книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

ОТВЕТЫ

361

3624.

л 2а3/6.

3625.

21 fe — / 2 ) л/4. 3626.

14. 3627.

36.

3628.

8л.

3629.

2 У йарР.

3630*. 2лЯ 2. Проектировать

поверхность

на плоскость

Оуг.

3631.

8 )^ 2 ab.

3632.

-— - ( У 8 — 1).

3633.

— - { ( l + Z ? 2)372- ! } .

3634.

~

( / 8 - 1 ) .

3635.

4 л а (а — У а 2— Я 2 ).

3636.

2Я 2 (л — 2).

3637.

2 /?2 ( я + 4 — 4 V^2).

3638.

4

| з У 2 — 'УЗ — ^ ^ - 1п 2 +V^2 In (У "3+ У "2)| .

3639.

2a2/sin 2а .

3640*.

(]^ 3 — / 2 ) «в 3,42 •10е км2.

Перейти

к сферическим

коорди­

натам.

3641. ~16яа2/3.

3642.

8/?2.

3643. aft2/2.

3644.

2/?'*/3.

3645.

л Я2.

3646. 9а3/4 . 3647. Статический

момент

равен

a/i2/6.

3648.

Центр

масс

лежит

на

малой

оси на

расстоянии

4ь

от большой

оси (ft— малая полуось).

3649 .

Е = ^ 1 — 2 j 0 ^ 2 +

l ) ( r i = g

— 1^(2 +

У 2 ).

36"0.

Центр

масс

лежит

па

биссектрисе угла

а

на

расстоянии

4

2

от центра

круга.

R ----------

О

(X

3651.

Центр

«

лежит

на

биссектрисе

угла

а

на

расстоянии

4

2

масс

»

R ---------:------

о

ос —sin сс

от

центра

круга.

3652.

|=3л/16,

т) =

0,

3653.

5л/?4/4.

3654.

2а4/3.

3655.

лой (a2+ ft3)/4.

?656. aft (a2+

ft2)/12.

£657.

ah (a2+

12/t2//48.

3658.

ЗлЯ4/2,

3659.

ah (2H-/7 + a 2l'M).

3662*. Выбрать

систему координат

момент инерции,

3663.

a2ftc/2,

аЬЧ/2

и abc2/2.

3664. лЯ 2Я 2/4.

3665.

лаЬс2/4.

3666.

£=14/15,

г| = 26/15,

£ =

8/3.

3667.

£ =

За/8,

ту = 3&/8,

£=Зг/8.

3668.

5= 6/ 5,

11=12/5,

{= 8 / 5 .

3669.

£=18/7,

1]=15|/б/16,

£=12/7.

3670.

5 = 0 ,

г| =

0,

£ = 5 а ( б / 3 +

5)/83.

3671.

| = 0 ,

iy = 0 , £ = 3R (1 + co s а)/8.

3672.

|=

0,

ii = 0,

£ = 9а/20.

3673.

£= К / 2,

iy=K/2, £ = Я / 2 .

3674. £ = 0 ,

г)= 0,

£ =

(55 +

9/ 3)/ 130.

3675.

М (62+ с2)/3, Л1 (с2 +

а2)/3, М (a2+

ft2)/3 и

М (a2-f-ft2 +

c2)/12.

3676.

7М К2/5.

3677.

Л1 (Ь2+ с 2)/5,

Л1 (с2 + а2)/5,

М (а- + й2)/5,

3678.

Л4(К2/ 4 + Я 2/3)

и Л4 (Я2+ 3/?2)/12.

3679.

|

3680.

1

я/?2Я

(ЗК- +

Я 2).

3681.

1

М (tf2 +

i

Я 2) .

3682.

55

Мс*.

3683.

М (Я2+

т2)/2.

3684.

4а2/3.

3085.

2л/- (/?-/■).

3686.

4yaft2/i.

3687.

2лу (Л2— г2).

3688.

nR^ H- (3 R 2+

2Я 2).

3689*.

r ^

tff“ сс

принять ось конуса, а за начало коор­

— . Если за ось Ог

динат— его вершину, то уравнение

конуса

будет

х2 + У2— z2 tg2 a = 0.

3690.

-| л у R*.

3691.

^ ^

1 8

/ 3 - ^ .

3692*.

| = 0 ,

iy =

0,

£ =

-|/?.

Перейти

к цилиндрическим

координатам.

3693.

59

к

предыдущей

2[§оя Я5. См. указание

ОТВЕТЫ

36S

3758,

1 п - .

3759. In

Ь . 3760.

i

1п |?-+^|.

3761.

I n — .

3762*. | -1пЗ.

Представляя

а

виде

а

2

I а — Ь \

а

4

sin3 х в

разности

синусов

кратных дуг, сводим задачу к пре­

дыдущей

(при

соответствующем

выборе а

и Ь).

3763*. Для

доказательства

можно

использовать

два

метода:

1)

интегрирование

по частям; 2) изменение

порядка

интегрирования

в двойном

интеграле,

получающемся

после подста­

новки

интеграла

вместо

Ф (аг).

3764*. См. указание к задаче 3763. 3765*. Вос­

пользоваться

вторым

методом

решения задачи 3763.

При доказательстве вто-

.

+ 00

рого соотношения необходимо исследовать интеграл

sin а х cos (х sin 6) ём

при |а |>

1

и |а |sg 1.

Для этого

преобразовать выражение,

стоящее в чис-

+^*>

,

лителе,

и учесть, что

^

dx =

^

(интеграл

Дирихле). 3767*. Подставить

чч

______

3782. ^ ? [ ( Ц

- 2 я * ) 3/® - | ] . 3783.

Я 3 / 2.

у {(x| +

l)3/- - ( x f - H ) 3/2}.

3785. бя. 3786. ^

g, ч в

364

ОТВЕТЫ

3787. ^ 2 л а « + ^ р - ^ / а 2+

Ь3.

3788. (1 - е- ') ^ 3 . 3789.

(О,

2а/я,

Ьп/2).

3790.

[(Зя2 - 1 )

(2я2 + 1)3/2 + 1].

3791. / х ~ f у ~ (о ? /2 4 - Л2/3) У 4л2а2-|-Л2,

1г = а ? У 4 л - а * + h-.

3792.

ЗяR3.

3793.

лр2/4. 3794.

11/3.

3795.

R*.

г

У

^

3796. k a ( a +

^

I

n

,

где с = У а ~ ~ Ь \

S =

2ka-

при

а = &.

3797.

98р2/81.

3798.

8R2.

3799.

4R\

3800.

2/m/а.

3801. 8т/ У"2/а.

3803.

2я m l a / b 3,

где

а

и

Ь — полуоси

эллипса.

3804.

2лт//р.

3805.

2ят//?-/(Л2 +

/?2)3/2.

При

/?=Л )/^2 .

3806.

3.

3807.

аЬ/2, 3808.

—56/15.

3840.

In

,

3841. R 2— R t,

3842.10/3,

3843.

0.

3844.

—

3845.

и =i

_ £ * + ^ _ + с _

3846_ и =

(хг _

уг)г +

с .

______

3847.

« =

In ! х + у \ --------------

1-С-

3848.

Ц=Х

* ‘ + У

+ ' +

с

3849.

u =

\n \x - y \

+

- J L -

+

^

- - £

. +

c .

3850.

u = x - c o s y + y 3 c o s x + C .

3851.

и

- у

■Д

+ у + С .

3852.

и =

,Х~ % + С ,

3853.

п = 1,

ц

=

‘

In (* -+ (/ -)+

arctg

“ + С .

3854.

й — Ь — — 1 ,

и —

й г

-С .

3855.

и — 1п \x-\-y-\-z\-\~Cu

3856.

___________х2-т-у*

3857. arctg х у г + С ,

и =

У х * + у 1+ & + С .

3858.

и

2х

С.

3859.

и = Х

~

+ | ? + С .

х — уг -

г

'

2

3860.

ы = е*,/г (х + \ )+ < ? ‘ — ё~г .

3861.

каЬ .

3862.

Зяа2/8.

3863.

бяа2.

3864*. За2/2. Перейти к параметрическому заданию, положив у = ( х .

3865.

1/60.

3866.

1/210.

3867*. 2а4. Положить y = x i g t ,

3868*.

1/30.

Положить

y = x t \

3869.

F R . 3870.

1) 4/3;

2)

17/12;

3)

3/2

н

1,

3871. а)

(а3 — Ь-)/2;

б) 0 . 3872. 0 .

3873,

A

j £ ^ i * l + £ l I n 2.

где

ft— коэффициент

пропорциональности.

3874.

0,5ft In 2,

где

ft— коэффициент

пропорциональности.

3876.

4 ^ 6 1 .

3877.

V"3/120.

3878.

я Я 3/4.

3879.

0.

3880.

ЯR3.

3881.

2n R */l5 .

3882.

2л arctg ~ .

3883

2lt^

Г

* ________^------- 1

при п ^ 6 2 :

— —

1п

C -R

при

ЗШ*7(^2)I(с-Я)»-*

(с+й)Н

р

«

п = 2.

_______ „

Ч8Я4

тт Г/? l/ flT X T -L ln ( P - L Y R * 4 - l) l.

3885*.

n-R 3.

Воспользоваться

сферическими

координатами.

3886.

8лЯ*/3.

'2я/?7/Ю5.

3889.

in a bc/3 ,

3890. 0 .

3801. 1/8,

3892.

R*H (2R/3 + nH/&),

3893.

я/8.

363

ОТВЕТЫ

— 2 a r c t g JL il

4027.

х - 2 у + 1 п | * + У | = С -

4028.

e

*

3

= C { y + 2).

4029.

у«= л г+(дг+1)1п -^ -у . 4030.

i / e ~ u'/K = C.

4031.

y =

— tg In j Слг |.

4032.

* 2y2+ l =

Cy.

4033.

Сдг=

1 —

4034.

(14 - Cx) еУ = 1 .

4035.

y *+ 2 x * y *+ 2 y * =

C.

4036.

* 2 - fy 2 =

C (y — l)2.

4037.

y =

x tg (x - i-C ).

^

4038.

l/y2 =

Се2*2 + ■ * * + 1/2.

4039.

y =

0 + JC ) [ C + ln |1+ Я 1 *

4040.

nyn =

C e~ nx/a-i-n x — a.

4041.

*2 ={/г (C — y2).

4042.

y ( l + l n * + C j t ) = l .

4043.

у (x - f C) =

sec x.

4044.

у = | с + |п1ео8£1 + tg

_

404S- y _ _ ^ .ina| Cx\.

4046.

y‘

4047.

у =

- ^

.............. " “

T + C

4048.

1)

^- +

- - =

1;

2

'

) — - +

- -

=

1.

4049.

n

=

РофО

• 1

*•

%>2

1

ti2

4050.

x4— J<?у2 + у* =

С.

4051.

x +

arctg

=

C,

4052.

хеУ - y * =

C.

4053.

хУ =

С.

4054.

\ x *- f у2 +

У- =

C.

4055.

tg (xy) — COS Л' — cos y = C .

4056.

у

V V + y 2)3 + * - y l / 2 = 0-

4057.

sin

C0S y - f x — i - = C.

4058.

x — y /x = C . Интегрирующий мно­

житель p (*) =

l/x2. 4059*. x2 -J-2 х/у= С. Искать

интегрирующий множитель

в виде функции р (у).

4060.

(х2 + у 2) е * = С.

4061.

- ^

+

^

=

С.

4062.

(х sin у +

у cos у — sin у) ех =

С.

4064.

р =

у пе

(п~

J Р(лг) Ля,

У' _X*

4065. Выражение ———

должно быть функцией от (х-{-у).

у

_х'

4066.

Выражение

должно быть функцией от ху.

4007.

а Ь х + Р у + а + Ь с = С е 6* .

4008.

у = J c e<m—1)*х/а — с^у/О—

4069.

j f i J r 2 х у — у2— 4х + 8р = С .

J

4070. - ^ q ; + l n l * + y H - 3 i n | y - x | = c .

4071. x + y = a t g ( C - \ - y /a ) .

4072. у3— Зху= С /

4073. x2— у2 = Сут.

4074.

Зх2у + х ’У

= С.

1+У = a .

4075. у (x* + - i

y2j = Ce~x .

4076. In 11 +

у

4077. у3— 1 + Cxy =

0 .

4078,

-S£—(_jn| — i =c.

x — y

| у

4079.

3 Y u

= C

Y x * ^ \

+ x2— 1.

4080.

у =

sinx + C cos я .

4081. у =

r -— i , 2e*

.

.—

r<

4082.

t g

x

- ^

- =

C .

9

C + e * (coex -fsm

x)

U

sm x

4083.

sln-*7

_

4085.

g in y = jr —l+ Ce~*.

xe

* =C.

4084. xycos —= C .

ОТВЕТЫ

369

4086.

р = _ 1 И ± ! ! £ £ . - 4087< \n \Cx\ =

- e - (x,+tjt),,c.

4088.

х + уех/!,~ С .

С» "Г sin X

4089.

у = х\п |Сх |. 4090. уг — Ьу— а х у — С.

9Ь

окружность

4091. Окружность хг -\-у'1— - ~ - г { а х + Ь у ) = С ( k z £ — \) или

ои

Л-р 1

k = — \ или

k — i,

то прямая

* 2+{/2 _ _ 1 2 _ (а х + Ь у ) = С ( k ф 1); если

4092.

,

________ _

+ a r c t g - ^ -

Логарифмические спирали y x --U y *= C e

.

х *-\- С*

задачи у ^ = х ( х — уу').

4093*. у®= — ^ а ~ • Дифференциальное уравнение

4094,

I =

t/2 . 4095. Вектор поля

в каждой точке перпендикулярен к поляр­

ному

радиусу

точки.

Интегральные

кривые— семейство

концентрических

окружностей с

центром в начале координат. Уравнение семейства

х2+ у 2= С.

Изоклины — семейство

прямых,

проходящих

через

начало

координат.

4096.

1)

у '= / (* у ); 2)

у = /(уа/х); 3)

y ' ^ f W

+ t / 1).

4097.

Прямые у = С х .

Результат

может быть высказан в форме следующей геометрической теоремы:

прямой, проходящей

через вершину, то касательные к

различным параболам

в

точках

пересечения их

о прямой будут между

собой

параллельны.

4099.

р' =

^ ± * + С

;

у ' = а у + Ь х + С .

4103. у=»0,31

при

Д х = 0 ,0 5 .

4104.

y » s l ,68 при

Д х = 0 ,0 5 .

4105.

Точное

решение: р

= /(х);

f (0,9) =>

=

1,2244.

Приближенное решение:

Д 0,9) =

1,1942. Относительная погрешность

равна

~ 2

,5 % . 4106.

При точном

решении

* = $ / 3 (е— 1 ) 1 , 7 2 7 ;

численное

интегрирование

при делении интервала на 4 части дает

1,72.

4107. ya= l

+ x + | - x a + - i ^ + i i j C4 + i . j :s + _ L ^ +

.^ _ j:7>

4108.

— 1,28. 4109.

у =

1 + * + * г + 2*з

. J 3

4110.

уЗ

у4

уб

4

y = l - * + %

- - ^

-

+ f + - . .

4111.

у ^ д - х 3

7 - 9

2

rll---

' 7 . 1 1 - 2 7

4112. у = 1 + 2 х —

4! 13. у = 0 .

4 1 1 4 . ^ + 4

+ ^

+

^

+ . . .

« I» .

4117.

у = С х - { - С 2^ особый

интеграл

х2+ 4 у = 0 .

4118.

у=С х—ЗС3; особый

интеграл

9 у ± 2 х У

х = 0 .

4119.

у = С х+ 1/С;

особый

интеграл у2=4х.

4120.

у = С х + У

1 +

С2; особый

интеграл

х8+ у 2= 1 .

4121.

y = C x + s in C ;

особое

решение

у = х

(я — arccos х) + V

1 — х2.

4122. х=С х—InG ;

особое

ре­

шение д =

1пх+1.

4123. у = ( У х + Т + С ) г ; особое

решение у = 0 .

4124. у =

= Сх24-1/С; особый

интеграл у2—4х2 = 0 .

4125. 2 С х = 0 — у^

особого инте­

грала

нет, 4126.

х = С е ~ Р + 2 (1 — р), у = х (1+р)+Ра5 особого

интеграла

нет.

4127. y= C x~ ~ (F\

особое решение

y = x ( l n x — 1).

4128.

у = С х + С + С г;

осо-

бое^ решение у = — (х + 1)*/4. 4129.

у = С х + а {/1 — С8;

особый

интеграл

У у3 —У х ? = У а * .

4139.

(С—*)у=»С®1

особое

решение

у = 4л.

370