книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 3. МЕТОД КРЫЛОВА, г а р м о н и ч е с к и й а н а л и з

281

сдо

4398*.

2

cos пя

(k = 4).

/1-0

.

П К

п sm ~тг

4399*.

2 n-2_

j - cos пх

(k = 5).

Л‘

0

К

Я

Я

2я

5л

К

7я

4я

Зл

5я

11я

6

3

т

Т

6 '

тг

1

Т

о

/хМ

27

32

35

30

26

20

18

22

26

30

32

36

М * )

0,43

0,87

0,64

0,57

0,28

0

—0,30

— 0,64

—0,25

0,04

0,42

0,84

/з W

2,3

3,2

2,1

1,6

- 0 ,4

—0,2

- 0 ,4

0,3

0,7

0,9

1,2

1,6

284

ГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛ*1

операции

второго порядка:

VTn = divgrad ц;

VxVu = rot grad и\ V (V4) =grad div А;

V ( V x 4 ) =

divrot Л; Vx(Vx Л) =

rot rot A.

4426.

Доказать,

что

r-V rn = nrn,

где г —радиус-вектор.

4427.

Доказать

соотношения:

1) rot grad и = 0;

2) div rot А =

0.

4 4 2 8 -

Д о к а з а т ь ,

что

div grad и = д 2и .

дЧ1 .

д 2и

дх2 "г

ду2 "г

дг2 •

ГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

285

отрезка прямой х + г = \, у = 0,

четверти окружности х? + у2= 1,

2= 0 и отрезка

прямой у + 2=

1, х = 0 (рис. 78) по направлению,

указанному

на

чертеже.

Как изменится работа, если дуга ВА

будет заменена

ломаной ВОА или отрезком В А?

П о т е н ц и а л с и л ы п р и т я ж е н и я * )

4438. Дан в плоскости

0|т] однородный стержень АВ длины 21

с линейной

плотностью б,

расположенный на оси О? симметрично

относительно начала координат

(рис. 79).

а)

Найти потенциал и (х, у)

стержня.

б)

Показать,

что

проекции

X и У силы притяжения, дейст­

вующей на точку

Р

массы т с координатами

£ = * , г) = у, равны

m k Ь ( С В

, /4С\

Х = ткЬ \¥а ~ р~в

Y =

у \ Р В "Г Р А ) ’

j

а результирующая

Oflife

сила R по величине равна R = ::-^ -sin -2 (а+ Р ),

где к —постоянная

тяготения (С — проекция точки Р

на ось 0£,

а —угол АРС, Р — угол ВРС).

4440.

Найти потенциал первого витка однородной (плотность б)

винтовой линии x = a c o s i,

y = asin t, z = bt в начале

координат.

4441.

Найти потенциал

однородного

квадрата со

стороной а

(поверхностная плотность 6) в одной из его вершин.

4442. На плоскости Оху распределена масса с плотностью б,

убывающей

с

расстоянием р от начала

координат

по закону

б = [

а.

Найти потенциал в точке (0,

0, h). (Рассмотреть три

случая: А.С 1,

h = 1 и h~> 1.)

4443*. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности

круглого

цилиндра:

ностью б,

в точке,

удаленной

от

центра

шара

на расстояние а.

(Рассмотреть три

случая:

a ^ R ,

а ^ г и r ^ a ^ R . )

Показать,

что если

точка

находится

во

внутренней

полости тела, то сила

притяжения, действующая

на

эту точку,

равна

нулю.

4449.

Найти

потенциал

неоднородного сплошного

шара

ГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

287

4451. Вычислить

поток

и циркуляцию вектора

А(Р) — аг,

где а — постоянный

скаляр,

а г — радиус-вектор точки Р, вдоль

4456. Потенциал поля

скоростей частиц текущей жидкости

равен и(х, у) = х(х2 — 3у2).

Вычислить количество жидкости,

К

главе

I

I .

В се

числа

п

натурального

ряда,

кроме

п = 1

и

я =

2 .

Если

сумма

углов S . а число

сторон

п,

то

5 =

л ( п — 2).

4.

а)

При а =

— 2 ,

* =

1,

х = 6

функция обращ ается в нуль; б) при а < — 2 ,

— 2 <

х <

1,

х > б

ф ункция поло­

ж ительна;

в)

при

1 < х < б

ф ункция

отр иц ательна.

6. г = —

-

7.

S

а-~ Ь -

nh

8. b = Y '2 b ~ cfi. 9,

f ( 0) =

—2; /fl) = —0,5;

/(2) = 0;

/ ( - 2) = 4 ;

tg a .

/ (— 1/2)------- 5 ;

/ (j/ 2 )

=

- 0 , 2 4 2 . . . .

) / (1/2)

=

1;

ф (0)

=

2;

ф

( 1 ) = 0 ,5 ;

Ф ( 2 ) = 0 ;

ф (— 2> =

—4;

ф (4) = 0 ,4 ;

/ (— 1)

не

существует;

ф (— 1)

не

сущ е­

ствует.

10.

/(1) = 0;

/(а) = а3— 1;

/(а + Г ) = я :|+

3аг+

3д;

/ (л— 1) = а3 —

—

З а " - + З а - 2 ; 2 / ( 2 а ) =

1ба3 - 2 .

11.

f ( 0 ) =

l/4;

F (2) =

1;

F (3) =

2 ; F (— 1) =.

=

1/8;

F ( 2 ,5 ) = V 2 ;

F (— 1,5) =

1 / / 1 2 8 ;

ф (0) =

1/4;

ф (2) =

1; ф (— 1) =

1/2;

ф (х) = 2 е_2 при

0

и ф (х ) = 2~-Г_2 при

х < 0 ;

ф (— 1) +

F ( 1 ) = 1.

12. ф ( 0 ) = 0 ;

Ф (1) =

а;

ф ( — 1) = _ 1 /а;

ф (1/а) =

а " - л)/л;

ф ( а ) = а л11;

ф ( —

а) =

-

а

1*“У* .

13. ф (/2) =

(«-)- 1; [ф (t)f =

t*-\-2P-\- 1,

20.

равно тангенсу утла между

секущ ей,

проходящей

через

точки

(а,

/ (я))

и

(Ь,

/ (Ь)),

и

полож ительны м

направлением

оси

Ох.

22 . а)

а1 = 0,

а2 =

2 ;

б) х , =

— 1, а2 =

3.

23 .

а1 =

— 2,

х ^ = 5 ,

а-д= — 1/2.

24. Одним

корнем

всегда

будет х =

а.

25 .

4 и — 2; — 2,

2 , 4,

29‘

а ~ ~

2 ~s|n Q 5' = « — 1.04

(полагая

sin 0,5 = » 0 ,4 8 );

6 = 1 ;

г =

— ^ + 2 й п

или

а =

1

1,04;

b = — 1;

с = 1 + ( 2 1 г - ( - 1 ) л

(6 =

0,

± 1 .

+

2 , . . . ) .

3 0 .

у .

2 sin 0 ,5

I

( * + ! ) * .

31.

</ =

.

32. j T = y V

+

D a -

23 .

(/ =

/ 1

b (IS

sin а )“.

34 .

с ■

sin(l-| -x).

35. 1)

р =

и',

t, _

sjnA..

2)

y — Y v,

t' =

us,

« =

а 4- 1; 3)

</=

lg ц,

4

’ " ~ sin v ’

i’=

2 x + t ;

5) у — 5". ч =

V-, с' = 3 х +

1 . 36.

а) —3/8;

о) U, в) sin 12;

г) — sin 2а C O S 2

2а; д ) а“—За7-{-За5 —2а:,-(-а; е) 0;

Ж) sin (2sin2а).

38.

1) У

=

±

) Т - а*; 2)

(/=

I;

J/A2— а2;

3)

у =

} • '> - * « ;

4)

р =

5)

у =

;

6)

у--

10 COO -1;

7)

// =

|0g2 (а-1

+

7) — log2 (а-2 — 2) - а;

8)

(/ =

log,, 5

= A rcco s j - j —

3 9 * . П усть

A > 0 и </> 0,

тогда

у + у — а —а =

0 ;

у = х (гра­

ф и к — би ссектр и са

первого

координатного

у гл а).

П усть

а > . О

п и

0

тогда

У—У —х — х = 0 ;

а = 0

(граф ик — отриц ательная

полуось

Ои),

П усть а-

<г О н

тогда

у + у - х

+ а =

0 ;

у = 0 (гр а ф и к -о т р и ц а т е л ь н а я

полуось

Оа

П усть а < 0 и у <

0 ,

тогда

у —

* =

0 — тож дество

(граф ик — множ ество

всех внутренних точек

тр етьего

координатного у гл а ).

*

множ ество

290

ОТВЕТЫ

X

1

2

3

4

5

6

У

1

1/2

1/6

1/24

1/120

1/720

41.

п

1

2

3

4

5

6

7

3

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

и

0

1

2

2

3

3

4

4

4

4

5

5

6

6

6

6

7

7

8

8

42.

п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

и

0

0

0

1

0

2

0

2

1

2

0

4

0

2

2

3

0

4

0

4

43. Если

/(х) —масса

отрезка

AM,

то

/(х) =

2х

при

0 <£ x -g 1, / (х) =>

О

при

1 < x s g 3 , /(х) = х + 2

при

3 < х ^ 4 .

Функция

опреде­

= 2 + -~ (JC— 1)

лена

при

0 = g x ^ 4 .

44.

При

0 = S x = s/?

S =

n (2 # — х)2;

при

R ^ x ^ S R

S = nR 2; при

3R ^ x ^ ,4 R

S — 4 ( 6 R x - x 2— 8R2). Вне интервала [0, 4Я] функ­

ция S = /( x )

не

определена,

45.

У= лх (^R2 —

0 < х < 2 R ,

46.

S =

=

Y 4R2-x -\

0 < x < 2 R.

47.

1) x > 0 ;

2) x > - 3 ;

3) x s s | ;

4)

— o o <

< ;x ^ O ;

5)

вся

числовая

ось,

кроме точек

х = ± 1 ;

6)

вся

числовая

ось;

7) не определена только при л:—0,

*=<—1,

х = 1 ;

8) вся числовая

ось, кроме

точек

х = 1

и

х = 2 ;

9)

—ls S X s g l;

10)

— со <

х <

0

и

4 < х <

+ оо;

11) — о о < х= е;1

и

З й й х<

+ оо;

в интервале (1,

3) функция

не определена;

12)

— о о < х < 1

и

2 < х < - | -а о ;

на отрезке [1,

2] функция

не определена;

13) —4 й2ХйД4;

14)

1г£х==дЗ;

15) Osgxs^ 1; 16) — - |= S * s £ —; 17) OisSxsg

=-:

;

18)

— l ^ c x s c l ;

19)

— с о < х < 0 ;

20) не

имеет смысла;

21)

ls £ х--~:4;

22)

2£л <

х <

(2k-\-1) л,

где

1

к — целое

число;

23)

2кя sg х s£ (2k -(-1) л,

где

к — целое число;

24)

0 <

л: <

и

1< х <

ф-оо.

48.

1) —2=sTx<0

и 0 < х < 1 ;

2)

—l< g x * g 3 ;

3) 1 йЗ х <

4;

4)

3 / 2 < х < 2

и 2 < х

<

+ оо; ® ) область опре­

деления состоит

только

из

одной

точки

х =

1;

— 1 <

х <

0

и 1 <

х < 2;

2 <

х < + Ю )

7)

3 —2л <

х <

3 —л

и 3 < хй7?4;

&Г~4 •<:х йз — я и 0 ;g x s£ n ;

9) 2kn < . х <

(2k-\~ 1) л,

где

к — целое число;

10)

4 < х < 5

и 6 < х < + со;

11) нигде не Определена; 12)

—1 <

х

1 и 2 s g x < 3 ;

13)

вся числовая

ось;

14)

4 ййхз=;6; 15) 2 < х < 3 .

49.

1) Да;

2)

тождественны па любом интервале,

не

содержащем

точку

х = 0;

3)

тождественны

на

полуинтервале

[0,

-j-оо);

4) тождественны

на

интервале

(0,

+ о о ) .

50.

1)

Например,

2)

например,

у = —р =

=

;

3)

например, у

ф- —

51.

1)

1 <

< x s g 3 ; 2)

0 s g x < + c o

для

двух

ветвей

и l ? g x < + o o

для двух других

ветвей. 52. — оо < х <

+ о о , 53.

1) < /> 0

при х > 2 ;

у <

0 при х < 2 ;

у = 0 при

х = 2 ;

2) у >

0 при

х < 2

и

х > 3 ;

у <

0

при

2 < х < 3 ;

«/=0

при хх = 2 и