Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

687.

689.

691.

694.

697.

699.

701.

703.

705.

					ОТВЕТЫ					301
	688. a rc tg / x +				g	■.
Y x2 + a2		2 tg2 x)			2	‘ x>
tg x (l +		2 tg2 x)			690.	Sos2* — 2 sin 2x In x.
cosa x y /l +		tg2 x + t g 4 x			690.	Sos2* — 2 sin 2x In x.
cosa x y /l +		tg2 x + t g 4 x					COS X
H -*4	692		" « » *		. 693.		COS X
1 + xe ‘			у i _	n'i sin2 x		2 У	sin x — sin2 x
	„„		69o.	xarcsin x		BflB	1\_ .	arcsinx		1
sm§ 3x cos3 3x.			69o.	—, ..	.	6 9 6 . -------sin			V 1 - x 2
							2		V 1 - x 2
l + 2 / rx + 4 / rx V x + V x						oao	___________
						:. 698.
8 V x V	x + V x V x + V x + V x						2 У 3 х — 9х2
In x — 2	. Г		/1— In x lj		»/v/v	2x — cosx
------ =—	sin	2			700.	(x2— sin x) In 3 ‘
						(x2— sin x) In 3 ‘
2 / 1 —xa		.	702.	—
2 / 1 —xa				х 1Л	- х	а (х + ] Л - х		2) ‘	—n'c\
arcsin On x )4					. . .	2ex		„ i\1	—n'c\
arcsin On x )4			Y 1 '— 1n2 X		704.	— ТТ-,——„sec2			1-^71
			Y 1 '— 1n2 X			(»+*)		i	1-^71

2 sin3 x

V\ + '-

706. — 0 ,8 ( cos 2*„^~' — sin 0 ,8 x j ^sin

+ 0 ,8 cos 0 ,8 x j .

707.

709.

711.

713.

715.

10	1 + ^ l n		1 0 ). 708. -	tg 2 x sin2 2x		*
			.	710.	1	- 1 *
(x2+		2x + 2 ) arctg l. + x			/ V	- 1 *
(x2+		2x + 2 ) arctg l. + x		9 Y x)
		x + 2	x (8 +	9 Y x)
				712.
2 ^ 1 + 3 K ( l + * / ^ + 3 )2				4 1 / 1 + у x *
------—	=	=	. 714. 3x2 arctgx3+		— — j .
2 / ( 1		+ sin2 x )3			H - *
ctg x In cos x + tg x In sin x
		In2 cosx	■■’ « ■ У Г Й -

717.

,1 /ln

719.

(1 — 4x)2 \ У 1 + 4 x "

X In2 X

720.

10х

In 1 0 ftg x + -

4 - V

\ a

cos2 X/

2 sin x

721.

2 sin x (x sin x cos x2 +

cos x

sin x2).

722.

- .

-------------

______

cos 2x Y cos 2x

_ 2

l/ ~ .l

721

705

nx/lnxl|1JC 1 ,

2 -

723.

2 (1 -

x )(1

+ x

2)V

2 • 7

Л1-

x 2 • ^

~hFT

726.У ° 2Е—1

x~ b

729.V a +, x x2

У(x2 — l)3

727.	_ ! ( 2 c o s + x + l )			.	7 2 g __________ 1_______ У Т
727.	-	2		.	728. ---------------- -------------
		_____ У	2х		( 1 + X ) / 1 - X 2
730.		x	731. — cos 2x.
		x
. 733.		(a2+ 1 )	sin xtfi*.		734. e l ~ cos* ( l + x sin x).

ОТВЕТЫ

2е-2*

735' 738-

740

742.

744.

746.

747.

749.

7S2.

1Ь)

756.

758.

7gg

760.

!63 .

(1 + е -* х )

(arctge' 2*)2 ‘ 736‘

10е* sin 3* ' 737‘

9х2 arcsin я.

------------,

739.

/ 2 + 4х — х2 '

4 / х

(l + е~ уГхУ

(cos х — sin х) (ех +

х)

7 4 1 .

a r c t g *

_______________________________________ _

ех cos x -j-e

х sin х

‘

/ ( i

х2^з

sin (х — cos х) (1 + sin х)

743.

ех sin х cos3х (1 +

ctg к — 3 tg х).

cos2 (х — cos х)

54 у/ х*

745.

55 ‘/ ( 9

6 /х » ) 10

/в М

+ 4е*+1 ’

garctg 1^1+ )п (2х + 3)

(2х + 3) [2 +

In (2х +

3)] / Т +

In (2х +

3) ‘

(gX_j_g-X)2

[2х(е* +

е--*) — (ех — егх)].

748.

- - A

i l f l1? - ! .

*■

cini V

sin2 х

Х6+ 1

751.

Х2

2х — 3 / 1 — 4x2 *

75°- х4 (х2+

1)-

1 —

2 х — х^ ’

7 а ь у

4-Н д х

753

(1+

2дса) sl'n x - f х (1 +

х2) cos я

'■

/ l + Х 2

(х?— 32х — 73) (3 — х)3

755.

З е ^

(2 + / х )

2 ( х + 1) « / х Т 2

lO V ^ l+ x/ *)*

х 2— arctg.r-{--T- In л;+ 1

12х

\е

757.

'1+Х2 )

COSSJ# ‘

In3 X

( 1 - f х2) arctg х

Inт ]-

(1 — х2) езх~г cos х [ 3 — 2х — Зх2

— tg л:

(arccos х)3

У 1 — х2 arccos x j

4 У (x2-j-a 2)3.

761.

(arcsin х)2.

762.

. . . .

.......

764.

- Л

т .

765.

a emx-\-be~

x3+

	Ctg\|/4ctg Y			In tg 2x
766,		М - Ж 4 Г		2 sin2	,
				2 sin2	,
767.		3x2+	10x + 2 0	> + x2+	1
767.	----------- ■—		5 ■ 768-	> + x2+	T *
	15(x2+	4 ) / ( x - 5 ) 2 / x 2+ 4			^	_ _ _	вечет*
m	Ои уЯ	1			£,Пл,	_ _ _	вечет*
m	— X2n+T ' если и—четное число' и — -\|х \|(Х2«+ i j '
ное число. 770.		24Х3
ное число. 770.		( 1 +	8х3)2 *
774.	а)	( 1 - х )2					исполы
		( 1 - х )2
	22 —_ пп (п(п ++		11))ххя - 1 + 2 (п * — 1 )х " — n(rt О * " * 1 _			У казание:
	б) -------------------------			(1 —х)3

вовать значение суммы х + х ^ + ... + хп.

ОТВЕТЫ

803

776.

У I — у ге-

Л1Ыпу н

cos In х 777.

3 (sa — 1)

779.

780.

а ' (х) =

х [1 + In а (х)]

2 У х — х2

781.

(Arsh х)' —

(Arch х)' =

(Arth x)r =

-j

1 +

х2

Ух2—1■’

782

783.

- 0 + * 4)2

1 - f •

8ха

2 У ( \ - у ) Щ + у ) У

784.

789.

- / 2 -

3//а— 4

785. 2 s In 2

2“ ’

In 2 Ctgi'

790.

— 1/а.

791.

— 1/4.

b*x

793.

- V

794.

a y — x*

792.

— а2у '

i/2— ax '

795.

За2 cos Зх- f i/2 sin х

796.

797.

798.

y2 - 2x2

2y cos x

3 (1 — у2)

y — x

’ 2 y - — x2 *

799.

3x2+ 2o xy + 6y 2

у cos2 (x -fy ) (cos (xy) — sin (*y)) — 1

ax2+ 26xy + 3 y 2

X cos2 (x -fy ) (cos (xy) — sin (xy)) — 1 *

801.	2*~У	2У -1	802.	1	803.
		1 — 2*'		2(1 + In y)
804.	y8— xy In у		805.	_ _ jL " .( * t » L
		x y ln x		1 + sm (x + y )

У\—у2 (l —У 1—x2)

yi —x2 ( l -У Т ^ у 2)'

1+ у sin (xy)

806.

x sin (xyj

«У

807 ■-Vi- 808. 2 - у '

1^1—A2

809.

sin у

sin 2у — sin у — x cos у ' 810.

1 +

k cos x *

811.

у cos x + s in

(x — y)

‘

812.

1+ ?/2

814.

(2,

4).

sin (x — y) — sin x

816.

y +

4x + 4 =

8y— 2 x + 1 5 =

подкасательная

равна

1/2;

поднор

маль

равна — 8.

819.

а) ^ =

t2 — 8;

б)

11 = 0, 12=

4, f3=

820. 0,01815 Дж.

821.

оо =

рад/с.

822.

оз=

2я

рад/с.

823.

м = (2 at — b)

рад/с;

скорость обра

тится

нуль

прн

* =

^ с .

824.

А.

825.

(0, 0);

( 1,

1);

(2,

0).

827.

(1, 0);

(— 1,

—4).

828.

у = 2х — 2;

у =

2х + 2 .

829.

З х + у + 6 = 0. 830.

Касательная

У — Уо = (х —х0) cos х0;

нормаль

у —у0= — (х — х0) sec х0.

831.

Касательная

хо(У — Уо) = х — х0;

нормаль

(у — у0) + х 0(х — х0) =

832.

Касательная х + 2 у =

:4а;

нормаль

у = 2 х — За.

833.

Касательная у — у0=

*0 (Зо

Хр)

~ (х — х0); нор-

Уо (2а — х0)2

Уо (2а — Х(|)2

маль

у — у0=

—

Хр (За

Хо)

(х — х0).

835.

Подкасательмые

равны соответствен-

но х/3, 2х/3 и — 2х; поднормали равны соответственно

— Зх5,

— Зх2/2 н х2/2.

836-

tJ =

~ia{X~ Xi ) ’ У

- У о = - ^ ( х - Х о).

837.

2 * - у + 1 = 0 .

838.

27х _

— З у - 7 9 =

839.

2х — у —-1 =

840.

4 х - 4 у - 2 1 = 0 .

842.

3,75.

844. х -f.

+ 2 5 у = 0 ;

х +

у =

0 .

845. (0,

1).

846. у =

х.

848.

х — у — 3 е 'а =

0 .

849.

2/ ^5.

850.

(1 + )А з /2,

1). ,857. 2х — у ± 1 = 0 .

858. Если

у =

/(х) — уравнение дан

ной

кривой,

то

уравнением

искомого

геометрического

места

будет у = х/'(х).

б) Парабола

у2 =

-^рх\

б) прямая,

параллельная

оси Ox,

у =

в) кривая

Каппа

у У а 2 — х2-J-х2=

г)

окружность

x2- fy 2 =

859.

1) ф х=0,

фа =а

e a r c t g ^ ;

arctg

860.

1) arctg 3;

2 )4 5 ’ .

861.

90е.

8 6 2 .4 5 °

и 90*.

304

ОТВЕТЫ

8 6 3 . arctg 3 .

8 8 4 .

a rctg (2 ^ 1 ) • 86S- П ри

нечетном

касател ьн ая

+ y

нормаль

ax —Ьу=аг— 62.

П рн

четном

касательн ы е

-± у

= 2 ,

нормали

a x ± b y = c f l — b*.

879 .

Д«/= 1,461;

di/=l,4.

880 .

Д(/ = 0,1012; dt/ = 0 ,1;

=■

=0 ,9 8 8 0 .

88 1 .

882.

— 2 . 883 .

Д(/=

1 .9 1 ;

d t/ = 1,9;

A y—dy=Q,Q\\ ДУ — dy

Дy —dy

AlJ

=0 ,0 0 5 2 .

884 .

Д(/ =

0 ,1 ;

di/ =

0 ,1 0 2 5 ; Д(/ — dt/ =

— 0 ,0 0 2 5 ;

- 0 ,0 2 5 .

8 8 5 .

Д * = 1 ,

0,1

0,01

Д£/ = 1 8 ,

1,161

0 ,110601

d y = W ,

1,1

0,11

Ay — d y = 7 ,

0,061

0 ,000601

S= ^ ~ - y=0,39

0 ,0 5 2 6

0 ,0 0 5 5

Ati

8 8 6 .

Д р = » 1 ,3 ;

dy =====1 ,1 ;

A y - d y a * 0 ,2 ;

6 =

- ^

= a 0 ,1 5 . 887 . a) dy =

16.

f c ^

5 ,8 8 % ;

dy = 8,

f c ^

= 3 , 0 3 %

;

в)

d « / = l,6 ,

0 ,6 2 % .

888 .

dy =

4 ,8

CM2;

dy = 6,0 CM2;

dy = 9 , 6

CM2.

___

0 ,1 2 5

5 dx

„ч

4 d x .

„

dx_

“ *•

213 K

F :

- Я

“

iT j/ T '

l M

3 w c ^ ’

2(a + b)VrJc’

- О М Ц Ш а г ,

10)

2x у

x l -a

11) j^(2.v + 4) (**-

V * ) + (^ + 4JC-f 1) ^2дс

djtj

l^ y j

2 V

12)

бА'2 %

;

13)

- 2 t-i \ r >

14)

3 (1

л: _

л:=)2 (1 — 2 л ) djc;

(v < -l)2'

" ' ( 1 - г 2)2

15)

? i l £ dxi

16)

5 ,n t e J c-2г-к-dx;

17)

,/ co sx l n 2 ^

cos- л:

ln 5

sin

cos-

i Q,

(x* — l) sin x +

2 x

cos x

18)

—

7 -

19>

( 1 - x 2)2

2 sin

-2-

20) !

h 2 a rrAl l ) d x -

21)

)/arcsin x

}

I -А 2

1+A-

2 :

1 — x 2

1 +

22)

! 3“

Vx' • 2

•In 3-|-9.va -

dx.

890.

— 0 ,0 0 7 5 ;

V x!

0 ;

0 ,0 0 2 8 7 .

891.

Ay ^

—0,0050;

0 ,0 0 8 6 ;

0,00025;

sin 30йГ =

0 ,5 0 0 2 5 .

892 .

0 ,0 0 5 8 2 .

8 9 3 .

— 0 ,0 6 9 3 .

8 9 4 .

dp =■

—

n_r!L dm

895.

0 ,3 4 6 6 .

89 6 .

sin 6 0 ° 0 3 '= 0 ,8 6 6 5 ;

sin 6 0 ° 1 8 '= 0 ,8 6 8 6 .

J 7cos 2(p

899.

0 ,9 9 5 . 9 0 0 .

arctg 1,02 =

0 ,7 9 5 ; arctg 0 ,9 7

= 0 ,7 7 0 .

9 0 1 .

0 ,3 5 5 .

902 .

0 ,5 2 1 6 4 .

9 0 3 .

а) Изменение

длины

нити:

2 d s =

g -d / ;

б)

изменение

стрелки

п ровеса:

df =

3/ ds.

90 4 .

П огреш ность

при

определении

угл а

по его си нусу: Axs

tg дс Ay;

погреш ность

при

определении

у гл а

по

его

тан ген су :

Ахт=

о т в е т ы ’

305

sin 2х Аг

(где

Ду,

Дг— погрешности,

которыми даны величины у

и г);

A*s

точность

определения

угла

по

логарифму его

тангенса

выше,

Ах г

’ COS2 X '

чем при определении по логарифму его синуса. 905. 0,3% .

< м ■

) w + v + щ я ч - г и , . г ) Л _ _ <

3 У [(Я +2/+1) (/3+2/+6)]2

,,,

2 1п 3

^ ф — зГО «~ п~ 87 « 2 ? !

d s --------f r

S .»'».

■;

i ,

-------i

- .

2 / 2 и 2- З и + 1

cos2*

908. Непрерывна и дифференцируема. 909.

/(дг) непрерывна всюду, кроме

точек

* = 0

и дс= 2 ;

/ '(дс) существует и непрерывна всюду,

кроме точек

л = 0.

1, 2,

где

она

не

существует.

910.

При

х = к я ,

где k — произвольное целое

число. 911, Непрерывна, но недифференцируема. 912.

/ '(0 ) = 0 .

913.

Непре

рывна,

но недифференцируема.

914. Ду и Ах— величины

различных порядков

малости.

915.

Непрерывна,

но

недифференцнруема.

916.

Д а;

нет.

917.

а.

918. ашеа<Р. 919. Абсцисса изменяется со

скоростью

vx = — 2r<osin2q>;

орди

ната

изменяется

со

скоростью

vy =

— 2 т

сое 2<р.

920.

Скорость

изменения

абсциссы t/je=o(l+cos<p);

скорость изменения ординаты vy = v

sin <р

(<р— угол

между осью ординат и полярным радиусом точки).

921. — ^ ^ - « * — 0,000125р.

922. 2

ед./о

точке

(3, 6)

— 2 ед./с

точке

(3,

—6). 923.

см/с

точке

(3,

—2 см/с

точке

(— 3,

4).

924.

точках

(3, 16/3)

и (—3,

— 16/3).

925.

4о

и 2аи,

926.

2до

и 2пго.

927.

4л г2о

8я го .

928.

При

х = 2 n k

—

при

х = 2 л й ± - А - ,

929.

При

x = 2 n k .

930.

1/п-

раз.

932.

а)

Да;

б) нет.

934.

хг — 18x4-9 ^ = 0 ;

4х2 ( 1 - х 2);

< / > = (х -1)2;

х =.

Arccos(1 — £/) +

V 2 y — yi \ 5) у = 2 о

+ * - * " : )

935.

|)/ =

(2 f e + l) n ;

2) 2=

1 -f-

/=я/4 + д*;

4) fL =

t.i =

— 1.

936. — — ctg<p.

937.

—

tgq>.

938. c t g £ .

l+<®

939.

940. -

1 .

941.

942.

со зд - _cp sin cp_

1 — sin (p—(pcoscp

943- / (2 + 3 1 — <•*) ‘

944.

1 — ts i

945.

946.

— 4/3.

947.

1/3.

948

He существует.

1 +

t g /

1 — 2 / 4

949.

3/6.

950.

/ =

д/2- f a ;

2) t = n — a ;

/ =

л/6+а/3,

где

а — угол,

образованный касательной с осью Ох. 956.

1) Кривые пересекаются в двух

точках

под

углами a 1 = a 1= a rctg 41

: 87° 12 ';

2) кривые пересекаются в трех

точках

под

углами

а к= а 2 = 30:*

<х3 = 0э.

958.

Длина

касательной

;

длина

нормали

N =

;

длина

подкасательной

S T

S ln p

cos

длина

поднормали

i/tg 42< l

959.

COSt

sin t

У_

( у tg /1

|#ctg/|.

961.

Ic^T|*

Х+ 2У~

sin t

— 4=0; 2x—ff— 3 = 0 .

964. 4x+2i/-3=0; 2x-4y+l=0.

965.

y = 2, * = 1 .

966.

1) 4х+Ъу— 12a=0; 3x— 4i/+6fl=0; 2) х + у = я *У 2 !\Ь \

у—х=я/2/2;

306

ОТВЕТЫ

у — 1 +

In а.

969 .

p =

2 a c o s t.

970 .

6 = ф ,

а =

2<р.

974 . 3 ;

— 3 .

975.

1) 0;

0 ;

/ 3 ;

У З .

9 7 7 .

= tg в.

978.

arctg |

Ы2=

arctg

ф.

979 .

р ~

|/\J 2 COS2 1 +

52 sin2 /; <p =

arctg

tg / j;

тан ген с

у гл а

м еж ду

касательн ой и

полярным

радиусом равен

^ 2 _

sin

П олярная под касател ьн ая 5 Г =

полярная

поднорм аль

S N =

9 8 3 .

р/ln а.

9 8 4 . р In а.

98 5 . У

1 + а 2 .

986 . r J Y г2 — х2= г /у .

9 8 7 . У ЬЧ2 +а'уЧ Ь2х.

9 8 8 . " j /

l + | - d *

и ™ ^ yi + p2dx.

9 8 9 .

1 + д ^ -

9 9 0 .

1 +

cos2xdx.

991 .

= у .

992 .

г.

993 .

2 a s t a y .

994.

За cost

sin tdt. 9 9 5 .

a ) / T + + r t f .

996 .

4 a

sin ~ d t .

997 . a d g t d t .

99 8 . at.

999 . a y c h 2 t d t .

1000.

3/2 м/мин;

вектор

скорости

направлен

вер ти кальн о

вн и з.

1001 .

1 0 1 ^ 2 6 ^ 5 1

км/ч;

вектор

скорости

параллелен гипотенузе

прямо

угольного

тр еугол ьн и к а,

один

катет

которого

горизонтален

равен

50 км,

другой

верти кален и равен 10

км .

1002.

14,63

км/ч.

1003.

4 0

км/ч.

1004 .

Ra ( sin

п +

—

. - ] .

Ю 05.

9 ,4 3

м/с.

1006.

2 .

1007.

—

2 4 * .

207 360.

2 y i2- R 2sin2aj

6 (5 * 4+ 6 * 2 +

1).

4 sin 2х.

4/е.

1008.

1009 .

360 .

1010.

1011.

1012.

1013.

— 1/2.

1014 .

51/(1 — * ) в.

1015.

6/*.

1016 .

ап (р +

1)/*«+2.

1017.

16a sin 2<р.

1018.

2 •(— 1)" «!/(1 + * ) я+1.

1019.

2 е*а (3 * +

2 * 3).

1020.

6* (2*3— 1)/(*з + 1)3.

1021.

j - q ^ j + 2

a r c t g * .

1Q22.

— а2/ У

(а2- х

2)3.

Ю 23.

—

* / / ( 1 +

* 2) 3.

1024.

а + ЗУх

1025.

<УХ(У* — 1У

4 х У х (а-\ -У х)3.

4 *

У х

1026.

— агС51П*

У .

1027.

а (а" -

1) sin xJV ( 1 -

a2 sin2 *)«.

1028.

У (l—*2)л

1029. а пеа х .

1030-

(— l)n e

* * [ ( l n * + l )2 +

l/*].

1031.

а п sin (а* + яя/2) +

6я cos (й *+ яя/ 2).

1032.

2я _1 sin [2* +

(гг— 1) п/2].

1033. ех (* +

п).

1034.

(— 1)" (п — 2)!/* " -1

(n =s 2).

1035.

(— 1)я аяп!/(а*+й)я« .

1036.

(— I )"-1 а п (п — 1)!/(ах + й)я.

1037.

(— l) « - i^ Z _ i| ..

1038.

( - 1 ) »

(*+ 1)я+4 ^ ( * — l)"11.

1039.

(— I)” я! .

2)n+i' — (л; — 1)«+1 _

d-x

d2y

I i'dy\3

1040.

4я"1 cos (4* +

пп/2).

1054.

J y i =

Jx 2 /

\dx)

lose.

- X

- t -

1 0 5 7 . - 3 r3x!y\

1058.

— 2 (Зу1+

3y2+

5)/гД

a1if

1059. (3 - s ) eM/(2 - s ) 3. 1060. - 2a3xy/(y3- a*)2.

1061. - y/[ 1 - cos (* + y)]3. 1062. — '/[(*

^ 1 •

Ю63. ^ = § / ( ^ ) 3 * 1064- ^

1065* - р 2 /У г (у Ч г р ¥ -

ОТВЕТЫ

307

1069.

2 а

1070. — — = .

— г-тгг.

Ю71.

3b cos t

962/1

a3 sin? / *

У*

a sin3/

1072.

1073.

cos2/ - 4 sina /

а ( 1 — cos <р)3

9a2 cos7/ sin3/ ;

так

как

x+2/ = a.

1074.

4/2;

I - / 3'

1075.

2 +/2

1080.

м/с3.

1081. v =

a (cos/ —/ sin /)3 '

2 / - 4 ,

a = 2 .

1082.

- я

2/18

см/с2.

1084. —0,0015 м/с2.

1085.

—1/8

м/с2.

1088.

(JC2 —379) sin лс — 40JCCOS JC; 2)

C* sin (л+ fci/2);

a"A;3 sin (ax -f- nn/2) +

3 n an^1x2 sin [ax +

(n — 1) л/2] -f-

+ 3n (it — 1) an~2x sin [ax+ (n—2) я/2] +

n (n — l) ( n — 2 ) a n- 8 sin [ax: + (ft— 3) л/2 ].

1093.

(0) =

(/Wn+n (0) = [1 •3- 5- ...• (2/i— l)]2.

1095.

i/'sn-i) (0) =

</<3«i (0) = 2 •[2 •4 •6 —

•(2 n —2)]3.

1 0 9 6 .

--Ю97. m (m — 1) (m — 2)x™ ~adx*.

9x у

1098.

4 (*+ 1 ) (5A2 —2A— 1) dx2.

1099.

4“*‘ •2 In 4 •(2A3 In 4 - 1 ) dx\

1100.

aft (a2 —ft2) sin 2 A dx2/(a2 cos2 x -)- ft2 sin2 A ) 2 .

1101.

In A— 4 —In3 A dx2

A2 /

(In2 A — 4)3

1102.

—4 sin 2A dx3.

Ц03.

4>^tg9

(1+ 5 tg^)<ftp2.

1104.

За3/ у /2

1105.

<Py--

-tPx-

4(l+ 3x*) dx2;

2) d2y = —4 sec2 2/ d/2

1106.

A*— 1 “ ~

(A2— l)2

d'ly =

cos z ddz— sin г dz2;

2 )

d2y =

ax cos (a-*) In a d2x — a-* In2 a (a* sin a-* — cos ax) dx2}

d-y =

a‘a1 n a [cos a** (6/ +

9/4 1n a) — a °

sin a(i ■91* In a] dP.

главе IV

1110.

1) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума}

точка

максимума;

6) точка

минимума;

точка

минимума;

8) точка макси

мума; 9) точка минимума. 1112. В точке х4= 0 возрастает, в точке х2 = 1 убы-

вает,

в точке а 3 = — я/2 возрастает

и в точке х4= 2

убывает.

1113. Убывает

в точке а х = 1 / 2 ,

возрастает в точках ха= 2

и х3 = е ;

х4= 1

— точка минимума.

1114,

Возрастает

в точке х4= 1 , убывает в точке х2=

— 1;

х3 = 0 — точка мини,

мума.

1115.

Убывает в точке X i= l/ 2 ,

возрастает в точке

х2 = — 1/2; х3 = 0 —

точка

максимума.

1125. Три корня, принадлежащих соответственно интервалам

(1 ,2 ),

(2 ,3 )

и (3 ,4 ).

1127. sin За2— sin За4=

3 (а2 — а4) созЗЁ,

где

х1 < | < х 2.

1128.

а (1 — In a) — ft (1 — lnft) =

(ft — a) In 5, г д е а < | < 5 .

1129.

arcsin[2(x0-t-

+ Дх)] — arcsin 2х3= 2Дх/уг1— 4£2,

где

Ао < |

< а0 + Д

а .

1135.

При

х -* -0

5 стремится к нулю,

принимая не все промежуточные значения, но лишь такую

их последовательность, при которой cos-|- стремится

нулю.

1136.

0,833.

1137.

0,57. 1138.

1,0414. 1139.

0,1990.

1140.

0,8449.

1141.

1,7853.

П49*. Тре.

буемое неравенство вытекает из возрастания функции

у = tg*

в интервале

(0, л/2).

1150. С— со,

— 1)

возрастает,

(— 1 ,3 )

убывает,

(3,

+ с о )

возрастает.

1151.

(— сю,

— 1)

убывает,

(— 1, 0)

возрастает,

(0, 1) убывает,

(1. + ° о ) воз*

растает.

1152. (— со,

— 1/2) возрастает,

(— 1/2, 11/18)

убывает,

(11/18,

+ о о )

возрастает.

1153.

(— со, 2а/3) возрастает,

(2а/3, а) убывает,

(а,

+ о о ) возрастает.

1154.

(— оо,

— 1)

возрастает,

(— 1,

убывает,

( 1 , + о о )

возрастает.

1155.

(— оо,

0) убывает, (0,1/2) убывает,

(1/2, 1) возрастает, (1,

+ ° ° ) убывает.

308				ОТВЕТЫ
1156.	(— сю, 0)		возрастает, (0,	-j-oo)	убывает.		1157.	(— оо, 0) убывает,		(0 ,2 )
возрастает,		(2,	+ о о ) убывает.	1158.	(0,	1) убывает, (1, е) убывает, (е,				+ о о )
возрастает.		1150. (0, 1/2) убывает, (1/2,				+ о э )	возрастает.		1160. (0, я/8)	убы
вает,	(я/3,	5я/3) возрастает,		(5я/3,	2я)	убывает.		1161.	(0, я/6) возрастает,

(я/6, я/2) убывает, (я/2, 5я/6) возрастает, (5я/6, Зя/2) убывает, (Зл/2, 2я) воз

растает.

1162. Монотонно возрастает. 1163. Монотонно возрастает.

1164.

(0, За/4)

возрастает,

(За/4, а)

убывает.

1165.

р„«кс=0 при

х = 0 ,

уння=

— 1

при

лс=1.

1166.

при х =

— 1,

при

де= 3 .

1167.

</накс=

при лс=0,

.■/■юн =

8/з

при

* =

— 2.

1168.

t/мчкс=

при

х = 0 ,

рми„ = / 4

при

дс= 2.

1169.

1/макс=1/1пЗ при

Ж— —3.

1170. (/Иакс =

При

ДС=

1171.

у„акс =

0 при

* =

t/мин =

—2/3 при * = 1 .

И 72.

Уиин =

2 при

*= 2 / 3 .

1173.

(/маКс =

/205/10

при

х =

12/5.

1174.

yUiKC =

Y а* при

х =

г/мИн =

ПРИ * = ± а .

1175. унин =

при

х = 0.

1176. Монотонно

возрастает.

1177.

</ц8кс=

с ' / 1 8

при

х= 1/ 2,

0иип“=О при лг =

— 1

и при х =

1178. умакс =

2,5

при х — 1, 0ИИн =<? (4 — с)/2 ===.

к=1,76 при х = е .

1179. умакс =

1/2 при х =

0, умин =

л /8 при х = 1 .

1180.

i/HaKt= 0

3 / 3 - 2 л

л — ч ±.

..« в .

6л / 3-

- я * + 1 8

1,13

при * = 0, 0ШШ=

Уыакс---------------- ------------

при

х = ± я / 3 , ршш= 1

при х = 0 .

1182.

i/„a„c =

sin j +

jg при * =

-!.,

36 / 8 -

12я / 3 +

72 -

я 2+

6л

при

х =

я/6.

1 1 8 3 . г/макс= 1

/Л

п р и

Х =

1 .

144

!/шш =

— 1/я

при х =

1184.

Если ab

экстремумов

нет.

Гели

ай > 0

а >

то ушш = 2 / ай

при л = ^

1п — ; если ай >

0 и а <

0, то рмакс =

—2 / а й

при

^ =

2^ 1" ^ .

И 85.

и 4.

1186. 8 и 0.

1187.

2 и

— 10.

1188. 2 и — 12.

1189.

10 и 6. 1190.

1 и 3/5.

1191.

3/5 и — 1.

1192.

Наименьшее

значение равно

(а + й )2,

наибольшего

нет.

1193.

я/2

— л/2.

1194.

Наибольшее

значение

равно 1, наименьшего нет. 1195. Наименьшее значение равно (1/е)1!е, наиболь шего нет. 1196. / 9 и 0 . 1197. я/4 и 0. 1208. 4 и 4. 1209. 1. 1210. 6 ir 6. 1211. 3, 6 и 4 см. 1212. З см . 1213. 1 см. 1214. / 4 о . 1215, Радиус основания и высота равны / о/ я . 1216. # = 2 Я . 1217. 20/ 8/ 3 см. 1218. 2я / 2/ Зез293°56'. 1219. Боковая сторона равна Зр/4, основание равно р/2. 1220. Боковая сторона

равна

Зр/5, основание

равно

4р/5.

1221.

2Я /3/3.

1222. 4Я/3.

1223.

^ 2 .

~27П&~-

1224‘

V 2аР/к ■

1225.

20 км/ч,

720

руб.

1226.

Через

1 ^

часа ^

к= 1 час 38 мин.

1227.

Расстояние^ хорды от точки А должно

равняться 3/4

диаметра окружности. 1228. 4/?/5/5

и Я /5/5.

1229.

Высота прямоугольника

У Ш

А - 3/1

Л— расстояние

от центра

хорды, стягивающей

дугу

равна----------- ------------ , где

сегмента,

a R — радиус

круга.

1230.

Радиус

основания

конуса

должен

быть

в полтора

раза

больше

радиуса

цилиндра.

1231. 4/?.

1232. «я 49°.

1233. 60°.

1234.

Я / 3 . 1235. 4 Я/3.

1237.

х/3 + р/6 =

1238.

а / 2

и й / 2 . 1239.

Площадь

прям оугольника

площ адь

элли п са.

1240.

Ч ерез

точку

1241.

с ( — / б ,

— / б ) .

1242.

х = а — р,

если

а > р ;

* = 0 ,

если

а ^ р .

1243.

Сечение

желоба

имеет

форму

полукруга.

1244. Длина

балки

равна

13 g м, сторона поперечного сечения равна 2/2/3 м. 1245. Искомое значение

ОТВЕТЫ

309

равно среднему арифметическому результатов измерений:

1246, В 3 км от лагеря. 1247. На высоте R \ r 2/2. 1248. Расстояние от источ-

ннка

силы

1 V Л

иными словами,

расстояние

делится пско-

l t равно

- ..- — j-тгтг;

V 11 + У 12 _

_____

мой точкой

Р. отношении

У '[х : у г 12.

1249. 2,4 м.

1250. F пм* =

к Р /V \+

к-

при

<р =

arctgк.

1251. ®к4,5.

1252. 26 +

/ .S 6/a и 2 a + V S a /b .

1253*.

где

L — образующая

конуса.

Принять во внимание, что разность

между рас

стоянием от центра шара до вершины конуса

и радиусом шара равна разности

между

высотой

конуса

и высотой погруженного

сегмента.

1254. /?/4. 1255. R/2.

1256.

Р (р,

± р У 2).

1263*. 3/4.

Так как функция есть константа

(у' = 0), то

значение этой

константы

равно

значению данной функции при любом значе

нии х,

например

при

л := 0 .

1264.

л.

1265.

1267.

1/макс= 4а7 2 7

при

х = а / 3,

!/миа= 0

при х =

а.

1268. умакс= а 4/16

при

х = а / 2 , у„,1Н= 0

при

* = 0

и при

х = а .

1209.

у„акс =

—2а

при

х =

~ а ,

у тт =

2а

при

х = а .

1270. умакс =

5/4

при

.1 = 3/4.

1271.

yulKC = i

при

х = 1 ,

у ш,и=

— 1

при

X— — 1.

1272. £/„„„= 1

при

х = 0 .

1273.

ум,кс =

4/с2

при

х = 2 ,

ут н= 0

при х = 0 .

1274. </мк„ = е

при

х = е.

1275.

Умякс = V в

при

х —е.

1276.

П ри

а =

м аксим ум .

1277. а = — 2/3,

Ь = — 1/6.

1278.

В ы п у к л а

окрестности

точки

(1,

11),

вогн у та

окрестности

точки

(3,

3).

1279.

В ы п у к л а

окрестности

точки

(1, п/4),

вогнута

в окр естно

сти

точки

(— 1,

— лт/4).

1280.

В ы п у кл а

окрестности

точки

(1/е2,

— 2/е4),

во

гнута D окрестности точки (1, 0),

1287. Т очка

перегиба

(5/3, — 250/27).

И нтер

валы : вы пуклости — ( — 00, 5/3), вогнутости — (5/3, + о а ) .

1288 . Т очек перегиба

нет,

график

вогнуты й .

1289.

Точки

перегиба

(2,

62)

(4,

2 0 6 ).

И нтервалы :

вогнутости — (— со, 2 ), вы п у к л о сти — (2,

4 ),

вогнутости — (4,

- f o o ) .

1290 . Точки

перегиба

( — 3 ,2 9 4 )

(2,

114).

И н тервалы :

вы п уклости — (— GO, — 3 ), вогнуто

с т и — (— 3 , 2 ) , вы п у к л о сти — (2 ,

+ о э ) .

1291. Т о ч к а

перегиба (1, — 1). И нтервалы :

вы пуклости — (— оо, 1),

вогнутости — (1, + о о ) .

1292 . Т очек перегиба нет,

график

вогнуты й .

1293.

Т очки

перегиба

( — За,

— 9а/4),

(0,

0 ),

(З а,

9а/4).

И нтервалы :

вогнутости — ( — со ,

— З а),

вы п уклости — ( — З а, О),

вогнутости — (0, За), вы п укло -

сти — (З а,

GO).

1294. Т оч ка

перегиба

(Ь,а). И н тервалы : вы п уклости — (— с о , б ),

вогнутости — (Ь,

-|-ос). 1295. Точка перегиба ^aresin

. е^

5 — l^ 2j . Интер.

валы: вогнутости —

arcsin

выпуклости — ^arcsin —

, y j •

1296. Точки перегиба ( i l ,

1п2). Интервалы: выпуклости — (— OD, — 1), вогнуто

сти— (— 1,

1), выпуклости— (1 ,+ с о ) .

1297. Точка перегиба [а ел/г,

Ин

тервалы: выпуклости — (0, ав3/г), вогнутости — (ае3/2, + оо). 1298. Точек перегиба

нет, график вогнутый. 1299. Точка перегиба (1/2, earct®

Интервалы: вогнуто

сти— (— со,

1/2),

выпуклости — (1/2, +сх>).

1300.

Точка

перегиба

( 1 ,

— 71.

Интервалы: выпуклости — (0,

1), вогнутости — (1, + о о ).

1305. а =

— 3/2, 6=9/2.

1306. а = — 20/3,

0 = 4 / 3 .

Точками

перегиба

будут также точки (— 2;

— 2,5)

и (0 ,0 ).

1307.

При a s c — е/6 и при а > 0 .

1316. Точки перегиба (1 ,4 )

и (1 .— 4).

1317. Точки

перегиба при

/ = 3 я / 4 ± 6 я

(6 =

2 , ...).

1318.

sin 6 — sin a

i n a!

■=icos|,

г д е [ а < £ < 6,

1319. eb -\-ea = 2 e * ,

где

a <

£ <

1324.

—

У a

1325. 0.

1326. 1.

1327. a/0.

1328.

1/3,

1329.

a l] r b.

1330. — 1/2.

1331,

310

ОТВЕТЫ

1332.

— а т~п.

1333. ----- — .

1334.

— 2 .

1 3 3 5 .2 .

1336.

“ .

1337.

cos а.

1338.

1339.

1340.

1341.

1/128. 1342. 16. 1343. 1. 1344.

1345.

— 2

1346.

0. 1347. 0. 1348. а. 1349.

1/2.

1350.

4сР/п.

1351.

— 1.

1352.

1353.

оо.

1354.

д + ^ + £

1355. 1 . 1356. оо.

1357. 1.

1358.

1359.

е.

1360.

1361.

е2.

1362.

е1*.

1363.

1364.

1/2.

1366.

Значения

Xх больше,

чем

значения

а хха .

1367.

Значения

/(*)

больше,

чем

значения

1п/(лс).

1374.

/ (115) яа 1 520 990;

/(120)

1 728 120;

б Ix.ioo

0,03 (абсолютная погрешность).

1375.

у = ±_ — х.

1376.

лс=0,

0 =

1377.

у = 0.

1378. х = Ь , у = с .

1379.

* =

— 1,

ry= ^ x - 1.

1380.

х + у = 0.

1381. у = х + 2.

1382.

1383.

* = 0 ,

у = 0,

х + у =

1384.

х = Ь ,

* = 2 Ь,

у = х + 3 ф — а).

1385.

0 + 1 =

2* +

0 +

1 = О .

1386. х =

= -1/ е,

д = х + 1 / е .

1387.

х = 0 ,

у =

х. 1388. х =

у = х

1389.

у = ~ - х

1390.

у = 2 х

я/2.

1391.

д = х ,

если/(дс)

не

есть

тождественная

постоянная"

1392.

Если

lim ф (/) = оо,

lim

ф (< )= 5,

то

у = Ь — асимптота;

если

lim

ф(/) = оо,

x = а — асимптота.

1393.

x = — 1,

0 =

lim ф(() = а,

то

1 - * Ь

/-./о

1394. у =

х + е .

1395.

0 =

± - 1

х - - 1 . 1396.

х + 0 + а =

О.

1397.

х = 2,

2х +

+ 8{/ + 1 = 0,

бдс— 40«/+ 9 =

1398.

Определена

везде.

График

симметричен

относительно начала

координат.

0 иакс= [/2

при х =

1 ,

умт= — 1/2

при ж = — 1 .

Точки

перегиба

графика

(— / 3 ,

— /3/4),

(0 ,0 ) и (р "з, У Ъ Ц ).

Асимптота

(/=0.

1399. Определена

везде,

кроме значений д с = ± 1 .

График

симметричен

относительно оси ординат. Максимумов нет. £/МИ11=

1 при * = 0.

Точек

пере

гиба

нет. Асимптоты

х = ±

у = 0.

1400.

Определена

везде,

кроме

значений

# = ± 1 .

График

симметричен

относительно

начала

координат.

Экстремумов

нет. Точка

перегиба

(0,

0). Асимптоты х = — 1,

х = 1 ,

0 =

1401.

Определена

везде,

кроме,

значений

х =

* = 2 и *

= 3,

j W c = — 2,60

при

*гы 2 ,5 8 ,

ушш*& 2,60

при

* « 5 1,42.

Точек

перегиба

нет. Асимптоты дс= 1,

х = 2, * =

У = 0.

1402. Не

определена

при х = - ± 1.

График

симметричен

относительно

оси

ординат.

0макс= О

при лс=0.

Минимумов нет.

П р и л с с — 1

возрастает,

при

х >

убывает.

График

не

имеет точек

перегиба.

Асимптоты

к = ±

У = 1.

1403. Определена везде, график симметричен относительно оси ординат.

У *т =

— 1 ПРИ дс =

(1, 0)

н (— 1, 0 )— точки

перегиба

графика с горизонталь

ной касательной; (±1^ 5/ 5, — 64/125)— точки перегиба. Асимптот нет. 1404. Оп

ределена

везде;

график

симметричен

относительно

оси

ординат. 0 макс = 0 при

* = 0, Унт = — 27/8

при

х = ± 1/2. Точки перегиба

графика с горизонтальной

касательной

( ±

0).

При х<=& + 0,7

и д:«ы ^;0,26 — еще четыре точки пере

гиба

графика.

Асимптот нет.

1405.

Определена

везде,

кроме х = 0. умин = 3

при

х =

1/2. Максимумов

нет. Точка перегиба графика {— У 2/2, 0). Асимптота

х = 0 . 1406.

Определена

везде, .кроме х = 0. График симметричен относительно

оси

ординат, у мин =

при х = ± 1.

Максимумов нет.

График не имеет точек

перегиба

Асимптота

х = 0.

1407.

Определена

везде,

кроме х = 1. унт = — 1

при дс = 0. Максимумов нет. Точка перегиба графика (— 1/2, — 8 /9 ). Асимптоты

к = 1	и у = 0.	1408. Определена везде, кроме * = ±	^ 3 .График симметричен
относительно начала координат. уткс = — 4,5 при х =			3, 0ШШ= 4,5 при* = — 3.
Точка	перегиба	графика (0, 0). Асимптоты * = ± > ^ 3	и *з+ 0 = 0. 1409. Опре-

делена везде, кроме х = — 1. Минимумов нет. (/макс = — 3 — при * = — 3. Точка

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб32Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб37Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб11Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб50Сборник задач по подземной гидравлике..pdf