Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3936 37 38 39 > Следующая >>>

ОТВЕТЫ

851

3192.

3193.

3195.

3197.

3198.

3209.

	___ ху3			&г	х3у	&2
дх2	" /(1 -х*узу			ду* V ( \ - x * y t y		' д х д у	'V O - x W ‘
	(х - г ) у			3194. ‘2уа ( 2 + Ху3) е хУг			'V O - x W ‘
Vr( x * + y 2+ Z 2- 2 x z )3				3194. ‘2уа ( 2 + Ху3) е хУг
Vr( x * + y 2+ Z 2- 2 x z )3				л .
4 х (3 у * - х * )		o ta c		л .
--( ^ + У 2)з~		3196-	— * (2 sm х у + *i/ cos ху),
(x2y W + 3 x y z + l)e * y Z '
тп(п —1 ) (п—2)р(р —1 ) jcm-i(/«-3zP-a,						3 2 9 4 ____о
( Р у ____ дх				d ftf	,
( Р у ____ дх				'д х д у д х д у
=4-	=
сlx3	-
				( I )'				в/	в/
							0	в/	в/
							0	0я	ву
							д ±	0я	ву
							д ±	0V
						■ ( f ) ’ дх		дх20Ха	дхду
							д]_	JP[_

3219.

3221.

3222.

3224.

3225.

3220.

3227.

~ 2У W +		4 ( У - * ) d x d y + 2 x dy\					3220.	_ ( d x - d J u x - y P			* *
(3 x * - y * )d x * + 8 x y d x d y + (3 y * - x * )d u *									Щ	У ]‘
		(x ? + y 2)3						•
2 jn 2 y d x d y + 2xc<x2ydyK						3223. ex y [ ( y d x + x d ) i + 2 d x d ]
2 ( z d x d y + y d x d z + x d y d z ) .						dx +	dy)3;			1
—	c o s (2x +	y) ( 2 dx + dy)3- (2				dx +	dy)3;	0
— sin (x+y+z) (dx+dy+dzf.
—	[7i !	+ ii\	*L2	,	?>£ dx d u 4- ( У1 ^				* \ dy*l
	г® LUa	<?/	aa	+	aafca	*	y + l'P '+		'^ )'P '\| -

3228.

3229.

d~y

3232. Л-i

3237.

3239.

3240.

_	2z [xy3 d jfl+ ( x 3y 3- f 2xyz3 — г4) dx d y x ? u							di/Ц
			(z2 — *t/)3				cfitj	:	•
— 31.5 rfjc2+206 d x d y — 306 dy3.						3230	cfitj		3231
							- f i i + y .		3231
+	ag .	3233. (/—Jt*. 3234.		—		------		u "+ 2y
+	ag .	3233. (/—Jt*. 3234.		—		3235.			v3-
2p'2 — pp" + P2				x'V					v3-
2p'2 — pp" + P2			3238. —	dz
	(P'2+ P 2)3/2		3238. —	~dv
dzu			du
ф а T		p2 dqp2 T	p W
ш"(Р )+ -^ ш '(р )+ Й 0 )(р ).				324,‘	~ 4 ^		+	2-

y"— b y '+ 9

3236. dp = P .

		К главе XI
3242.	x<>+2y—xy+h(3x-y) + k(6y3—x)+3xffi-hk+6yk3+h3+2lfl.
3243.	Д г=15А 2-6 А й +	А2+ А 3.
3244.	Дг = —2h+7k—4h+4hk+2k—2h3—h3k+
	+ T Afta+ T	fe3 _ / l% + T № + T № : / 0 ,0 2 ; 2,03) «*=2.1726.

8245. Aics-t-Boa+Cza+r>*0+£yz+/:'z*+

+C2Ax+Dy+Ft) h+(2By+Dx+Ez) k+ (2Cz+Ey+Fx) /+

+Afp+ Bka+ CP-fDhk+Ehl+ Fbl.

352 ОТВЕТЫ

« " • « ? + 4 ( ' - т ) + т ( ' - т ) -

-т[С—

— -У

J^cos I

соз 11 и

—

j3+ з sinl

cos Ц^ —^ j 2 (</ — ^ ) +

-f 3cosgsinii^ — ~ J ( y

—

j 2 + sin | cos n (if —- j) ]•

3247.

a = l

( j t - l )

( * - l ) f t i - l ) + - ~

- ( * - l ) * ( i i - l )

+ ...;

яз 1.1021.

3248.

e-f j^sin у

-f h sin у -j- k

cosу

У (Ifi sin y +

2 h k cos y — k 1 sin y) +•

+ -^- (/г1 sin ij-j-3/t“kcosy — Zhk2 sin y — k3cos (/)J+...;

Z], ~

1,1051.

3249 .

y + xy i-

У x-y

3250.

у +

(2л-у-

(Зх'-г/-

3*y* +

2t/) + ...

3251.

l + ( *

x - y

3252*.

(л?

‘-

(j£ i-^ ) _ ...

‘

Зам ети ть,

что

a r c f g - p - j- ^

arctgA ' — arctgf/ .

\ / CO

со

« « •

2 ?

2 2 ' " ' "

^ = i

\n = 1

n= 1 m=1

» я . У

325S.

,C12f!+I

ftsl

«=0

m=0

/I =sj

m = 0 n = 0

l(2n)l*

3257.

г= 1 -* -(* -1 ) +

fef—1)—-g-<r—l)(ar—i) + ^ ( t f - l ) s+-

6 4 '

3259.

(0,

0), (—5/3,

0),

(— 1,

2), (— 1,

- 2 ) .

3260.

(1/2, — 1).

3261.

(0, 0),

(0, a), (a, 0), (а/3,

a /3).

3262.

(0,

0) (0, 26),

(a, b),

(2a,

0),

(2a, 26).

3263.

(л/G,-

Я/6).

3264.

(b/a. c/a).

3285.

(—2/3,

— 2/3).

3266.

(2,

1, 7).

3267.

(6,

10).

3268.

А и C — максимумы,

В— минимум;

окрестности

поверхность

имеет

вид

седла,

вдоль

E F

функция

сохраняет постоянное значение. 3269. (—2, 0),

(16/7, 0),

каждая

точка

будет

стационарной

для

одной

из

ветвей функции.

3270.

(1,

1),

(— 1,

— 1).

3271*. (0,

0).

Чтобы

убедиться,

что

найденная

точка

есть

точка

максимума,

достаточно представить

функцию в

виде

z = 1 0 —

— (.г— y f — 2 * 2_ у?,

3272.

(21

—2). 3273.

(— 1,

1).

3277.

точке (6,

4 ) — мак

симум.

3278.

точке

(0,

нет экстремума.

точке (1,

1) — минимум.

3279. Наибольшие и наименьшие значения лежат

на границе области;

наи

большее

значение

г = 4 в точках

(2, 0) и (— 2 ,

0 );

наименьшее

значениег= — 4

в точках

(0,

—2).

Стационарная

точка

(0,

не дает

экстремума.

3280.

Наибольшее значение г = 1 7

точке

(1, 2); наименьшее значение г = — 3

в точке (1, 0); стационарная

точка (—4, 6) лежит вне заданной области.

3281.

Наибольшее

значение

г =

стационарной

точке

(2»

(эта

точка

ОТВЕТЫ

333

является,

таким

образом,

точкой максимума). Наименьшее

значение г =

—64

точке

(4,

2) — на

границе.

3282.

Наименьшее

значение

функции

z = 0

в точке (0,

0).

Наибольшее значение

г=3/в в точках

(0,

I).

3283-

гнаиб =

= 31/3/2 в точке (л/3, я/3) (максимум),

гиаим= 0

в точке

(0,

(на

границе).

3284. Все слагаемые

равны между собой.

3285.

Все

множители

равны между

собой,

3286.

(8/5,

16/5).

3287.

^ 4 - |

+ i =

3288.

р =

Е й

3289.

(3,

/ 3 9 ,

0);

(3,

- / 3 9 ,

0 ).

3290.

Куб.

3291- В

точке

(I, 1)

минимум,

z = 2.

3292. (о,

а) или

(— а,

— а),

г = а -

(максимум),

(о,

— о)

или

(— а, а),

г =

— аа (минимум), 3293. (— а / 2 , — a / 2 ) ,

z = — /Q /а (минимум),

(о / 2 ,

о / 2),

z = /2/а

(максимум).

3294.

Стационарные

точки

х =

— у

A r c t g ,

< / = i- A r c tg y .

3295.

(3, 3,

3),

ц = 9

(минимум).

3296.

Две

из переменных равны каждая 2, третья равна 1 (минимум,

равный

4);

две из

переменных

равны

каждая 4/3,

третья равна

7/3 (максимум,

равный

112/27).

3297*, Исследовать на минимум функцию

П рИ

Х \ - f - Х-у

...+ л гя в Л ,

Вообще справедливо соотношение

если

k >

1 и

* 2 * 0 .

аЬс

Ьс

ас

3299.

«„„„==■

при

х = -

b c + a c + a b ’

йЬ

b c + c a + ab

“ к" Л

bc-\-ca + ab '

« -

'бс +

дс +

аб

330°-

“н*»« =

1’

“< ш ш = -1/ 2.

3301.

(21/13,

63/26).

3302.

(3, - 1 , 1). 3303. а) (—2,

0, 0);

б)

(2,

0).

3304.

Куб.

3305.

Куб.

ИаЬс

(? — радиус

основания палатки,

Я — высота цилинл-

3306. ———г*. 3307. Если

3 / 3

рическон части, Л—высота конической верхушки, то должны иметь место

следующие соотношения:

(? = й / 5 / 2 ,

Я = /г/2.

3308. Если

I — боковая сторона

трапеции,

6 — основание

о — угол

наклона

боковой

стороны,

то

должны

иметь

место следующие соотношения: ( =

6 = 2 / А / / ^ ,

а = л / 3 ,

где

А — дан

ная площадь

сечения.

При

этом

омываемая

поверхность

и = 2 >/3 •/ А

«s 2,6 3 2 / А .

3309. Куб. 3310, Стороны основания равны

каждая 2 а + / 2 а ,

высота

вдвое

меньше:

/ 2 о .

3311.

а? (куб).

3312.

Наименьшая

площадь

равна

3 / 3 аЬ.

3313.

(4/ / 5,

3//S) и (— 4//5,

—3/ / 5).

3314.

(—5/9, — 1/9),

3315.

(3,

5). 3316,

гиа„ й = 2 .

3317. Стороны треугольника

/ 2 S ,

/ 2 S

и 2 / S .

3318.

Высота

Я/3, стороны основания 2а /2/3

и 26/ 2/ 3,

объем

К =

8о6Я/27.

3319.

Тетраэдр.

3320.

Нормаль к эллипсу в искомой точке должна быть пер

пендикулярна

к линии,

соединяющей

данные точки. 3321.

Нормаль

провести

в точке с координатами. ( : t

а / а / (а + 6),

± 6 / б / (а + 6)).

3322.

(9,

1/8, 3/8);

( - 9 .

-1 / 8 ,

-3 / 8 ).

3323.

2 / 2 .

3324.

.v + </=2;

у = х .

3325.

х - у + а =

* + р - З а = 0 .

3326.

х +

2 р - 1 = 0 ;

2 х - ( / - 2 =

3327.

х - у +

2 = 0 :

х + и —

— 2 =

3328.

(0,

0).

3329.

(0, 0).

3330. (0, 0). 3331. (а,

0). 3332. (0, о).

(0.

- в ) ,

(а,

0),

( - о

, 0).

3333. (2, 0),

( - 2 . 0).

3334. (0,

3),

( - 3 ,

0),

( - 6,

3).

3335.

(0,

0 ) — двойная точка.

3336. (0, 0 )— изолированная точка.

3337.

( 0 ,0 ) —

Г. Н. Берман

354

ОТВЕТЫ

точка

прекращения.

3338. kn,

k — 0, 1, 2,

точки возврата.

3339.

(а, 0) —■

точка возврата. 3340. (0, 0).

3341. дс= — /' (а), у = [ (a) — a f

(а);

у = х arcsin х +

-h V 1 — * 2-

3342.

16у-!+27лг4=

3343.

<у2 = 4ах.

3344.

t/= дг/2

и </=— х/2.

3345. у = — х«/4.

3346. у =

16у = х * .

3347.

у = х

и у =

- 4/27. Первая —

геометрическое

место особых

точек, вторая — огибающая.

3348.

х- -f

У2= 0

з у з

и х * --------— у3=

3349. x2/3+

j/2/3= d 2/3.

3350. Четыре

прямые х ±

г/ = ± R .

3 ^ 3

3351.

26(/ (х2+ г/2) +

а- = 0.

3352.

Парабола

Y x + V У = V а .

3353. Циклоида

х —

(/ — sin /), у =

(1 — cos t).

3354. Эллине

х2 +

-^- =

R'.

3355.

Гипер

бола

ху =

■.

3357. Эволюта

параболы

у1=

(х — р)3.

3359.

Гиперболы

*у = 1/ 2 и X I / - -

1/2. 3361.

2 r ~ L = 2 \ r \ t - L

d r \2

d'r

1 + r 7Ttг ! в) г ><

X	d"-r	.	!	- d r	d'r \
X	dt2	r)	(г	-н	) .
	dt2			dt	dt3
	da	,	dr		I da
~ dt		r ~^~а	~Ж		\ d f

„„„„	Из	dr	...	d2r
3362.	Из	равенства - — = a ( i) r следует		=
				dt4
,* W	P (/) г	и т. д. 3363. Дифференцируя равенство

r 2= const (см. задачу	3361), получаем	dr	Касательная к	сферической
		r - ^ - = 0 .
линии (т. е. к линии,	расположенной	на сфере)	перпендикулярна к радиусу
сферы, проведенному	в точку касания.	Обратная	теорема также	имеет место.

3368. -4— =

-г"- ф';

dx-

=: -J -J ф'2+ у,Г- ф";

du т

du2 т

d3r

„

, 0

d -r

+ 3 du2* ^

(Р + Ж (*)

•

3370. Из

равенства

где t, < v <

t 2,

следует,

что на

замкну

той

(в

силу

равенства

r(/i) =

r ( t 2))

линии

найдется

точка,

в которой

каса

тельная

перпендикулярна

любому

наперед

заданному

направлению.

3371Годограф скорости v

(a cos l,

a sin t, 26/} — винтовая линия;

годограф

ускорения а» { — a sin /, a cost,

26} — окружность.

3372. Скалярное умножение

на а

и на г

дает а

—f

~ =

Отсюда

or = const — уравнение

пло

скости

ти

пло

и r2 = const— уравнение шара. Искомая траектория— окружность,

скость

которой

перпендикулярна

вектору

а .

3374.

Эллипс.

Скорость

будет

максимальной в момент, когда материальная точка будет в конце малой полу

оси, и минимальной,			когда точка будет в конце большой					полуоси.		Ускорение
будет максимальным			(минимальным)		в момент, когда		скорость			будет мини-
						dp		р	dm	.	dfl
малыши (максимальной). 3375. Компоненты скорости									;	р sin ср	.
У казание.	Найти	скалярные		произведения		е р;	е^\	~	ев-
	(*		/3	г»		I*		t*
3376.				2					1*
	/2	_	1	у----- ;	/2* + <y+z=-^- +			-g-	+ -jj-.
					г-fe/S .
3377.	х-д/2/2		y -a/2/2
	— а У	2	~	а \ / 2	Л/л	*

~ х + у + 1 £ 7 $ г ~ ш у ъ '

ОТВЕТЫ

333

3378.

к — б а ~ У ~ 18а _

г — 72а

;

Jf-)-6(/ +

36z=2706o.

3379.

—

g /g + j, _

у ~

1 _

2Y ' l

* - 1

/ 2

; х + у + У 2 г= £ f 4.

3380.

У - 3

г - 4

12дг—4v + 3z— 12 = 0.

3381.

± ±

У ~

г -

2 7 * -f2 8 (/+ 4 z+ 2 = 0.

= - 4- ;

3382.

==У^-Ж _

г —гр .

* + у

М> + *о’ *о+(/„ +

33831

■

^ —^2. =

_L~zo . * - * o .

г —zo

n .

■'Л К

/2,

*w - * м ’ — + - й—

—

— L =

i _ J . = ,

1/2, e*/G|_

3385> 6jf —8

— z -b 3 = 0;

iz J L . _ £ и 1 _ У - 1

г _ .

“ 8

- 1 '

~ 2 6 - - ^ 2 2 - .

3386.

У~Ь (x ~ x 0) ~ Y a

(у - у л =

У~Уо

= г~

г" .

* — *>,

У^-Ut,

z — Zo

\'h

— If a

Y 2<KQ

V 2te„

— (a +

•

3287.

--X —e y ~ / 2 z + 2 =

(/ — \/e_

z —/ 2 .

* — e

У— 1/e

z — / 2

1,,e

Y 2 sh 1 •

3389.

x — 1

— 1

~ з ~ :

2х - у

X— 1

y_ _

z — 1

“

— 1

3 it+ 3 y - z — 2 = 0 ;;

г — 1

— 11

—9

’

3390.

i-= :

. V — 1

z — 1

* — !/ =

x — 1 _

v — 1

г - 1

- !

;

"О • х + у ~ 2 = 0.

3391.

c—Y 2/2

у— Y 2<2

z —■1

Y 2

— У2

; Y 2 x — 2 y + 4z = 4;

* - K 2 / 2

_ (/ — 1/2/2

z — 1

3 / 2

“ 1 ; / 2 * + 3 / 2 < / + z - 5 = 0 ,

Х - У 2 / 2

у - / 2 / 2

z— 1

—3

—4 / 2 ; — 13* + 3i/ + 4 / 2 z + / 2 = 0.

3392.

дс+ l

y — 13

2х+3«/+бг =

37;

^ Ц у 1 1 == _ £ _ .

6* + 2y —3z=20;

£ +

i ^

| .

3x—6tf + 2*----- 81.

3393. Для

любой

точки

линии

уравнение

соприкасающейся

плоскости

Зле — 2 у — 1 1 = 0 , т. е. линия целиком

лежит

этой

плоскости.

3394.

Соприкасающаяся

плоскость

одна

га

же для всех

точек

линии.

Ее уравнение

fli

Лд

fla

6 1

ь,

6 3

12*

356

ОТВЕТЫ

3395.

ch2 tl&b t

3396.

7? =

}/2 cosec2f.

3398.

3399 _

Г*

f- v r -

<r'

X T '

(1 + !/ 2 + z'2)s

p l = /

x r ‘ f

V i =

X r")

3400. t ^ v i X p i ;

v1 = p1 x t 1; Pi = t 1 x v I .

I f j •I r'

x r "

3401.

Искомый

вектор от (если

он существует)

можно представить

виде

( 0)V1) V! + ( w P i ) P i .

( 1)

Из условия задачи

следует (принимая во внимание формулы Френе), что

(2)

Умножая

эти

равенства

скалярно

на

vj,

Pi,

соответственно, найдем,

что

мулы

\WVl^T?’, 0>'*1 = *

и' слеД°взтельно, 0) = 7’t 1 + fep1. Подстановка

фор

(2)

показывает,

что

этот

вектор

удовлетворяет

условию

задачи.

3402.

99 +

In 10 =» 101,43.

3403. a In (l -\~У2) — a In tg

. 3404. У 3 ( е ‘ _1).

3405. 5. 3406. 4a. 3407.

— л. T

3410. 8* — 8 y — 2 = 4;

г У З .	3408.	a In	V ^ + V *	, 3409. £ ( i		+	1 ln 3 \
„	у — 1		/ 2a - ] / *	2	\		2
— 2	у — 1	z—4		x-\-y — 2 — 1	= 0 ;		- ^ i =
	- 8	_	. 3411.	x-\-y — 2 — 1	= 0 ;		- ^ i =
	- 8	- 1

__]

•

3412.

2 + a = 0,

x =

a, y = a .

3413. 1 7 *+

11г/ + 5г =

60;

П Г = -T T

i T ^ -

34,4‘ * - » + 2 г - -J =0;

у — 1

2 — Л/2

7 + 1 + 7 - ^

СК

• ( * - Ч г ) - * ( » - Ц г Ь ( - Ф ) .

3417.

3* — 2</ — 2 г + 1 = 0 ;

* — 1

. У -1

2— 1

—2

- 2

•

3418.

2*+</ +

11г— 2 5 = 0;

* - 1

У-1

г - 2

3419.

5 * + 4 y + z — 28 =

* —2

У-

2 - 6

3421.

* -у+2 г = ] / Г у

х - у

2 г = ~

у Г J .

3422.

* +

i/ +

z = / a 2 +

b2+ c 2.

3424. Все плоскости проходят через начало координат.

3425.

То* + У а У 4- ZoZ= a2;

— —

*.vn

Х о

У о

Ь(у— Уй) _

г~ го ^

3426.

f l _ 2 f c + a ) ;

а (/о

—ЧаЬ *

3428.

а 2.

3430. 2 * + + — г = 2 .

3434. 4 * — 2( / - З г = 3.

3435. Параллельна плоскости хОу в точках

(0,

3) и

(0, 3, - 7 ) ; парал

лельна плоскости уОг в точках

(5,

—2) и (—5,

—2);

параллельна

пло

скости хОг в точках (0, —2, —2) и (0, 8, —2).

3436. а)

6«0t)o*— 3(u0+«o)!/+2z+(uo+O o)(«o—4«вОо+^о)=0;

б)

3 (*о— Уо) х — 3*о ($/+(ft)+

2г +

4zo= 0 .

3437.

2г (*2 +

if- +

г2) +

р (*2 + уа)= 0 . 3438.

(*а+(/2+ г 2)3= 27а3*(/г.

3439.

{—2, 1};

2) {Ю х у -3 у \

5*2 -9*</2+ 4 / } .

ОТВЕТЫ

357

3440.

1)62 + 4/;

(2l+j)-,

3441.

tg ф ==» 0,342, ф =»18052';

tg (p as4,87,

ф га78а2 4 '.

3442.

Отрицательная

полуось

у.

3443.

1) c o s a « *0 ,9 9 ,

« = 8°; 2)

cos а

=» — 0,199,

a=%s 101J30'.

3444.

(— 1/3,

3/4),

(7/3,

—3/4);

точки,

лежащие

на

окружности

jfl + y* = 2/3.

3447.

{3A-5//=ZO,

2.с^ 02о,

= —

, где

Г — радиус*

вектор.

4х*- + !/■- +

г2

\г\

3450.

2г;

2 - ^

;

3) 2Г

(г2) г;

a(ftr) +

ft(ar);

я х Ь .

3451.

1) 0;

2) }а2/2; 3)

— / 5 ;

(cosa +

sin a)/2.

3452.

1^2/3.

3453. 1/2.

3455. 1) 5; 2) 98/13.

3455. —22. 3459.

1/r-.

главе XII

3460.

у (а-,

у) d a .

3461. Е =

{\ т (а,

у) da .

'о‘

‘о

3482.

Т =

ш" |

t/2v (•*•'> </)

da.

3483.

Q =

j c

(а,

у) у (а,

у) da.

3464.

М =

$ $ $ v (Л_ у,

г)

3465.

Е =Л

6 (*,

{/,

г) do.

J £l'

3466.

8л (5 — У 2 ) <

/ <

8л (5 +

/ 2 ) .

3467.

36я <

10Этс.

3488.

2 <

/ <

3469.

—8 <

/ <

2/3.

3470.

О <

/ <

64.

3471.

4 < / <

36.

3472. 4 < / < 8 ( 5

— 2 / 2 ) .

3473.

4д < / <

22л.

3474.

О < / < ■ - ! я/*?.

3475. 24 <

/ <

72.

3478.

2 8 л / з < / < 5 2д ^ з .

3477.

3473. (е— I)2.

3479.

л/12.

3480.

3481.

in - — L 2 .

3482.

я — 2

3483.

3484.

— л/16.

<3*+ 4)/3

i + y V

2 —А

3485.

J dx

f ( X'

dlJ'

3486i

\dx

/(A,

</)rfy.

<3*+ 1)/2

‘

V T r:^

\ - x

3487.

\dA

(

f ( x ,y ) d y .

3488.

\dx

f ( x ,y ) d y .

x - l

4 ?

4 —JCJ

3 V 4—xV2

3489.

f (Xi

Лу'

3490i

Г dx

/ (A,

(/) dy.

- *

' j

- 3

у/*

5 *

/(*. !/) ^ -

3492.

jdJC

(

/(*, У) <ty.

“

2.1:

6—X

3493.

^ dx

/ (*,

<,) dy -j. jj f a

f (A, y) dy.

358

ОТВЕТЫ

1/3

х 4-3

2/3

*4 -3

5/3

5 — lx

3494.

С dx

/ (jC,

y ) d y +

\ d x

f ( x , y ) d y +

f ( x , y ) d y .

- 2 /3

1 -2 *

1/3

2/3

2/x

3495.

|j dx

f (x,

y) dy -\-<\dx

(x, y) dy.

*'/2

x/2

9/2

2VAJ.t

3496.

\ dx

f (x,

y) dy +

\ dx

f (x,

y) dy

—2/2'*

— 2 / 2 *

21 —4*

/ ( X,

y) dy.

— 2

/ я —*J

y/J

—2 /2*

y)dy-\-

3497.

/ (*,

— 3

/ y _ * i

VS—i:1

/ 1 4- xI23

$ dx

[ (x,

y) dy+lj dx

I (x,

y) dy.

—2

Y\ + X‘

/ < j_ xa

3498.

y) dy.

3499.

f (*, y) dx.

( dx

Ij/ (AT,

f dy

—- /V"1i —- «a(/

3500.• Ij dy

/4—2//“

f(x ,

y) dx.

3501.

(x,

y) dx.

r — Y r ‘ — tj‘

— У 2

— Y 4 — 2r/*

3502.

р(/|/(л:dy \ (*,. y))dx*+ |dy^

f (x,

y) dx.

у / 2

6 - y

3503.

^dy

f (x, y ) d * :+ jd y

/ (x,

y) dx.

2— 1/

3—2у

3504.

(j dy

f (x,

y) dx;

Ij dy

/ (x,

y) dx;

4— Y l y — y‘

( dy

/ (*,

y) dx.

2//

3/2

(//-f-6)/2

у) dx;

3505.

dy f

/(* , y )d jc + ljd y

/(дс,

y/2

2y— 3

(9—y)/2

1+ / 3 4 - 2.1— *a

/ (*,

y) dx;

/ (x,

y) dy;

<y +

h/2

- l

34- У Г

24- / 21/ - 1/2

(*, y) d* +

f dy

f ( x , y ) d x .

1— Y \ — y 2

2— Y i y — y*

3506. i ) A a3/2;

2) 9; 3) 1/2.

3507. 0.

3508.

33/140.

3509. 9/4 .

3510. —2.

3511.

я/6.

3512.

4/135.

3513. 4.

3514.

3515.

121 .

3516.

2Д/3.

3517. 6.

3518.

y6c(a + 6+ c)/2.

3519.

</48.

3520.

au/110.

3521.

2 e -5 .

3522.

! ( l n

2 - |

j ,

3523.

1/180.

3524,

я2/16— 1/2,

ОННПЫ

359

Qit Я

3525. 1) f d<pf f (P cos ф, p sin ф) p Ф ;

3526.

3527.

л/j			acos<p
2)	^	dip		jj / (p cos <p. p Sin Ф) p dp;
-rt/2				0
n		6sitl<p
3) V	d y		\	/ (p cos <pf	p sin <p) p dp.
0			о
arct(t2		8cosФ
^	dtp		j)	/ (p cos <p,	p sin (p) p dp.
я/t		4 cos <p
arctg -j-		£>si n <p
	dip		jj	/ (p cos Ф* p sin ф) p dp -f.
					я / 2	a c o s ф

3528.

3529.

3530.

	+	^	dtp	f / (p со* <p, p (in ф) p dp.
		.	a	v
		arctg —
я /t	sec®
\ dtp	^ / (p cos q), p sin ф) p dp.

оb

я/2			2
\	dtp		$	/ (p cos ф. p sin ф) p dp.
^		V i sec <ф — я/t)
п/4			a V cos j<p
\	dtp		\|j	f (p cos ф, p sin ф) p dp.

	- n/t					ft
3531.	Щ1			a sin 2ф
3531.	)	<*ф			\	/ (p cos ф. p sin ф) p dp,
	i>			6
3532.	nП			R
3532.	о		d<P \ f		(p cos ф,		p sin ф) p dp.
	о			6
3533.	ягГ’JR sir, ф
3533.	)		^Ф		ji	/ (p cos ф,		p sin ф) p dp.
	n/6				k
				2 sin (
3534.	П		/•						arctf Я
3534.	2		j	f И	p dp.		3535.		\	f (tg ф) dtp.
	Я	0							(f
3536.	Я
3536.	4	[(l+ / ? 2) i n ( 1+/?3) _ ^ 2j.							3537. я (я — 2)/8,		3538. п/?аА,
R;1				4 \
3539. -g	Л ~			з ) .		3540.	ла/6.
	Л ~			з ) .		3540.	ла/6.
3542.									2л	I
3542.	-с			2p cosф. (/= 3p Sin(p; /=					6 jj Ар^/(2рсовф, 3p sinф)p dp.
3543.	x ~ p cos ф,					у — ^		sin ф;
				5		VVsicosacos*<psin<p

' ~ У ^ \ d a	{ /(рсовф, УЗр su^)pdp.
h	5

3G0 ОТВЕТЫ

			я, 2	2	____
3544.	х — ар cos ф,		y=6psiii(p; I — ah	dcpjj	/ (/ 4 — p-) p tip.
			ii	1
3545.	a-b-/8.	3546.	1/[ 'б .
	I Л/.Ч	R

3547.

3548.

3549.

3550.

3551.

(jde	dq>\‘		/ (р cos <p, р sin ср,						г) р dp.
6	я/t	0
Л/2	2 с о т Ф				о-					г) dz.
— лИ	dq,	\	р dp		^	/ (р cos ср,			(> sin ф ,	г) dz.
— лИ		о			(1
Л /2		74'2		R	/ (р cos ф sin 0. р sin ф sin 0,						р cos 0) р2 dp.
\ sin 0 d0		\	dep \		/ (р cos ф sin 0. р sin ф sin 0,						р cos 0) р2 dp.
0		6		и
л / 4	R V c o s 2<р						V RJ — j 1 ;
\	аср				. о	. о _			/ (р cos ф , р \|sin ф , г) dz.
— л/1			о			_	v	_ •Р*
2л	R /3/2				V Л 2 -		р 2
S d 4	J	р dp				^		/ (Р COS ф,		р sin ср,	г) dz
0	0			Я - У / + -				р*
2.T	я/3			R

или

\ dcp

^ sin 6 dO

\ / (p cos cp sin 0,

p sin (p sin 0,

P cos 0) p2 dp +

л/2

2R cos 0

2л

4 -

dq>

sin 0 d6

/ (p cos (p sin 0,

p sin <p sin O,

p cos 0) p2 dp.

я/.ч

3552.

яй/2.

3553. 8 a 2/9.

3554. 4л/+/15.

3555. л/8.

3556.

4д (R 3— rb)j\o.

3557.

2л,/3.

3558.

л I 3 / 1 0 +

1 -

/ 2

- 8

3559.

186

•» .

V 10-

3560.

3561.

aftc/6.

3562.

12.

3563.

1/6.

3561.

^ .

3555.

-4А / б .

3566.

16.

3567.

45.

3568.

У .

3569.

3570.

ar*

^ .

3571.22л .

3572.

I f /+.

3573.

12 1 .

3574.

A ^ r -

3575 .27 .

3576.

3/8.

Ion2

3577.88/105.

3578.

nfcc/3.

3579.

ш/3/4.

2dJ -4- 1N

3581. 3e — 8.

3 5 8 0 .2 ^

--------< p - J .

3582*.

4e — e2 — 1.

Тело

симметрично

относительно

плоскости

у = дс.

3583.

2 (л2 — 35/9).

3584.

1/45. 3585. 16/9.

3586. л/4.

3587.

40л. 3588.

2я.

3589.

5л/?3/2.

3590.

Зда3/2.

3591.

а3

■Л

3592.

а3/24.

3593.

+ .

“

3594. - Ш - \

3595.

л /2/24.

3596. n2fl2/i/16.

3597.

1/2.

3598. 2.

3599.

лай. 3600. аЬ/6. 3601. 16/3. 3602*

. 5ла2/8. Перейти к полярным

координатам.

3603.

Зя/4.

3604.

2а2.

3605. 2/3 .

3606.

1/60.

3607-

1/1260.

3608*.

~2 ^~'

39л

Воспользоваться результатом задачи

3541.

3609.

3610.

7/12.

3611. 3/35.

3612. 4 - (4 -

3 ln 3 ) .

3613*. д/2.

Проекция

тела

на

плоскость

Оху

есть

круг.

3614.

л/8.

Перенести

начало

координат

в точку

(1/2,

1/2, 0).

3615*.

19л/6

и 15л/2.

Перейти

к цилиндрическим

координатам.

3616.

5л/?3/12.

3617. л/96.

3618.

92л /+/75.

3619*. яа3/3.

Перейти

к сфериче

ским

координатам,

3620.

а3/360,

3621.

4яа3/12. 3622. 4ла3/3. 3623.

64яа3/105.

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3936 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб60Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб5Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб39Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб6Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб38Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб12Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб20Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб28Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб54Сборник задач по подземной гидравлике..pdf