Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3934 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

ОТВЕТЫ

331

2167.

№

—

5 х + 2 0 ) У Ж + 4 х + 5 - 1 5 \ п

(х

2 + У х? + 4 х + Ь) +

С.

2168. ( - ~ * 2 -

~ х +

^ +

2х +

2 +

^ \ п

(х + 1+

х* + 2 х + 2 ) + С.

2169.

(х2+ 5 х + 3 6 ) / х 2- 4 х - 7

+ 1121п |х - 2 + / х 2- 4 ; с - 7 | + С .

2170.

( - #

—

1 * * + % Х- - §

) у

Х* +

4Х + 5 +

>п ( * + 2

/ х 2 +

4 .с+ 5 ) + 0 .

о ,, ,

y * 2+ 2 * - 3

, 1

у с .

2171‘

8 (д:+

1 )2

+ 16 arCC0Sjc+ l

2172.

J _ l n

У~ +

2х2~ х + 1П (х + у ^ Ц Г 1 ) + С .

2 / 2

/ 2 + 2*2 + * ~

^ Г

2173.

л:Ш

С.

2174.

yifl-

- 2 , + 4 - 1

Г 2 ( « - + 2 « + 4 )

In . - Н

г> .. I

л I

1 /г»

У х * + 2х + 4 +

/ 2

х+ 1

2175.

8 ( * — 1)а

3 (л:— 1)а

10 (Х-

1)1“

11 (Х-

1 )4 *

2176.

- ^ ( Z + V V - O

l l

2177. I

ff—

3fl^

(a +

x).t + G.

2178.

т У ab arctg ( emxУ ? ) + C.

2179.

arc sin x- -^ j^ V l~ x 2+C.

2180.

— 2* + i - l n

\x— 1 |(x+ 2)32

I * + 1

la-

2181.

— In

1 - \ - X

1 —X +

~2 агс^б x~yC

c— 1

2182.

-g- arctg x

4 (x*— 1)

*+ 1

2183.

2 / л :+ 1 [1 п | л :+ 1

| - 2 ] +

2184.

( i - x + - | - ) c o s 2 x + ( i - x 2 + | - x + 4 ) s i n 2 * +

2185.

x2c h x — 2xsh x + 2 c h

x-\-C.

2186.

x arctg (1 + / x ) — У х + In |x +

2 / х + 2

2187.

l —у l — xa

arc sin x fC .

2188.

Зе^х ( У & — 2 У х + 2 ) + С .

2189.

(|/X¥ — 5 Ух> +

2 0 * — 60 \r lfl +

120 y + -

120) + C.

2190.

e®*

xs — x2 -f-

+ C.

2191.

2 (sin У х — У х cos У х ) + C.

2192.

У х - - 1

(Зл:+ 2 )

лг —

.г

С.

arctg У х — 1 +

2193.

± У & = Т - 1 \ п \ х + У ¥ = Т \

С.

pic8— 1

332

ОТВЕТЫ

2194.

In (х + V T + F l -

С .

2195.

( { - ^ - |

j c ) / 5 4 n

| l n

( * +

/ * + ! ) +

С.

2196.

3 [in |и ( — In (l +V~1 — U1) — arcsin a] + C,

г д е а =

р 7 .

8187.

V T + i-\

4*c.

4х2 у

* 4- x

Р Т + 7 + i

2198.

- l - 2-

l 4-ln

V 2*+1 — 1

j/ 2 * + l+ l

2199,

ln i q ^ p r

arc‘g Y

f I + c - где *= jA

г2+ г + 1

2200.

- У

In| tg j| +

-----.

2201.

- ^ arc t g ^ + C .

8 sin8 *

Y*l

sin 2a

■sjn

— — I -[- С.

где

a=— агссоз

f - ,

если а2 < 631

2202

sin (a +

■arctg

tg x

1-С . где

a = a r c c o s -- , если <r >

b-.

a- sin a

a ’

sin a

2203.

•«"- In ( I +

A:4) — 1 . *2 +

-? ln (X-— x + 1) — g- In (A: +

1) +

2204. т^ -r + C. 2205. arctg y rF = T - ■ * In x

2206. g cv [(л:- — 1) cos x + ( v — 1)= sin v| + C.

p 3	2A;—l / r
+ 2	агс ё _ у з " + С*

-C.

2207.	^	- + C .	2208.		\|	*?2Д = 3 + С .
	1				3	V«8x
2200.	I	(tg4A; — c4g4 A) +			2 (tg2 .t— ctg2 AT) +				5 ln ] tgAC \|+C .
2210.	arctg (tg2 дс)+С.			2 2 11. In				1 + t g g	+ c .
2212.	arctg			+	ln	( / 2 + tg8AC+igAc) + C.
		p2 + tg8.v
2213.	f l± 1+ Vx*+Zx>+1 +							c .
2214.	C -	1 ■In	х+ б+ У ббГ — 15x8 .						2215.		-C .
		K 15				2 7 = 3			, r	1+A-
2216.		_____ .		,_____ V^14-e1'— 1					, r
2216.	2 х р 1 + е 4- 4 1 а Я ^ - 2 1 п ^ = = ^ - + ^ *
2 2 I7	L \|n l i i l _ £ £ £ te £ .						6x* =
н и ,	6	д..		3vJ			6x* =
		arctg AC		, arctg x				x
2218 .	C - 2 (1 + AC2)			'		4		4(1+
	1	U + 1	I		arctg AC_________ 1_ _				+ C.
2219- T		ln iT F T f		!(• ,+ > , 4 ^ + , ) ,							^ _ _ L _ _ l+ c.
					, r			1	1_____ ,		__

2220. A; — log*! 1 — 2 * |+ -^p2 [1 — I х "^ 2 (1 — W )- 3 ;0

ОТВЕТЫ

333

2221.

arctg (ех — е~х)-\-С.

2222.

1 J_ ех — 1Л1 '

ех 4- е-х

I n f ? ------+ С•

1— ех + У \ + е х + е*х

2224.

Sin 2Х +

Г28 s!n 4х + 24 s!n32 х + Ш

s!n &Х+ С‘

2225.

1п (1+ * 2) +

( 1 Х Зг2)2 +

С-

2226.

г -

30 .

| д - 5

+ С.

лп /„Т оч

1п

|д+ 2

49 (д—5)

49 (д+ 2)

343

2227.

/ 2 .

2228.

x t g i + C.

С — ^

arctg ( / 2 ctg 2д) •

2229*.

х 1^2

_ с .

(Разделить

числитель

и знаменатель на д2 и

arccos _

_ L

применить

подстановку

x +

z.)

2230. esinj£ (д— secд) +

С.

главе

VII

2231.

2 ( / 8

— 0/3.

2232.

7/72.

2233.

- 5 ( у Т б - 1 ) .

2234.

7 ~ .

2235.

X c o s m 0.

2236.

12.

2237.

0.2 (е — l)s.

2238.

31п Д

- .

2239.

1/4.

2240.

я/2.

2241.

1 + y l g e .

2242‘

е ~ / ё .

2 2 4 3 .^ - .

2244.

2245.

4/3.

2246.

1п у

2247.

0 ,2 1п у .

2248.

arctg у .

2249.

1п | .

2250.

л/6.

2251. 2 . 2252. 2/7.

2253.

4/3.

2254.

«(о

2255. - 0 ,0 8 3 ...

2256.

-2- + - " _ а

* 4

+ ^

- c t g

a .

2257.

2258.

- / 5 / 3 .

2259.

1 — 2/е.

2260. л/2 — 1.

2261.

” - 9 о Л —

-1- 'п

■ 2262.

л® — 6я.

2263.

2 - ^ -3^ .

2264.

4 In 2

2265.

141а3 У а .

2266.

. 2267. «я _2-.

2268.

6 — 2е.

*•

Г8= 61 Й

f - 0 , 4 2 9 ;

в) >0 - 8 . 6 - 4 -2

256

т—1

1 1 . 9 . 7 - 5 . 3 '

' 693'

2270.

J m,„ =

/г-1

нечетное, то

т~+ п

J m, я-з = у у у

^m-а, я ■ Если

J m,n

(';я+

(п — 1) (гг— 3 ) . . . . . 4 ■2

’

я ) ( / л +

- 2 ) . . .

(лг + 3 )

(яг +

если

т нечетное,

то

(/и— l)(m — 3 ) . . . . - 4 - 2

т' п

("» +

п )(т +

п - 2 ) ... (я-|-3) (я + 1) ;

если

т четное,

четное,

то

(п ~

( я —

3 )

•

• 3

■ 1 • ( m —

1) (/и — 3 ) ■

■

• 1

т, п

(яг+ л) (гя+я —2) (я1+ я —4) •....4 >2

"2 #

Й 7,,

[ , _

(£ +

+ ... +

^ +

,) ] .

334

ОТВЕТЫ

2272.

11/48+5я/64. 2274*. р!</!/(р+<7+ 1)!. Положить

х =

sin2 г и исполь-

вовать

результат

задачи

2270.

2275.

7 +

2 In 2.

2276.

2 — я/2.

2277.

32/3.

2278. 5/3 — 2 1п 2.

2279. ln - -1-^

1+ ■ - .

2280.

8 + ? 1 ^ я .

2281*. 4

" .

Пола-

1 +

/ 2

л/2

гая

x =

2z,

преобразуем

данный интеграл

в 2

(

sin® z<lz, 2282*. 8/35. Поло

жить

х = г/2.

2283. л/32.

2284.

/ 2 -----% +

In —

4 -3

■ 2285.

8/15.

2286.

/ 3 — я/3.

/ 3

Ч -/ 2

2287.

J L ( n

I O

. - 8) . 2288. Зя/16.

2289.

я/16.

2290.

^ 2 + 1 п ( 2 - / 3 ) .

2291. я/4.

2292.

/3/24. 2293. я/3.

2294.

arctg у

. 2295.

/ 6 / 2 7 + я /2/ 48.

2296.

20/9.

2297.

2 In - ? - * » 0,365.

2298.

2/я; 1/2. 2299.

2 +

\ п -^ -т .

2300.

При

а = е .

2301.

y l n - j L

2302.

2/45.

2303. 8 In 3 - 1 5

In 2 +

2304.

(5 + 7 / 1 2 5 )•

2305.

я/6.

2306.

а2 [ / 2 — In ( / 2 + 1 ) ] .

2307.

/ 3 — i - ln ( 2 + / 3 ) .

2308. 848/105.

2309. 4 — я . 2310. In

7 + ^У^ T .

2311.

^4 —-*i- .

23.2,

*>“•f / 4 -

23Н. +З.М-24.

23„. ifi-2V3.

g - ^ .

23.7. yljjln -

. 2319.

х = 2.

2320. х = 1п4.

2322*. Использовать соотношения 4 — х2 Э=4 — л:2— X3Зг 4 — 2х2,

справедливые при 0 ^ д г ^ 1 ,

2323*. Воспользоваться неравенствами / 1 — х3^

^ / l

— * 2nsS 1,

где — 1 < x ® g 1

и я 5= 1. 2324,

1,098 < / <

1,110.

2325*. Вос

пользоваться

для

оценки

снизу

неравенством 1 + х 4 <

(1 + х2)2, а для оценки

сверху — неравенством

Коши — Буняковского.

2326.

/ (1) «а 1,66 — наибольшее

значение,

/(— 1/2) s = —0 ,11 — наименьшее значение.

2327.

Минимум при х = 1

(</=— 17/12),

точки перегиба (2, —4/3)

и (4/3,

— 112/81).

2332*. а) Заменить

переменную

интегрирования

по

формуле / = — х,

разбить отрезок

[— а,

— х]

на два отрезка: [— а, а]

и [а, — х], и

учесть,

что интеграл от нечетной функ

ции

на

отрезке

[— а, а]

равен

нулю,

б)

Нет,

если

а + 0;

да,

если а = 0 .

2333*.

Положить

t =

l / 2 .

2338.

Каждый из интегралов равен я/4. 2339*. По

ложить

х = я — г.

Интеграл

равен я 2/4. 2340*-

Разбить отрезок [а, а + Т ] на

отрезки

[а, 0],

[0, Т\

и [Г , a + Т ] , затем, пользуясь

свойством

/ (х)= / (х + Т ),

показать,

что

^ [ (х) /х =

f(x )d x ,

2341*.

требуемое

для

доказательства

х+Г

равенство эквивалентно равенству	J	/ (z) dz = 0, Убедиться, что интеграл
	*	Г

В левой части этого равенства не зависит от х, и затем положить х = — ^ •

2342.

2 . 4 . 6 ..• 2я

2343. Подстановка г = tg (х/2) незаконна! потому что

1 - 3 5 . . . (2л+ 1)*

ОТВЕТЫ

335

функция tg(*/2)

при х = л

разрывна. 2344*. Для

оценки

/я

использовать, что

1п убывает

при

увеличении

я. 2345*. Заменить переменную интегрирования

по формуле г =

учесть

свойство

интеграла

от

четной

функции.

2346*.

Заменить

переменную

интегрирования по формуле г = fao2*2 и приме

нить затем

правило Лопиталя.

2347. По правилу прямоугольников

я е» 2,904

(с недостатком)

и я «=3,305

(с избытком).

По

формуле трапеций я * » 3,104.

По формуле Симпсона я «=3,127 . 2348. По правилу прямоугольников

(с недостатком) и я «=3,24

(с избытком). По формуле трапеций

я « з 3,140. ПО

формуле Симпсона

я « 3 ,1 4 1 6

(верны

все

знаки). 2349.

1п10«=2,31,

М «=

= _ 1 _ е5в 0,433.

2350,

«=0,84.

2351.

«= 1,09.

2352.

«=2,59.

2353. «=0,950.

1п 10

2355.

«а 0,985.

2356.

<=» 0,957.

2357.

2354. «=1,53.

« .2 3 9 м2 (по формуле Сим.

пеона). 2358. «а 5,7 м2 (по формуле Симпсона). 2359. «е1950 мм2.

2360. «вШ ,9.

2361. «=36,2.

2362.

«=98,2.

2363.

«> 9,2.

2364.

«=569

мм2.

2365.

«=138

мМ2.

2366.

1/3,

2367.

Расходится.

2368. 1/а. 2369. Расходится. 2370. я . 2371. Рао«

ходится. 2372.

1 — In 2.

2373.

1/2.

2374.

я/4.

2375.

1п > ^ Е 1 + 1 ± 1

237в.

1/2.

2377.

1/2.

2378.

Расходится,

2379.

2380.

1/2.

2381. агц_^ ,

если

a > 0 j

расходится,

если

а = ё 0 .

2382.

-i- In 2,

2383.

2384.

я/2.

2385.

1/2 +

+ я/4.

2386. Сходится.

2387.

Расходится.

2388. Сходится.

2389.

Расходится,

2390. Сходится. 2391. Расходится. 2392. Расходится. 2393. Сходится. 2394. Я/2,

2395.

Расходится.

2396. 8/3.

2397.

— 1/4.

2398. 1. 2399.

Расходится. 2400. 2,

2401.

я .

2402. я (а + Ь )/2 .

2403.

ЗЗя/2,

2404.

2405.

я//3 .

2406.

1 4 у .

3 к з

2407.

10/7.

2408.

Расходится.

2409.

6 — y l n 3 .

2410.

—2/е.

2411.

Расходится,

2412. Сходится. 2413. Расходится. 2414. Сходится. 2415*

Сходится,

2416.

Рас

ходится.

2417. Сходится.

2418.

Нет.

2419. При к < — 1

сходится,

при k ^

— 1

расходится.

2420.

1) При

к >

1 сходится,

при к

1 расходится.

2) /= '^ Z T I ) ^ 2jft= r. если к > х ' Расх°Дится'

если /><1,

2421.

При k <с 1

сходится, при

к ^

расходится.

2422.

Расходится

прв

любом к.

2423. Сходится

при

совместном

выполнении

неравенств

к >

— 1 и

t > к + 1 .

2424. При т < 3 сходится, при /п

3 расходится.

2425.

При k < 1

сходится,

при

расходится,

2426.

я .

2427*. 5я/3. Положить

дс=сов<р И

проинтегрировать

по

частям.

2 4 2 8 . 3 ± | У 1 я - | 1 п 2.

2429.

1 . 3 - 5 - . . . . ( 2 я — 3)

' 2430.

«1.

2431. «1/2.

2432. (— 1)« «I.

4 •6 ....•

(2и— 2) 2а2» -!

2433*.

(т — 1) (т — 3) •...• 3 •1

б)

(m—1) (т —3 )..... 4• 2

Поло*

а)

т ( т - 2) - . . . - 4 .2

m(m—2 )> ....3 .1

жить

*= sin<p.

2434*.

П°Л0ЖИТЪ * =

г Ф=

2435.

^т~

(/ =

при а = я ) .

sin а

‘

336

ОТВЕТЫ

2436*. Для доказательства равенства

интегралов положить в одном из

них х= 1/ а . Затем вычислить их сумму, воспользовавшись тождеством

1 + *2

(

_____ !_____ V

M-v*

2 \\-!г х*+ хУ2

1-+Х2 —хУ2 )

+ Ов

2437*.

Представить интеграл

виде

суммы

двух

интегралов:

+ .0 0

г ~

= ^ +

;

во

втором

интеграле

положить

х =

— .

2438.

О,

2439.

— .

2440.

У я .

2441*. )/"я/4. Интегрировать

по

частям.

2442.

*-■ — 3 —

2443.

я/2.

2444. я/2, если а >

если

а = 0 ;

— л/2,

если а <

2445.

я/2,

если

а > Ь ;

я/4,

если

а =

Ь;

если

а < Ь .

2446*. я/2. Интегрировать по частям.

2447*. л/4. Представить числи

тель в

виде разности синусов кратных дуг.

2448*. я/4. Воспользоваться ме

тодами решения задач

2446

н 2447.

ат/2#—х'

2449*. Полагая у =

■ — г, приводим

ср (л)

к виду ф (х )=

(

In sin г dz.

П/2

В соответствии с формулой

sin г = 2

разбиваем интеграл

на

три,

sin

cos ^

из которых один находим непосредственно. Два других интеграла при помощи

замены

переменной

сводятся к

интегралам

типа

первоначального; <р

= 2

In 2.

2450.

—

vj-In 2 .

2451.

— — In 2.

2 4 5 2 * .— In 2 .

Интегрировать

по

частям.

2453*.

1п 2.

Заменой

переменной

сводится

предыдущей задаче,

2454.

—

In 2.

г л а в е

V I I I

2455.16/3.

2456.9/4.

2457.

16р-/3.

2458.1/3.

2459.

32 j'G .

2460.

2 У .

2461.

2л Н- з и 6л

2462.

-д-(4л +

/ 3 ) и j

( 8 я - / 3 ) .

2464,

---—

ah I

[ей — a ln (e + y^e2— 1 )],

где

е — эксцентриситет.

246i •

«‘ [о - - 8 ~ 1п(,' 3 + 1^ ) ] :

(/3 + Vr2)]

а 2 [ у +

l/’o

In ( / 3 + Г 2 )

2466.

5 ( = 5 л = л — ^2 " In 3 — 2 arcsin

я» 0,46;

S 2 =

2(,T — S I ).

2467.

л/2— 1/3. 2468,

1/12. 2469.

1/12.

2 |^

” |,

2470.

in — п

т —п , если

т н п оба четны;

если

/и-|-п

m + п

т— п

п оба нечетны; т+-п , если т и п разной четности.

2471. а) 3/14; б) 7 3 — . 2472. 1 (фигура состоит из двух частей, площади

которых равны между собой), 2473. 8/15. 2474. Зя/4. 2475. 4/3. 2476. яа2/8

ОТВЕТЫ

337

2477 .

8( \

f 1 +

/ З

- a r c t g

1 +

/ з )

•

« 2478+ 1 /. ^ - 2 .

2479 . 4 .

2480 .

3 (e » — 4)/<?.

2481 .

18/e2 — 2.

1);

b6)— a.

2483 . 3 —e.

2482 .

а)

Л (In ft —-1) — a (In

a —

2484.

2 ln 2it~

2 ' - —

•

2485 . 2 - /

2486.

4 -■In2487 .

|V 2 ‘

2488 .

/ 2_ 1.

2489.

я/4.

249 0 .

З л о2.

2 49 1 .

З я а 2/8.

2492.

6 л а а.

2493.

( я

+ 1 ) ( «

2 );

(re—

1, (« — 2 ).

2494 .

3 ;

2) 8/15.

2495 .

1) 4 л 3а 2/3;

7 6а 2л э/3.

2 49 6 .

я а 2/4.

2497.

л а 2/4.

2498.

18яа2.

2439. о2 ( 4 — л)/3. 372 50я/06.— 5 / 3 -

2501.

51 / 3 / 1 6 .

2502.

а2.

2 5 0 5 * .

о2

. Д л я

построения

линии

сле

рассматривать

изменение

От

до

З л .

2506 .

я/4а3.

2508.

с 2 ( 1 + я / 6 - / 3 / 2 ) .

2509.

(аа+ & 2).

2510.

a 2.

2511.

/ 2 .

251 3 .

2514 .

З л о2.

2 51 5 .

4 я ,

2 5 1 6 * .

/ л / 2 ;

л .

В о сп о л ьзо ваться

что

^ в - * 5 г/ д -= / я / 2

(интеграл

П уассона).

2517 .

я а 2/2,

2518 .

2 — я/2 и 2 +

2519.

a sh

2520. 2рУ У Т Р + %р )пу +

у У

’-и >3 .

2521.

l + }

l n

2522 . In 3

252?.

- £

2524.

. ( | |

' |

- l ) .

2523.

4 g

2526 .

/ З .

2 52 7 .

2 ~In

tg \ + 2

In ( / 2

1 ).

2528.

1- +

!• In 3.

2529. 2 . 2530. 8.

2531.

При /=2л/3

[дс= а (2л/3 — / 3/ 2),

</=3a/2].

2532 . При / = л/6

( г = 3 / 3 / ? / 8y,= R / b ) .

2333*.

4 -

a+ o.

Положить дс— acos3 /,

y = 5 s in 3 /.

2 53 4 .

5 a

l n ( 2

) J .

2 53 5 .

2536 .

л 2Я/2.

253 7 .

2 / 3

‘

' I

2538 .

4 /

3 .

2 5 4 1 .

2 ( ^

—

1).

2 54 3 .

я аУ 1 +

4 л 2+

-%In (2 я

1 +

4 л

2) .

2545 .

~ +

^ .

2 5 4 6 .

8 а .

.....-.

......

вид

2/V +

2ЛГ

2 5 4 7 .

я а .

2 54k9 .долж но

иметь

^ у или

2/V-1 ’

где

Л/—

целое

число.

2 55 0 .

4 .

2 5 5 1 . '2лIn*

может быть

записана

виде

2 5 5 4 * . Д о к азат ь ,

что

длина

эллипса

Я/1

_______________

L	= 4 jj	( / a - cos2 / + й а sin2 /+ / a 2 sin2 1 + 0 sdttcos2 1)
и применить	теорему	об оценке интеграла.

338

ОТВЕТЫ

2555.

2я.

2556. 1) | п аЫ- 2)

яа2й.

2557.

г| лЛ2а, 2558.

(За + Л),

2559.

^ -(е 2- 1 ) .

тт

Гй2Ь__л—2^ л2<3

/5-2<3

2560.

-------2“^-------------- 2---------[-2

(й — а)1. 2561.

Зя/Ю.

2562.

(15— 16 In 2).

2563. я

( ^ ~ 2)-

2564.

8я/3.

2565. 2я2.

2566.

j^ / 2

In ( 1 +

2 ) — | -J.

2567.

1 )

яа2;

л2/16. 2568. 5я2а2.

2569.

яа3

2570.

щ я а 3.

2571.

2572.

я 2/2.

2573.

пе/2,

2574*.

1) я;

2) п У п / 2 . См.

указание

к задаче

2516.

2575*. 3я1/2я/32, См.

+ “ .

указание

к задаче 2516 . 2576*. я2. Воспользоваться тем,

что

^2-^ d x = ~

„

2577*. 2л2а2. Целесообразно перейти

(интеграл Дирихле).

к параметрическому

заданию,

положив * = 2 а

О д С1пЗ /

. 2578.

яа3.

sin2/, ы = ------- —

2579*. — паЬс. При-*

c o st

менять

формулу

V =

(j S (х) dx,

где

S (х) — площадь

поперечного

сечения.

2580.

1) я У 2; 2)

36я. 2581.

ог=

л У ‘2 ( 2 У б — 11/3),

1* =

я / 2 (2 /

6 +

1 1/3).

2582.

и1 =

уэ=

4я (j/ 6 - f )/ 3 — 4),

а2=

8л (4 — |Аз).

2583.

вя^ б / З .

2584. 8л .

2585*.

-д-/?2Я = 400 см3.

Принять за

ось

абсцисс

ось

симметрии основания,

2586.

гг ahH =

128 см3. 2587.

~ аЬН =

133 А

см2.

1 J

симметричного

параболического

сегмента

равна

2588*.

я/?2Я , Площадь

— a/i,

где а — основание сегмента,

а Л — «стрелка»,

( я -

'!')■

(См,

указание

задаче

2588.)

2590.

8а3/3.

2591.

8яг3/3.

2592.

- 6 R 3.

2593.

-*• Д 2Я ,

2594.

яа2.

2595.

( / ( Г + ^ р - 1).

?| ?(е2 _ е-2 + 4)<

2597.

2пй2

, 2яс&

arcsin в

„

л52,

14-е

где

е — эксцентриситет эллипса,

и 2яа

—

In y -j^ ,

2598.

2п [ / 2 + 1 п (1 + /2 ) ] . 2599.

я |У ~ 5 - / 2 +

j •

2600.

Зла2. 2601.

яа2 У 2 12 —

2602.

(е я _ 2 ).

2603.

яа2.

2604.

8па2 ^л —

2605.

па2,

2606.

4я2г2.

2607.

2па2 (2 — / 2 ) .

2608.

л [ / 2

1п ( 1 + ) / 2 ) ] .

2609.

4яа2. 2610.

a!f-/2.

2611.

а3/6 ,

а3/6,

а2/ 2 / 1 2 ,

2613.

Центр

масс

лежит

на

оси

симметрии

сегмента

на расстоянии

— И от

основания. 2614. Для S i. £ = -g- а. 4 = -g- Ь\ для S ,; £ = jg а, т]= -Д Ь,

ОТВЕТЫ

339

2615.

| = 0 ,

q = 2 r/ n . 2616. $ = 0 ,

т)=4г/3я.

2617.

Центр

масс

лежит

на

бис-

сектрисе

центрального

угла,

стягивающего

дугу,

на

расстоянии

2г sinT

от

центра.

2618. £ = а / 5,

т)=а/5. 2619.

£= 4а/ (3я),

т1= 46/(3я). 2620.

Ь2

-f-

arcsin е,

где

е — эксцентриситет

эллипса.

2621.

£ =

я/2 ,

q =

я/8 .

2622.

я/2+ 4/ 5 .

2623.

я/12- f / 3/8.

2624.

3/20.

2625.

£ =

5а/8,

т ]= 0 .

2626.

£ = 0 ,

q = f l ^ ^ J ^ -~|^.

2628.

£ = я а ,

q =

4a/3,

2629. £ = я а ,

q =

5a/6.

2630.

| =

2а/5,

т) =

2а/5.

2631.

£ =

256а/(315я),

256а/(315я).

2633.

£ = 6 а ( 4 — л2)/я3( q = 2 a (я6— 6)/я2.

2634.

Центр

масс

лежит

на

оси

симметрии сектора

г sin a

от центра

круга.

на расстоянии у — ——

2635.

£= 5а/ 6,

т )= 0 .

2636.

£ = ]А 2 я а / 8 , q = 0 ,

2638.

£ = -

a 2e21t-f-elt

а е2Я— 2еп

еп — е л^2 ’

е1* — ел^2

2639.

£ = 4а/5,

q = 4a/ 5 .

2640.

3R /8 .

2641.

Центр

масс находится

на оси

симметрии

на

расстоянии

Л/2

от

центра, 2642.

Я Д

И у

j . //а

Я/4.

^ ^

„рз

(/И — масса полуокружности).

2643. Л/З. 2644. у

(a2+ o i + 62). 2645.

—у =

/И у -

2646.

/ ( 1 + е )3

.2 / 2

^ 2б4?<

2M fl3. /y = 1 6 f l3

^я*—

2648. ab2/ 3 .

2649.

1) <й3/12; 2)

a/t3/4;

a/t3/36.

2650.

яД 4/8.

2651.

я Я 4/2.

2652.

яог>3/4

яйа3/4. 2653.

л Я 4Я/2. 2654. я Я 4Я/Ю.

2655.

8яЯ 5/15.

2656.

8яа54/15,

где 2а —

величина

оси,

вокруг

которой

происходит

вращение.

2657.

яЛ 4Я/6,

2658.

56я/15.

2659.

1) /* = я (<*— 1)/8;

/„ =

4 я (3 — е).

2660.

М Л2,

где

М —

масса

боковой

поверхности

цилиндра.

2661.

M R2/ 2.

2662.

2M R 2/3.

2663.

9яа3/2.

2664.

6я 2а62.

2665.

Объем

3 )/ 2 я 2 а 3/8,

поверхность б У ^ я а 2.

2666.

Объем 12я3а3, поверхность 32я2а2.

2667.

Ось

вращения

должна

быть

перпендикулярна к диагонали

квадрата; ось вращения должна

быть перпенди

кулярна к медиане,

/2л/, \

— sin 1 ^ + Ф о ) .

2668.	e s2 3 ,7 м.	2669.	= *i +	sin		■+.tpoj —
ktnM	a-\-l , ,	k m M	(г2+	/)	2671.	2ктМ
Я (а + 0	*± L M,	^	Г-ф ± % .		2671.	яг2
Я (а + 0	а	^	гг (ri + 0			яг2

2672.	km M a/yr (R'2+			a3)3= k m M			cos3 (p/a2,			где	<p — угол между прямыми, соеди
няющими точку			С	с центром			кольца		и	с	любой из точек кольца; km M /R ,
2673.	* 2 *	(\	V a 2+		.	2674.		2якт о.
	R 2	\			R 2,	h
2675*.		2я km yh		( 1 —	r	■.	-	- =	)=2nkm yh(\ — cos a ), где a — угол между

\V №+ (« — г)2/

Образующей конуса и его осью. Воспользоваться решением задачи 2673.

2676. 2кт у. 2678*. ^ - 1 п у. Сначала подсчитать силу					взаи м одействия элемен
та ds	первого	стержня	со вторым стержнем (воспользоваться результатом
задачи	2670),	а затем	найти	всю силу взаимодействия. 2679. £ 2М3/(6т 2).
2680.n- ^ g - (R2+2Rr +			Зг2).	2681. «а 1,63 ■10« Д ж .	2682. 3,5325 •Ю« Д ж .

340

ОТВЕТЫ

2683.

ngdR -H 2i\2, ngdR 2H 2/4

. Величина работы в Ответах к задачам 2683 — 2686

получится в джоулях, если брать расстояние в метрах,

а плотность— в

кг/м3.

2684.

ngdR*/4 =

1018 Д ж . 2685.

ngdR*H */6 =

2,68 •10* Дж.

2686. ^«gd<iW/2=

2,4 •103 Дж.

2687. S/«<O2Y/6 = 4,2 Д ж .

2688.

аЬЧу(о2/6 *=

«=«11,6 Дж.

2689.

аЛад<о2у/24 «=«0,5 Дж.

2690.

/га3Ло2у/60 *= 0 ,1 5 Дж.

2691.

п/?1Я м 2у/4.

2692.

М Л2я 2л2/3600;

M R* (Зя — 8) ля2/3600.

2693.

o/t2/6;

б) в

два

раза.

2694.

a J/2/2.

2695.

2,22 ■103 Н.

2696.

~ g d a 2b.

2697.

abgd

(й +

sin ccj.

2699.

а) gd-H 2S t2 =

320 Дж;

б)

^ Я

2 (I

d)2 =

= 20

Д ж .

2700. -1

gn/?3.

2701.

« в 0,206 см2.

2702.

а)

«=33,2 с;

б)

«= 64,6 с.

2703.

як 1

ч 6 мин

53 с.

2705.

[(Я -f-ft)3''*— Я 3/2];

при

Я = 0:

А*/* =

S ^

где S — площадь

щели.

2706.

а)

««2,4

с; б) «= 6,3 с;

в)

««53 с; г)

при i - * o o .

2707.

е=34 Дж.

2708.

а)

*= 71,6 Дж;

б) «= 166Д ж ;

в) «=238 Д ж;

2) при

неограниченном

расширении

газа

работа

неограниченно

увеличивается.

2709.

1,6 ■10* Д ж .

2710.

:= 82 мин. 2711.

Немного

больше 5°.

2712.

— —

„

2ал£0

2713. а) 4 ■10-е д ж; б) 6 . ю -e д ,к. 2714- 5 см.

2715. «=946 Кл. 2716. «=1092 Кл.

2717.

*= 5110

Кл.

2718. £j/2. Эффективное

напряжение

переменного

тока

равно

Е 0/У 2 .

2719.

cos фа-

2720.

«в 7 мин.

2721.

«=2,915

л.

2722.

а) Н Х= Н

in Q_Tfn I ”” ^

см‘»

б) «= 0 ,1 2 5 % .

2723. 1/1024 от

первоначального

количества.

2724.

2,49 г. 2725. 8/9 г. 2726.

*= 37,3 мин.

главе

2727*. S „ = l —

, S = 1, Представить каждый член ряда в

виде суммы

двух

слагаемых.

2736. а п = arctg —7-г,	а = ~ . 2737. сходится. 2738. Сходится. 2739. Рас-
Л-f- 1	4

ходится. 2740. Сходится. 2741. Расходится. 2742. Расходится. 2743. Сходится.

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3934 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб32Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб37Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб11Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб50Сборник задач по подземной гидравлике..pdf