относительно

по-тося. Асимптоты х - - а

и * =

— а.

В

полю се кривая

касается прямой

ф =Зл/4,

1473,

С ущ еству?I

при

всех

значениях

ф.

При ф =

0

максимум

равен

2а,

при

Ф = л

минимум

равен

0,

Л иния замкнута,

симметрична

относительно

полярно,!

оси . П олюс — точка

возвр ата, 1474. Ф ункция определена на отр езк ах

[0, д/2 +

+

arc-os 1/Ь],

(Зл/2 — arccos 1/6,

2л ),

В

точке

<р =

О

функция n « eet

м аксимум,

равный

а (1 +

6), в

точках ф = л/2 +

arccos 1/6

и ф =

Зд/ 2 — arccos 1/6 — минимум,

314

ОТВЕТЫ

равный 0.

График функции симметричен относительно полярной оси. 1475. Су«

шествует

при ф >

0. Точка перегиба

(]/ 2я; 0,5). Полярная ось является

асимп­

тотой. Линия спирально завивается вокруг

полюса, асимптотически

прибли­

жаясь

к нему. 1476.

Существует при ф^гО.

График— спираль,

исходящая из

полюса и асимптотически приближающаяся к

окружности р = 1 .

1477. Сущест­

вует при

—

расположена

целиком

правее оси ординат. Замкнутая

линия.

Максимум

при / = 0 (<р= 1

радиану, р = 1 ) . Точек

перегиба нет. При

( = i

I касается

оси

ординат. 1478. Четырехлепестковая

роза. Начало коор­

— а )^2/2

х s~ а У 2/2. Симметрична относительно

начала.

Асимптота

х = 0 .

( 0 ,0 ) — точка

перегиба с осью абсцисс в качестве

касательной.

Имеются еще

две точки перегиба. 1480. Симметричная относительно четырех

осей х = 0 ,

{/=0,

у —.х, у =

— х

замкнутая линия с четырьмя точками

возврата:

(а, 0),

(0, а),

(— а, 0) и ( 0 , — а). Начало координат — изолированная

точка.

1481. Симмет­

«мельницы».

1485. Остальные корни простые. 1486. 0,1 < х <

0,2.

1487. — 0 ,7 -<

< * 1 < - 0 , 6 н 0 , 8 < < 2 < 0 ,9 .

1488.

0,32 < х < 0 ,3 3 . 1489. — 3,11 <

х г < — 3,10.

0,22 <

<

0,23

и 2,88 <

лг3 <

2,89.

1490.

0,38 <

* г <

0,39 и 1,24 <

д:, <

1,25.

1491.

— 0,20

<

х < — 0,19.

1492.

0,84 <

х < 0,85.

1493.

1,63 <

л: <

1,64.

1494.

1,537

<

х с 1,538.

1495.

0,826 < * < 0,827.

1496.

1,096 <

л: <

1,097.

1497.

0,64 <

х <

0,65. При 0 < а <

1 существует

единственное действительное

число,

равное своему логарифму,

притом меньшее

1.

При 1 < а <

е 1^е сущест­

log<»-* = x). При

с

а < -f-ад

не существует действительных

чисел, равны*

своим логарифмам.

1498.

( * - 4 ) 4 + 1 1

( * — 4)3 +

37 ( * - 4 )2+

21 ( * - 4 ) - 5 6 .

1499.

( х + 1 )3— 5 ( * + 1) + 8.

1Т0О.

( * -

I P

+ 1 0 ( * - 1)8 +

45 ( * - 1)8+

120 (* -1 )7 + 210 ( * - 1)«+

+

249 ( * - 1)*+ 195 (* -1 )4 + 9 0 ( х - - 1)а+

15 ( * _ 1)г_ 5

( * _ п _ I .

1501.

Xе —9*» + 30*“ _ 45*з I

30*2 _ 9* + 1 .

1502.

/ ( —1) =

143; /'(0 ) = _

60; f ( l ) =

26.

,503.

- ! - ( *

+ 1 ) - ( ^ 1 ) 2_ . . \ 1 |/ + 1 ) « +

+ < - 1)|Л-Н

(* +

1)«4

где

0 < 6 < 1,

гг,

[—1 + 0(*+1)1"+2

316

ОТВЕТЫ

1557.

/

я —

\

-

4

<

О

\2

19л

/

<7

.о

+

=

,539<

a/4).

1558.

cij

'</— з "j

" ifa"'

1560.

( У -

,

—

*■ l:i2 j.

>561.

j

ln2,

1562.

При t =

kn,

1563.

А д .

1566.

o * 3 .

ft =

— 3,

r = l .

,

1367.

t, = -

,r> — 0 ,;;.v '-f4 ,5 r‘+ 0 ,ljc -.

1568

t - ! -

1‘ + ' ^ 21Д

Ч *

«. - у*

"->■

la68.

r = x -----------—

,

> I

A

1 и („_!,*/.■*•

1 5 6 9 .

? =

( a - +

ft:-) Л»/Й4,

11= » —

(fl2+ f t 2) fir*/*4;

( a ^ r

—

(ftn)i / 3 =

( a 2 + 6 2)2/’ .

1 5 7 0 . S = A- + 3 .

x'iy;\ 4- 0+ 3^/a^

3;

( ; + n)2/u+< g -n)a/a= 2a»/«.

V

1571.

l =

±

j / ~

Ца

(3i/+a),

r) =

9</4-?atf

2a

1572.

S—

- J c .

ч - З

Р - | ' .

р

- ^ ( ч + * . ) ’ .

1573. (Зп'8)4+ 0а- (.°,t),8)-+ Sta-;- 0 .

1574. |*/a+r),,3 =

(2a)vs

1576. Да,

можно.

1579.

2p||/r | ^ ^ j'i — i j .

1580.

4 (a'—b*)

1581.

6a,

ab

1582'-. 16я. Получив параметрические

уравнения

эволюты,

преобразовать их

к новым координатам и параметру,

положив

х = — а д ,

р = — ylt

< = /,-)-я.

1583*. Воспользоваться

зависимостью

между длиной эволюты п приращением

радиуса кривизны.

1584.

0,785.

1585.

0,073. 1586. (3,00; 2.46). 1587. (—0,773-

—0,841).

1588.

(1,38;

4,99),

1589. (0,57; —3,62).

1590.

0,78.

1591.

(2,327; 0,845)!

К главе

V

Я

Ь

Я

1592.

I)

\(.v--+l)dx\ 2)

( («■*-[-2) tf.v;

3) ifsinjcrf*;

0

2

3

1

6

€

4)

$ (8-2.i-2)tfx;

5)

\’ (K-v —.v2) * ;

6)

$ (In x - \ n r- x ) d x .

— 2

0

I

1593.

20 —4/я

ii 2

0

4/я; «= 4/я ;

a =

~~ .

1594.

a =

149/600 = 0,248,

6

«3 0,039.

1595.

31,5.

1596.10

? -.

1597.

^

c,h =

i 0 m \

1598.

10

? - .

1 5 9 9 .8 .

и

О

О

1600.

21

* .

1601.

2

l

.

1602.

140

CM.

1603. =

122,6 M .

1605.

20

6

C M .

1605.

3

1600.

8

см.

625 Д:;с.

4

T ,

n -

I

1607.

a) mn=

2

c(S;)

—/,),

(0 = Т0, /n =

7'1;

6)

m= $ ti (() A.

/' -

о

’г ,

«— i

r,

1608.

a)Cn =

2

4 (?<)(/.■+!-</).

fu=

7\i. ^

=

r i;

6)

6=

Ij

i -= о

f 0

1609. Q„=

f j

/($,) {/,и -/i),

<o=o,

Q=S

/ (0 rfr.

i = 0

0

tl — l

1610.

a)

.4n =

^

Ф ( ; i ) 'Ф (si)

(^i+i

^<)>

*o= Г о,

>л =

7\ ;

ОТВЕТЫ

317

б) Л = \ '

1611.

г„

1612.

67600 Дж.

1613. 2880 Дж.

1500 Кл.

п —-1

Ь

1614.

а) Р я = ^

e|i (■*;+! — •*!•)■

х п =

й; б)

Р = \

a x d x .

i= о

в

1615.

a) a b - /2 =

187,5 Н; б) прямая

должна

быть

проведена на расстоянии

h /}

2 =« 17,7 см от

поверхности.

1616.

е — 1.

1617.

hk\1_л*н

1618. 1 )5 0 ;

—

— .

2)

4 а -, 3)

; 4)

ей2; 5)

а

+

l ) ;

6)

т ;

7) 31.5;

8)

■ 9)

;

^ ) а (~

i - b y 3bi) '• П) 4:12)

16Т5:13)

°-

,619*-

з г п : вв1-67,10и-

3a‘

писать выражение,

предел

которого ищется,

в виде я-й интегральной суммы

некоторой

функции. 1620.

1п 2.

1621.

1п2.

1622*.

In о,

In 3 =

1, 1. См. за­

дачи 1620

и 1621.

1623*.

1) а е3 — e“+ l; 2) a ln a — а-(- 1; 3)

^

.