книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

ОТВЕТЫ

321

1R30.

^ p i ) +

C.

1837.

^ i i a r c t g J C — l + C .

18C8.

x лrccosjc- V

+ c -

1839.

x arctg / A — / i+ a r c tg Y x + C .

1840.

2 Y Y Y 1 arcsin A + 4 Y 1 — Jc+ C .

1841.

A - t g A '- ^ + l n l C0SJC' +

C-

A

1842.

4- ~

x sin 2A +

* cos 2JC+ C .

1843.

C — ^

lg (A Y e ) -

181-1.

Y

1 + л- arctg л:— In { x + Y 1 +

A2) -f- C-

1845.

2 ( Y x — / 1 — A- arcsin Y x ) + C.

^

1846.

A In (A3 - f - 1 )“

2A - f- 2 arctg x-\-C. 1S47.

c ~ 2

+

2

arctg *'

1848.

A1 ] a 1 +

F — I

/ (1 -h x->'+ C.

1849.

(*3+ l) 1п ( 1 + а)/3 — A3/ 9+ A2/6— А./3-f-C.

IS 30.

C —e~x (2Jr 2 x + x *).

1851.

ex (A 1— 3A- + 6A —6) + C.

1852.

ax (A-"/1 n a — 2x/ln- a +

2/1 n!|o) +

C.

1853.

C —A-3 cos x+ 3A= sin A+ 6A COS x —6 sin A.

1854.

— A4 -

--- x- sin 2A +

A x cos 2A —

sin 2A+ C.

6

4

4

°

1853.

а (1п! A —2 In A+ 2 ) + C.

1856.

C — ~ (In3 A+ 3 In* A f

6 In A + 6 ) .

1857.

C

27 | AJ

— In2 A -1-3 In A+ 2

4

1858.

A (arcsin A)-+

2 arcsin x

У 1 —A- —2A-|-C.

1833.

x

У (arctg A)2—A arctg A +

in (1 +

c'-)+C.

1880.

eAH n A -co s _ Q + c

, 861.

^'1 (sin2A —5 COS2A) +

C.

2

1«J

1862.

a- -j- a-

sill «A+ flCOS/!A)-j-C.

1863.

4 (sin In A—COS In A)+G

1884.

(cos In A +

sin In A) + C.

1865*. C — *

Y l -

A- -(-

arcsin а.

( положить d v= —^ = = ~

далее

--------

2

2

(*

\

\

1 — A*-

преобразовать к виду

I — x2

1 — x -d x

1

-

- dx.

J

V 1 — Aa

1856*.

■— Y a - -h A- +

I n (A +

Y a2+

A2) +

С. (Положить

и = У a - + x2-)

1837.

x — 2

+ C.

1868.

[(A" — 1) sin A — (A — l )2 cos A] ex -\~Cm

,

„

"2

A-j-2

1830.

2 {} T+T - 1 u (1 +

V"A + T ) ] + C.

1870.

2 J^v^T

6A2 -(- 8A + 1 6 ) +

C .

- (5 A3+

1871.

C -

11

A — 2 '

1872.

In Y x + l - l

+ c .

2 ( A - 2 ) ‘-

y i + i +l

1873.

2 Y ^ 2 + Y $ arctg j

/

"

C.

1874.

2 [> AA

- l n

( l + K

^

) ] +

C

-

*87 5 .

2Yaxr+c tgC .

ОТВЕТЫ

323

1916.

С — ^ ( 2 - З ж 4/3)6/5.

1917.

С —

*-1п| 1 + 3 * ? - * « | .

1918.

- | l n ( l + jc 3/2) + C .

1919.

С — In (3 + е " А').

1920.

С — arcsin е~х .

1921.

2 У 1 +

* г + 3 1 п ( * + / 1

+ х * ) + С .

1922.

-i [ 2 / 9 * 2— 4 — 3 In |Зле + / 9 * Г = 4 |]+ С . 1923. 2 sin Ух+С.

1924.

arcsin ^Д +С .

1925. C -- i In I 1 - I n 2 * |.

/ 3

2

'

1926.

-

]— - + In (* + / I s + T ) + C.

1927. (ar^

f

+t+ C ,

если n ф — 1,

и ln|arctg*|,

если

n =

— 1.

1928.

C — 2ctg2<p.

1929.

2 * — tg JC + A

1930. ~ t g * .x +

C.

1931.

~

/ tg T * (5 tg2 * + 9 ) + C.

1932.

(tg 3 * + l n

cos2 3*) + C .

Y - Y + , - ln ' , + |i + c - m l ' c " ? ^ I - f 5 = T ? '

Ш 5. >

2±

4X (£ - 1 ) _ + C

1936.

* / Г + 2^ - ~ / ( 1

+ 2 * )» + C .

1941.

4 - In ( 3 ^ - 1 + 1 / 9 ^ — 6 * + 2 ) + C .

1942.

— arcsin ^ ^ +

C .

3

3

у 2

1943.

C — 8 / 5 +

2 x — x - — 3 arcsin y ^ - .

1944.

J -

In (jc2+ 2 jc+ 2 ) + arctg

1945.

.

* + l

C — У 3 — 2 x — * 2— 4 arcsin

1946.

[in (4*2 -

4 * +

17) + - - arctg

] + C.

1947.

3 / * 2+ 2 * + 2 - 4

In (* + 1 +

/ * 2+

2* +

2) + C .

1948.

I

.

n

^

+ C .

1949.

\x — 3|

~

/ 9

* 2 + 6 * + 2 + -g- l n ( 3 * +

l +

/ 9 * 2 +

6 * + 2 ) +

0 .

1950.

C — I n

|2 * 2 — 3 * +

1 (.

1951.

~

arctg

in (5*2 +

6 * - b

18)+ C.

1952.

61 In |8 * +

9 +

4 / 4 * 2 + 9 * + l | - |

/ 4 * 2 + 9 * +

1 + C .

16

1— ‘

‘

'

1

'

4

__________

. i

/ 3 * 2 - ll * + 2+ ^ - l n | * - 61 + | / r ^ - ^ * + T

1953.

3"

+ 0 .

1954.

i

/ 2 *2 +

3 * -

In ( « + { + / « ■ .

+ T ) + c -

4 / 2

324

ОТВЕТЫ

1955.

\г (а — х) (л: — b ) ~ ( a ~ b ) arctg

1956.

x a r c t g x - l n (l+ jc 2 )+ C .

1957.

A

sin2x — i

x c o s 2 * + C -

1958.

- 3 [(bi-x2— 2) sin <ox+

2<ox cos oo.v] + C.

» : ' “ ( r » * - ,

к

1960.

tg x ln c o s x + t g x — x+C. 1961. I n ; In sin x | + C .

1962.

! [ l n

( l +

* * ) + T - L

- (] + C.

1963.

- i- (ln | t§ ^ | + C o s 3 .) + C .

1964.

I t g

^

+

I ^

+ C .

1965.

C— i ln | + C 0S; A:.

1966. l n - j ^ + C .

о

2 — cos2x

ел +

1

1967.

2 1 n (e* /J - f />— xl'r) 4

. C .

1938.

<*X +

C .

1969.

- - i r x, + C .

1970- ^ [ з 1п( ^ + №

) +

l

(хг-2 )\ П + *\ +C.

1971.

х - У П ^ Р а г с я п x+C.

1972. C - | - ^ - g ^ + c t g x ^ .

1973.

e*

/,

2 sin 2x +

'

j+ C .

1971.

-^ (tg x +

ln | tg x ;) + C .

^

f 1 -

- Sm ?Jrj " C0S

' *

2

\

5

1975.

In |sin x +

cosx |+C,

1976.

ln | * g ^

+

g j

+C.

1977.

se c * — tg x +

x + C , 1978. sin x — arctg sin x-\-C.

1979. У 2 In tg-

+ C .

1980.

In x In In x — In x-|-C,

1981.

e*~ (x2— 1) +

C.

1982. С

- '

e - * V

+

2 *s + 2).

1983.

(x2-

1) V T + 2 T 2+

C.

1984.

C —

3>

-

- - arcsin .v.

2 /1

-

.v-

1985.

r

/

(A2-

a2)3 — ~ V (*2 — a2)3 -f a4У *- -

a2 + a5 arc sin :

- + C.

О

О

i x

1

1988.

V

± t

*

.ij£ =

:S

+ e .

1987.

! f e = 5

! i +

c .

,988.

1990.

I

[ Г *3 -

In ( У *3 +

l)]-)-C .

1991.

* + 4 ]/^ТТ + 41п(}/Г + * - 1 ) + С.

1992.

2 arctg У 1 + * + C.

1993.

In

,+ C .

1991.

У х 2+

2* - Н п | * + 1 + У * г + 2х| + С.

(V x-M )1

1995*.

8 ( 1 — x-)*

|-C. (Удобна

подстановка

x =

sinu.)

1996. —

arctg l / - - | - C .

1997.

C

(1+**>)3/-

I2xla

*

j/flb

Г

b

1998.

— --------- 4 -C .

1999.

х = У х М - 4 - 1 п (х 2 + У 1 « + 4 ) + С .

2 У 1 - x *

4

ОТВЕТЫ

2000.

/ л - 1

+

С.

2001. С

3 F

ля

arcsmin Y x? •

Г * - !- I

З.с

У

2002.

3 arctg x

^

4 ( 1 - Ь * 2 ) - 2

8 ( 1 + * = ) +

8

2003.

(—

' l)/arCtf'-

— 2 V x + C.

2004.

arcsin ex ~ Y

l - е - л + C.

V x

2005.

2 \r ex -

1 — 2 arctg V e x — 1 +

C.

2008* ■c -

/

(

'

+

7 подстановка

u = 1 +

2007.

„dg H

- j - i +

C .

2008.

л- arccos "j/~ — p-j

f

Y x — arctg Y x

! C.

2009.

X IП(л: +

V T T x h

-

Y

+ C.

2010.

55 / t g 5 A:(5 t g ^ + l l J + C .

2011.

V'2 (tg2A ;-b5)lAt g x + C .

2012. In

l * + 4

-vc.

V 2 x + \

2013.

In [Lx -

2)- Y Z x + 1 ] +

C.

2014.

(л: — l)4 (r — 415

In |------

-V C .

2015.

j j

In ! Зл:+ l 1+ 3^3 In |2л: —3 ! — У In ! л: 1+ C-

2016.

+

,, + 4* + ln

л-2 (v — 2)5

+c.

U + 2f

2017.

- ~ x - l - t n U i ~ 1-g ln !2 » :— 1 ! — ~

In |2 ; : + l !-f C.

2018.

In |2 c — 1 ! — 6 In j 2л: — 3 ! + 5

In |2л:— 5| +

C.

2019.

In Y

‘i Y

i +

c -

1“ 1Пx — V 3

2020.

—

- I n

x — Y 2

2 У 2

\x - V2 + 2 / 3

x + V 3

2021.

x-

. i

(A — 2) / (.c — 1) (л:+ 1)-

+ C.

2'~h ,n

x + 2

2022.

In

x2

+ 7 7 y l

C.

x + 1

x

-j- 1

2023.

4 In |x

[-

3 In |x -

, ;

-

+

-1

+ c .

2024.

_ L

2 + lniA: +

, ! +

C.

2025.

x +

i + l n ^

+

C .

326

ОТВЕТЫ

2032.

1

, , / ( * - ! ) ( * - -3)

+С.

х-- Т +

1*1

1033.

3 —

In |х 1+ 20 In I х — 3 |— ~ In |* — 2 |+ C.

Тх

I

Ш! т А |-

7

(* + й ) ~ 2 ( ^

2j + C - 203S' C“ (F ^ T p *

T ^ ? q n

6

*2- * + l / 3

-+c.

/ 3

2038.

1

|x —■1

|

i

1

+ C .

_L in

1

— +

“7 = arctg — —

з V lp+ Z + i

V3

V3

2039.

In

№

- г * + Ж .+ '.2 т 1г’- =

-C,

IJC— 1 |

\2

I ЛГ

— arctg * + C .

2040.

f ^ + i t + l n

^ :2 +1

2041.

T In

i + £

1

arctg x + C .

1 — *

2045.

4 — 2* — — + 2

In (A:2+ 2* +

2) — 2 arctg ( * + 1) +

C .

2

^

3 / 2

. x / 2

2046.

In

*2 + 4 , 3

arcia 2

-C.

/ *

2

— T>— arctg —н—

*2+ * / 2 + 1

2047*.

.1 .

/ 2

,

x / 2

-С . (В знаменателе подын-

— — In —

arctg:

4. /r 2_

A:2- - * / 2 + 1 ‘ 4

l - * 2

тегрального

выражения

прибавить

и вычесть

2* 2.)

2043.

_ 2 - * _

М * 2 + 2) _

1

arctg *

+ с .

4(*2+2)

‘

2

4 / 2 “‘" ь / 2

2049.

1

In 1* |- 1

1п (*2+ 1) + ~

In (*2+

4) -

- -С .

2050.

13х~ 159

■ g a r c t g ^ i + C.

8 (*2- 6 * + 1 3 )

-

18* +

8 ,

,,

2051.

3

. . . . .

5а^+ 1 5*2 +

■Я

arctg ( * + D

--------8 (** + 2* + 2 j ~

+

t -

2052.

X

X

1

JC

216 (*2+ 9)'+

36 (*2 + 9)2 +

648 arctg 3“ + С’

-

6 -/ + 1) + -д-(^+1)5/в- ^ / +

l ) a/3] + G.

2071.

/

! +

*

- /

! - *

+

2 . , d 8 / |

^

+

C.

In

l +

* + /

/

l - *

2072.

( / * — 2) J/ T ^ * — arcsin / * +

C.

2073.

6 / (1 +

*)2 p ? 1 x)2

— H

* _L K l +

*

+ т ] + с -

|Ц2_1

16

2074.

In /ц4+ц2-[- i ; + / 3 arctg i ±

f f ! +

C,

где

u = | /

2075*.

4Ло

+

С.

Умножить

числитель

и знаменатель

дроби на

- l /

* +

з К

2 ^

\/ х — 1 и вынести

множители

за знак радикала.

2076.

l * /

*

+ ^ * ° / * 5 + ^ j* 2 e/ * + - | *2 / * + 1 * 2 / * 5 + С .

2077.

3

In

V i

+ -

■Vi + 3

\+с.

1 + / *

.

.

2 d + / * ) 2J

2078.

1

In C / x 2 + 1 -

1)

-

1 In [/ (*2 + 1)2 + / * 2 + 1 +

l] +

,

/ 3

2 у *2+ 1 +1

+

V arctg

+o.

328

ОТВЕТЫ

2079.

2 0 8 0 .

4-1

1

... .. . 2и 4 1

/х 3-И

- r ^ - arctS ~ ^ r - + C,

где

J/3

2 0 8 1 .

2082.

1 i/r ^ j 4+ 1 _ J. ill

4 ,n L— 13

4

2 0 8 3 .

(4 / i + I х -

3) V

1 + V '*+ C .

K / O

+ г’)2+ х y i + *3 + *2

2 0 8 7 .

2 0 8 8 . 2(n3+ l )

In

Ц +

1

2 / 3

arctg

V'uS— И+1

1-x»

где u = J /

2 0 8 9 .

r v z i _ 3 v

1(1°

Зу'ы» .

¥ ]

+ c.

где

u = 1 + y' x-

12[

13

10

^

7

1

l

1

2090 .

cos3 A (3 cos2A — 5) +

C.

2091 .

-C.

COS A

2098.

16 x ~r

Г-> s" 1

^eos4 * +

4 cos2x -<r

g j + C.

2099.

л — 3

ctg3 A -fctg A -J-C.

2100 .

4

lg4 * — у

In | coex| + C .

2101.

X — j

Ctg2 X -j- g

ctg3 A—J Ctg3 A+ ctg A+c.

2102.

.

1

C - 2

shi2 A

2

ln

j ‘ S

y

1 In

1 + tg A

1

2103 .

1 —tgA

+

2 sin A cos A +

C.

ОТВЕТЫ

329

21М- С- Т Т ! ^ -

г' 05'

¥ ' " | , s (-S + J ) l +C

2106.

. In

х + arctg -

In I C sin x |

tg-

2

+

C

2107.

У a- + b2

Y cos 2x

2П 8.

l n - - i (? s'n x L

. 2109. 4 - [ ^ + ln !

sinjc+cos.v!|+C .

l / l — 4 sin2 x

2

5 t g |

+ 4

2110.

l2

arctg (2 tg

X2 ) + C .

2111. |

arctg

-C.

2112.

ln(2 +

cos*) + ^ a r c tg ^ L t g | - j + C.

2113.

C0S * ^

; -

sin- ^ -

I

In |cos

sin x l+ C.

2 1 , 4 ‘

25 X — 2 5 ln ^t g x + 2 l +

5 ( t g l +

2)

— 25

1,11 co s*

2115.

cos 2 x — 15

.

4 sm2 x + 1

, n

(4 +

sin 2JC)

^ J5 j/

15

arcsm-T—--- :—^—

[-C.

4 + sin 2x

2Ц 6.

-------!---------2**7. J

arctg (3 tg x )+ C ,

2 - i g

J-

2118.

~ a ;c t g ( K 2 t g x ) +

C.

2119.

-

t g * + - V a r c t g ( / 2 t g * ) + C .

212!).

\

arctg

2

2 у 2

ao

о

2121.

С - 1 1 ctg^+r!= arctg

' W

2122.

In — IV tgZ EU ------- l ^ aretgg .t ^ ± i

+ f i

V t g - X + t g X + l

3

“

/ 3

2123.

2 ^sin *

— cos * - j+ C

для значений x, удовлетворяющих неравенству

sin x - f cos *

3 =0, и — 2 ^sin ^ — cos ^ j + C

для значений x. удовлетворяющих

2124.

2 / t g x + C .

2125*.

C -----g— V ctg4 x. (Положить a ^ c t g * .)

2126.

4{/ t g T + C .

2127.

щ

In (j/ 2 t g * + J ,r l + 2 tg2 *) + C.

2128.

2 arcsin ]/~sin .v+ C .

2129. C — -?

tg x (2 + t g 2 x) \/~f-

2130.

- >

4

, /

x

1 + l/ " Cos'2'

= + 2 arct§ |/ C0S 2— ln---- - +C.

} /

“ 5 2

l - ] / cOS 21