книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

dy_

у * - у г

, .

dx

хг — уг > У Iх 0

’

4336.

_dz_ _

г { х ± у )

I Z\x - Q --

1.

dx

х2—уг

I

d x

__

,

2х

1 Г ~

1

t

’

4337.

ж

= х + у ~ 1+т ~’

у -

272

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

dx

, ..

-df = z + y -

х(/-о — 1>

4338.

dy

ж

- * + х - у ,

=

- jf = х + У+ г>

^

У+ z, x \t-o = —1>

4339.

dy_

= z + x ,

у l/_o =

1;

~dt

dz

= x + y,

z\t-o = 0.

dt

вает пружину на

1 см, а центр масс

системы

шариков удален

От оси вращения на 10 см. Шарики

удерживаются в указанном

положении некоторым механизмом.

В

момент,

который считаем

началом отсчета

времени, действие механизма

прекращается, и

шарики приходят

в движение. Найти

закон движения каждого

§ 6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

273

4345.

Скорость роста культуры микроорганизмов пропорцио­

нальна их количеству и количеству питательных веществ (коэф­

фициент пропорциональности

равен k). Скорость

убывания пита­

тельных веществ пропорциональна наличному количеству микро­

организмов (коэффициент пропорциональности равен ki). В начале

опыта в сосуде имелось А0 микроорганизмов и В 0 питательных

веществ.

Найти

зависимость

количества А микроорганизмов

и количества В

питательных

веществ от времени

(fe > 0 , fti> -0).

N = — — —

,

(ек‘ +«-*<)*

где

М — наибольшее

число бактерий

и время t измеряется от

того

момента,

когда

N = M, k —некоторая постоянная.

4347. Два

цилиндра, основания которых лежат в одной пло­

над капиллярной трубкой. Поперечное

сечение сосудов S i и S 2.

§ 6. Вычислительные задачи

4348. 1 кг

воды, теплоемкость которой считается постоянной,

а

начальная

температура равна

б0,

нагревается

погруженным

в

воду

электрическим прибором, сопротивление которого R зави­

сит от

температуры 0 линейно:

R = /?0(1 + 0,0040),

где R0 —со­

Найти

зависимость между

температурой 9 и временем t

при

O ^ t ^ T ,

если:

1) Напряжение Е вводится

равномерно

от Е = 0 до £ =

в течение

Т с. Вычислить с точностью до 1

°С, на сколько граду­

сов повысится

температура воды к концу

10-й минуты,

если-

0о = О°С,

f ! =

110 В, /?0== Ю Ом и Т = 10 мин.

4357.

Линия задана уравнением y = f(x). Найти разложение

функции / (х) в

ряд, зная, что она удовлетворяет дифференциаль­

ному уравнению

у” — ху и начальным условиям у |*_о= 0 , у' |* _ о = 1 .

Вычислить

с точностью до 0,0001 кривизну линии в точке с абс­

циссой 1.

§ 2. РЯДЫ ФУРЬЕ

277

4384.

Показать, что тригонометрический многочлен

3[Пф + ££|ф+ ... + ! ^

2

1

1

п

на

отрезке [0, я]

имеет

максимумы в

точках

п -. ,

3 —5— , ...

Я “Г- I

И*(—I

. . . ,

(2^ — l ) ^ j

и

минимумы в

точках

^ , 2 - — , . . . .

(q— 1) 2*-,

где

п

п

четное,

и q = —2

1

q =

2 > если

, если п нечетное.

4365*. Доказать, что

тригонометрический многочлен без сво­

бодного

члена

§ 2. Ряды Фурье

4366.

Убедиться,

что функция «/= x3s i n ~

при

х ^=0 и у = 0

при х = 0

на

отрезке

[— я, я]

непрерывна вместе со своей первой

производной,

но не удовлетворяет условиям

теоремы Дирихле.

Можно ли ее разложить в ряд Фурье на отрезке [— я, я]?

Решить задачи 4367 — 4371

в предположении, что f(x) —не­

прерывная функция.

4367. Функция f (х)

удовлетворяет

условию

/(* + я) = — /(*).

Доказать,

что

все ее четные

коэффициенты

Фурье

раЕны нулю

(а0 = а , = Ьг =

а» =

&4= . . . = 0).

4368.

Функция f (х)

удовлетворяет условию

/(* +

я) = /(*).

Доказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье равны

нулю.

f(x)

условиям f ( — x )—f(x) и

4369.

Функция

удовлетворяет

f(x + n) = — f(x).

&i = Ьг = Ьа — .. . = 0 и a0= a> = аг = . . . = 0.

Доказать,

что

4370. Функция f(x)

удовлетворяет условиям

f ( —x) = — f ( x ) n f ( x + n) = — f(x).

Доказать, что

a0 = ai = a2 = ••- = 0 и

= &4 =

Ьс>— ., . = 0.

4371. Функция f(x) удовлетворяет условиям:

а)

/(— * ) = / ( * )

и /(* + я) = / (*);

б)

/(— *) =

— /(*)

и / (* + я) = /(*).

Какие из ее коэффициентов Фурье

обращаются

в нуль?

- З а —2 а —а

0

а

2 а

З а х

Рис.

72

4376.

Разложить

функцию у — х2 в

ряд Фурье: 1) в интервале

(— л, л), 2)

в интервале

(0, 2я)

(рис.

72 и

73).

В

задачах 4377 — 4390

разложить в ряд Фурье

данные функ­

ции

в указанных интервалах:

4377.

Функцию у = х2 в

интервале

(0, л) в ряд синусов.

4378.

Функцию у = х3 в

интервале

(— л, л).

4379.

Функцию f(x), равную 1 при — я - С Ж О

и равную 3

при

0 < ^ < л .

4380.

Функцию f(x ), равную 1 в

интервале (0, К) и равную 0

в интервале (h, л), в ряд

косинусов

( 0 < Л < я ) .

4381.

Непрерывную функцию f(x),

равную 1 при х = 0, рав­

ную

0 в

интервале (2h, я)

и линейную

в интервале

(0, 2/t), в ряд

косинусов ( 0 < Я < я / 2 ) .

4382.

Функцию у = \х\

в

интервале

(— /, I).

4383.

Функцию у = ех — 1 в интервале (0, 2л).

4384.

Функцию у = е*

в

интервале

(— I, /).

§ 2. РЯДЫ ФУРЬЕ

279

4385.

Функцию у = cos ах

в

интервале

(— я, я)

(а — не целое

число).

Функцию у = sin ах

4386.

в

интервале

(— я, я)

(а — не целое

число).

4387.

Функцию £/ = sin ах

(а —целое число) в интервале (0, я)

в ряд косинусов.

4388.

Функцию у = cos ах

(а — целое число) в интервале (0, я)

в ряд синусов.

4389.

Функцию y = shax

в

интервале

(— я, я).

4390.

Функцию у = ch х в

интервале (0, я) в ряд коси­

нусов и ряд синусов.

4391.

Разложить

в

ряд

Фурье функцию,

график

ко­

торой изображен на рис. 74.

4392*. Разложить в ряд

Фурье функцию,

график

ко­

торой изображен на рис. 75.

4393*. Разложить в ряды

Фурье функции, графики ко­

торых приведены на рис. 76

и 77.

4394. Разложить функцию

У= х(л — х) вряд синусов в

интервале (0, я).

Использо­

вать полученный

результат да

нахождения суммы

ряда

1 ____ _

л .

--------- Л

л -

'

( - !)" -

34

'

53

74l T

(2/1 — 1)4

4395.

Дана функция <р (х) = (я2 — л:2)2.

а)

Убедиться, что имеют место равенства

<р(— я) =

ф(я), ф '

(— я) = ф' (я)

и ф"(— я) = ф"(я)

[но

ф" (— я) Ф ф" (я)].

б)

Используя

полученные равенства,

разложить функцию ф (х)

в ряд Фурье в интервале

(— я, я).

280

ГЛ. XV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

в) Вычислить

сумму

ряда

1

-

1

_L } ___1_ т

( - !)" -

24

г

,

^

3» 44 -г •

4396*.

У

-^-i-sin/w

(k = 4).

П~ 1

/г3+ 1

v

'

GO

4397*.

^

( - D ^ S + T s i n n *

(A = 2).

Л —1