книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

292

ОТВЕТЫ

больше

радиус

его

основания.

95.

Р

96.

а

Р

А

98.

Сторона

2

--------—.

97. — —г.

6 — / 3

л + 4

должна

быть

равна

10 см. 99.

Сторона

основания

и

боковые ребра должны

иметь

по

10 см.

100.

Сторона

треугольника

должна

быть

равна

За

9 + 4 / 3 *

(15/11, 37/11).

101. И ском ая

точка

(6/6,

6/6).

102. И ском ая

точка

104. х2 =

ев — 1,1, дг2 =

2,1;

2 )

дг, =

— 1,

дг2 =

5/2;

3)

л у я вО .5,

х2 =

4 ,1 ;

4)

Ху=

х2=

3/2;

5 )

не имеет вещ ественны х

корней. 105. хх=

— 3, х2= & .

При

граф ическом ре­

шении

ищ ется точка

пересечения графика функции

у= < р(х) и

параболы

р2 =э

*= “* +

2 5 .

106.

Е сл и

6* — 4 ( к > 0

и а >

0,

то

ф ункция

определена

на

всей

числовой

оси,

кроме

интервала

X i« g x s £ x 2,

где

xL

и

хг — корни

тр ехчлен а.

При

6 2— 4 а с > 0

и

а < 0

ф ункция

определена

тол ько

при х 2 <

х <

хг. Е сли

Ь-—Аас <

0

и

а > 0 ,

то

функция

определена

иа

всей

числовой

оси . Е сл и

6 2— 4 а с < 0 и а < 0 ,

то ф ункция нигде не определена. Н аконец, при Ь -~А ас—0

функция будет определена на всей

числовой

осп,

кроме

одной ее точки х =

=

— 2 ~, если

а >

0,

и нигде

не

определена,

если

а < 0 ,

107. / (х +

1) = 2 х 2 +

+

5.V +

3.

х~ “I-

2/С -f- с

108*.

П усть

т ,

где

т —п роизвольное

действительное

чис-

,

,— — г - =

тогда

х - +

4х + 3с

ло;

(m — 1) х- + 2 ( 2 т — 1) х + с ( 3 т — 1 )= 0 .

Аргумент

х

должен

быть

действительным

числом,

следовательно,

(2m — I)2— ( т — 1) (З т с — с) ^ 0 ,

или

(4 — Зс) т 2+ 4

(с— 1) т — (с— 1) ^

0;

по

так

как

т — действительное

число, то

это

неравенство

в свою очередь справедливо лишь при условии, что 4 — 3 с > 0 ,

4 (с— 1)2+ ( 4 — Зс) (с — 1) sgO;

отсюда

O s g c s g l, но

по условию с Ф 0,

следо­

вательно,

0 < c s g l .

109.

pv =

2 , 3 - 10s.

НО. Переменная х обратно

пропорцио­

нальна

V .

111.

Переменная

х

прямо

пропорциональна v.

112.

Количество

выделяющегося

вещества

обратно

пропорционально

объему

растворителя.

114.

1) При х =

1

у = 4 — наибольшее значение; при х = 5

«/=4/5 — наименьшее

еначение;

2)

при

х =

— 1 у =

1/7 — наибольшее

значение;

при х = 2

у = —2 —

наименьшее

значение;

3)

при х =

0

у =

1 — наибольшее

значение;

при

х = А

У = — 3/5 — наименьшее значение.

117.

1)

у = х ;

2)

у =

х

1

_х

4)

у =»

3) у = —g— ;

5)

у =

хХ \ 6) У= ~

" .

7)

У = \

± /

x

+

l ; 8) f / = ± / x 3-

l ;

9)«/=.

,

:

.

х — \

1

+-arcsin —=—

=

arcsin

2*1 15) у — ----------------p

16)

(/= Jt cos - (Osgx sg 2л).

119.

1 — arcsin —^—

- = — a .

122.

1 <

jt - < 3 ;

j/ = l + 2 l —x\

123.

j/ = arcsin /

x — x2— 2. 125.

x, =

=» —0,5,

x.2 = l ,

x3 = 54,5.

126*.

1)

Xi = 1,4,

остальные

корни

мнимые;

xy —

и

{/ = — х + 4; 2)

х ! =

1,

х2= — 1, х3= 3; целесообразно применить замену

переменной х = х ' + а

и выбрать а

так, чтобы

коэффициент при х '2 обратился

в

нуль;

далее, как

в 1);

3)

Хд=4,

х2 = х3= 1 ;

см.

указание к

2);

4) Х\ =

—1,

остальные корни мнимые; см. указание к 2), 127.

I) 1 ,4 6 5 ...;

2)

= 1 4 ,2 6

см;

3)

почти

6,8 см.

128.

Если

ух =

х«, У г - У х ,

то

при я > 1

д л я 0 < х < 1

ОТВЕТЫ

293

У1 < У *

а для

1 <

х < - 1-с о

y l > y i ;

при

0 < п < 1

для

0 <

х <

1

у х > у 2,

а

для

1 <

х < ф о о

у, <

у2;

при

— 1 <

п <

0

для

0 <

х <

1

t/L <

t/„,

а для

1 < * < + с ю

«/!>«/»,

при

п <

—-1

для

0 <

х <

1 У1

> у г,

а

для

1 <

x <

Jr oci

У\ <

Уг-

>33.

л-1 =

1 ,

А'г=2. 134. Точки пересечения (1,

2);

(3,

8);

(3,

4,3);

(—J .5 ; 0,3).

135.

п =

15.

136.

Исходя

из

определения

гиперболических

функ­

ций,

можно доказать,

4T O sh (— х) = — sh х,

fh (— х) — — th х,

ch (— х) = ch х.

Периодическими

эти

функции

не

являются.

140.

*= 0.8

при

х а = 0 ,4 .

141. График функции симметричен относительно начала

координат,

так

как

функция нечегная.

— . 143. 1)

Л =

1,

Г = | я ;

2)

Л = 5,

Г = я;

3)

/1 =

4,

Т = 2;

4)

/4 =

2,

7* =

4я;

5)

/4=1,

8/3;

6)

А = 3,

Т =

Л - я .

144. 1) 2,

2л

3

5;

2)

1,

4 я ,

1 Зл — I

I

I.

l,

—

я .

4)

°

бл\

4я ’

2

Г.

з

;

i,

1

1

3 ’ 2л ’ “■

’ ’

Площадь

будет

3 ’

при

6л - 1

2л

146.

Область

определения

(0,

л)

наибольшей

vt , п ,

a

Г '- 'о ,

х = п/2.

147.

jt =

/?sin

148. y---

.

.

R - + 2 + aTCCOSR

sin ;----- --

(arcsin ух —

Lh —fo

■arcsin у0) -L arcsin уйj;

2л (fi — Т0)

Фи

txa r c s i n i / 0 — / „ a r c s in i/ t

arcsm yx

arcsm tjo

<I - 1 Q

149.

x =

R (1 — cos ф) +

a - - Y Q 2-- R 2 sin2 cp где

ф = 2лл/.

151.

1) xL =

0,

х2,з>ы

e= i t

1,9;

2)

дг =

0;

i t

4,5;

± 7 ,7 2 ;

далее

со

значительной

точностью

можно

считать

x

71■(n >

3);

3)

x«==0,74;

4) ^

=

0,9,

хг=

2,85,

*3 =

5,8)

5)

корней— бесчисленное

множество;

*1 = 0,

х2 немного меньше я/2, х3 немного

больше

Зл/2

н

т. д.

152.

1)

2л;

2) 2л;

3)

24;

4) 2. 153.

1)

i/ = ) r2 sin

+

f

2)

y =

V b +

2

sin (дс- f фо),

где

ф0=

arcsin

*

— =.

155*.

1)

Период

я/2,

„

V 5 -Г 2 1 - 3

па отрезке [0, 2л] функция может быть представлена

так: i/ =

sin x + c o s x

на

отрезке

[0,

л 2 1,

у =

sin х — cos х

на

отрезке

[я/2

я(,

у

— — sin х — cos х

на

отрезке

[л,

Зл/2],

у — — s in x + c o s x па

отрезке

(Зл/2,

2л|.

2)

Период

2я .

На

отрезка^/0;,

2л]

функция

может

быть

представлена

так:

У

//= tg х

на

полуинтервале

]0,

л/2),

у — 0

на

полуинтервале

(д/2 ,

л|,

у — — tg x

на

полуин­

тервале

|л, Зл/2),

у = 0

на

по­

луинтервале (Зл/2, 2л|. 156. 1)

y= arcxn(siix)

Область определения состоит из

бесчисленного множества интер­

валов

вида

(2/1Л, (2 п + 1 )

я),

где

/г= 0,

it

I,

±

2 . . . ;

ни

Рис.

четная

н ни

нечетная;

периоди­

ческая, период 2л. В

интервале

(0, л/2 )

синус возрастает

or 0

отрицательным,,

возрастает

до

0,

до

1,

следовательно,

lg sin х,

оставаясь

В

интервале

(л/2,

л)

синус

убивает

от

1 до 0, следовательно,

убывает и

lg sin х. В

интервале

(л, 2л) синус имеет отрицательные значения,

следова-

телыю,

функция

lg sin х

не

определена.

2)

Область определения

состоит

из

отдельных

точек

вида

х=

Я

где

я =

0,

± 1 ,

± 2 ,

■■■

В

этих точках

2 + 22лл,яп,

у — 0.

График

состоит из отдельных точек

оси абсцисс. 3) Функция определена

на

всей

числовой

оси,

кроме

точек

х =

я п,

где /1 = 0,

±

1 ,

±

2 , ...

158.

<а =

2

arcsin

а

159.

y= arctg. „

. ^

^

-b^

^

, - ; .

160.

-

-

2л

Ьа+ 12 + 0(^С05ф— I

ЯПф)

294

ОТВЕТЫ

=

a r c c o s [ l - 5^

£

_

A

_

j .

161.

1)

2 ) 0 < ж ^ 1 ;

3 ) 0 ^ * ^ 1 ;

4)

— 1 ^

х sS 0;

5)

0 <

х

<

+

со;

6) — со <

х

< 0;

7)

0 s s х <

+ со;

8) — со <

< х = £ ;0 ;

9)

— о о < * <

1;

10) 1 < * <

+ оэ.

162.

1)

—1

1;

2) 0= Sx:s£l;

3)

— о о < л :< + оо;

4)

определена

всюду,

кроме х = 0.

163*. Период 2л. Гра­

фик

см.

на

рис.

82.

Указание.

На

интервале — я/2«сл:г$ я/2

имеем у =

<= arcsin (sin х ) =

х

по определению функции arcsine. Для получения графика

функции

на

интервале

n /2 s £ x ^ 3 n /2

полагаем

г=л: —я,

тогда

* = я + 2,

— п/2 ss г

я/2,

у = arcsin (sin х)

=

arcsin sin (г + я )

=

— arcsin

(sin z) =

— г;

y = n — x

и т. д. 167.

15,

г/яаим«=5,5;

функция

переходит от возраста­

ния

к

убыванию

при

х — ~ 2.

Корень

функции:

х я= —3,6.

169.

у =

= g g (2 6 7 — Юх— х2),

или

(/ = 0,0312х2— 0,3125л:+ 8,344;

корни функции:

« а - 2 2 ,0 9 , х2 «= 12,09. Чтобы

получить

корни с точностью до

0,01,

надо

коэф­

фициенты

взять

с

точностью

до

0,0001,

170.

^ « = 2 ,6 0 см,

* 2«= 7,87 см.

171.

* !« = — 2,3,

л:2«=3;

остальные

корни мнимые,

172*. Выбрать

а

так, чтобы

коэффициент

при

х'‘

обратился

в

нуль;

л^вг— 3,6,

л:2«=— 2,9,

хэ г « 0 ,6 ,

* 4 «= 4,8 .

173. ^ « = 0 ,5 9 ,

л:2«=3,10,

л:3«=6,29,

л:4«59,43;

вообще л:«= п п ( п > 2 ) .

174,

ДС1 =« — 0,57,

i/i « = — 1,26;

хг « = - 0 ,4 2 ,

у2 «=1,19;

х3 «=0,46,

у*£ х 0,74;

*4 «=0,54,

i/4 «=— 0,68.

К главе II

176.

Urn ип =

1,

п 5 г 4.

177.

lim

«я = 0,

л

>

- ' - . 178.

п = 1 9 9 9 9 .

П—.СО

Л -* СО

\ е

меньше,

то

равна

ему

(последнее

при

п = 2 А + 1 ,

где

А = 0 ,

1,

2 ,

...).

180.

lim

un = l ; n 5 s l 4 ;

n ^ lo g 2 - .

181.

п ^ ~

л

[ ' 5 —6б

если

е <

5/6;

п —*оо

е

3

у

п = 0, если е >

5/6.

182,

п-

Y e ( 2 + Ej ’

последовательность

ип

убывающая.

183.

lim

пя =

0;

при

п=--т-J-1, так

" ’ “ччая

vn достигает

своего

предела

п —*

со

п,

пя = 0.

185.

0.

186,

1)

Нет.

2) Да. 189.

____

с этого

значения

ПрГ а= 0 Л то т

предел

может

равняться

любому

числу

или

не

существовать.

190,

6 <

« с / Г 7 -

-2;~

6с <

0,00025.

191,

6 < 2 - / 3 .

—192.

6* <—2/13—.

—193,

1 х — -п■ '

< y - a r c s i n

0,99 «=0,133.

194. N ]

если

ErsS 1;

,V = 0,

если е > 1.

195.

N :

-| Г ~4

3 ,

если

ess4/ 3;

N — 0,

если

e >

4

196,

п >

N— 1

у

——

y .

— - — .

197.

ип — положительная

бесконечно

большая величина, если разность про­

грессии

d > 0,

и отрицательная,

если d <

0.

Для

геометрической

прогрессии

утверждение справедливо только тогда, когда

знаменатель прогрессии по абсо­

лютной

величине

больше

1.

198,

— ц й тр г < х <

1 0 * ^ 2 ‘

199‘

щ у <

* <

< W

‘

2° 0,

6

<

i 7 j V = 0 ’0K

2 0 ,‘

lo3 2 ° . 9 9 < * < l o g 8 1,01.

202.

, W ^ 1 0 w =

•= 10100. 203.

sin x,

cosx и все обратные тригонометрические функции.

205. Нет.

Да,

206,

Нет,

207.

1) Например,

хя =

2 + 2 л л

и хя =

2лл.

2)

Нет.

209.

Если

а >

1, то

функция

при х->- + со

не ограничена (но не бесконечно

большая);

при

х - *— оо она

стремится к нулю. Если 0 < а <

1, то функция при / ч — оо

не ограничена (но

не бесконечно большая);

при дг-*+оо она стремится к нулю.

При

а = 1

функция

ограничена

на

всей

числовой

оси. 210.

1),

3)

и 5)

нет;