книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

171

2782.

J

+

i

+

...

+

^

+ ...

2783.

1

+

^

+

... +

£

+ ...

2784*.

sin

“ +

sin -J- + . . . +

sin £ + . . .

2785.

lim а~ -

0.

2786. lim ^ 11

п-*оо«1

П-*оо а

2787.

Пп

0.

lim 77г—тт-=

2 Ш - , l Z w

Л- c o W

2789.

« « ■ " г

- 0 .

я- * 00 Л

2790.

1

1)

л + 1 .

1

+ . . .

2п — 1

2791.

1

-

i

+

'-- +

( - 1)n+1( 2

^

+

1

г792-

Е

2

-

Й

+

"

+ < - ' >" ■

!„ (» + !) + ...

2793.

sm а

sin 2 а

,

,

sin па

I

Г •■ • Т

п2

2794.

у

~

i

l

l

■& + •••+ (— 1)*+l j

' & +

2795.

2

- 4

+

... +

(— 1)Л+1 я+1 +

•••

2796.

+ j 7 5 -

"

+ < - |) 'j 7 j +

" '

2797.

*

+••• +

(—

+

2798- 2 £ й г

(-')* * ■ ? •

n = 1

п=1

172

г л .

ix. р я д ы

СО

СО

2800.

Показать,

что

если

ряды ^

а« 11 2

Ь\

сходятся,

то

со

П= I

/1=1

ряд У] апЬп абсолютно сходится.

/i = i

со

ап

2801.

Показать, что если ряд

^

абсолютно

сходится,

то

Ci

я = 1

п

- пп также абсолютно сходится.

и ряд У

п= 1

§

2.

Функциональные

ряды

Сходимость

функциональных

рядов

В задачах 2802—2816 определить области сходимости рядов.

2802.

1 + х

+

... +

хп + ...

2803.

In x-f ln2x + ... + !n'!x + ...

2804.

* + **4 -...+ *»*+ •■■

2805.

V-

Jf'l

X +

5 S + . . . +

3 + ...

2806.

I

X‘2

I

-

r

*"

I

X +

y

i +

+ y ^ + - “

2807.

^ +•

2808.

2x -)- 6x2 + . . . +

n (n +

1) x" + . . .

280Э.

x 4

-

4

-

•

••4

-

•

2

2 + 1' 2

/1+Уп

2810.

Л___ 1___ f!___ L

. Л-----*L-------L .

1 + A - 2 ^

l +

A

- ‘

“

^

l +

* a?!

~

2811.

sin * 4 - sin

| - 4 -...4 -s in 2-„ 4 - . . .

2812.

x tg

fy +

x2 tg

4

4 - ■- 4-

tg as 4-

2

г

*

‘6

2813.

sinx

sin 2x

.

sin I I X .

22

2814.

COS X

,

COS 2 A .

.

cos nx .

•••

сл

1

e~x—

+i

•••■ +■

gii.

+

2815.

<rx 4- e~*x 4 - ... 4-e-n2x4-

2816.

4 - j a i - 4 - - * - 4 - ^ - 4 - > - '

5 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

173

. . Sin X .

sin пх

2817.

1+-ГГ + -

n!

w

l

sin ItX

-nsx‘

2818.

2819.

2

2820.

n = 1

2"

2

«2

n = 1

1

2821.

Показать,

что

ряд

4 + [ф(*)]Г

1+[ф(л-)Р +1

. . . , n-2| 1 (je)j2 i •••

сходится

равномерно

(правильно)

в любом

2822. Показать, что р я д ~ т ^ = -+ „ >-1—==- + ••• +

---■ I-— = + ■..

^

VlA-x

2^1 +2х

2n~1Vl-\-nx

Т-,

l n ( l + x ) ,

ln (l+ 2 x )

,

, ln (l+ n jc)

,

2823*. Показать, что ряд

■■■■■-!—

"'2^

+•• ■ч------K^~L + ••■

равномерно

сходится

в

полуинтервале

1 + со =е;л;< + с о ,

где

со —

любое положительное число. Убедиться, что при любом

х из

отрезка 2 -с х

100 достаточно

взять восемь членов, чтобы

полу­

чить сумму ряда с точностью до 0,01.

2824. Показать,

что

ряд

2

* “ ( 1 —х) сходится

неравномерно

на отрезке

[0,

1].

п = 1

2825. Функция f(x)

определяется

равенством

/ (* )=

2

cos пх

-Щ Г-

Показать,

что

функция

/ (х)

определена

и

непрерывна

при

любом х. Найти /(0), / (-ту)

и /(-д-).

Убедиться

в

том,

что

для

вычисления

приближенных

значений

функции f(x)

при

любом х

с

точностью до 0,001

достаточно

взять

три

члена

ряда.

Найти

с

указанной точностью /(1)

и f

(— 0,2).

2826. Функция f(x)

определяется

равенством

1

1

f(x)-.

1+* 2

я= 1

1 + (х+ ш а)а +2тп 1 + ( Х

— П О ))2

(о > 0 ) .

в интервале

(— 1, 1) сумму

ряда

уЗ

у?

* 4 Я - 1

Т +

Т

+

- -

4n — 1

2828.

Найти

сумму

ряда

хт-

4/1 — 3

2829.

Найти

сумму

ряда

л?

**

f

. •• + ( - ! ) я+1.

ХПП

1-2

2-3

|

| v

*/

n («Ц- ij

2830.

Функция f

(х) определяется равенством

/(х) = е-* +

2е~2х+

•••+

пегпх+ . . .

Показать,

что функция f(x) непрерывна на

всей

положитель-

I n

3

ной полуоси

Ох. Вычислить ^ f(x)dx.

2831.

I n

2

Функция f{x) определяется равенством

/ (*) =

1 +

2 •Зх + . . . + п ■Ъп1хп~1 + . . .

Показать, что функция /(х) непрерывна в интервале (— 1/3, 1/3).

0 , 1 2 5

Вычислить

5

/ (х) dx.

о

определяется

равенством

2832*. Функция f (х)

/ W = - jt g | + f t g ^ + . . . + 2 jt g ^ + . . .

ft/2

Вычислить

5 / (x )dx,

предварительно

убедившись

в том, что

функция /(х)

я/б

в заданном

интервале интегрирования.

непрерывна

оо

2833*. Функция

/(х)

определяется

рядом

f (х) =

^

Показать,

что

функция

f(x)

непрерывна

на всей

а —1

числовой оси.

-f оо

Вычислить

$

f (х) dx.

о

1

2834.

Исходя из соотношения

^ xndx =

, найти сумму ряда:

о

I

§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

175

+ ОО

2835.

Исходя

из

соотношения

^

= гГ2 *'

на“™

сумму

I

ряДЭ j .2

+

2 .2а “г ' - ■“г п .2»

‘ ‘

2836.

Исходя

из

соотношения

П/2

(2п — 1) (2п— 3) •

3

•1

cos2nxdx =

2я (2* — 2) — -4-2

*

найти сумму

ряда

Т

1.3

1 -З-.... (2п-1)

- &

! + ••• + <— D -*1

2- 4. . . .-2п

2837.

Доказать,

что

ряд

sin 2ях ,

sin 4ях

,

,

sin 2пях

2

| 4 ' “1“•* * '

2и

равномерно сходится на всей числовой оси.

Показать, что этот

ряд нельзя

почленно дифференцировать

ни в каком

интервале.

2838.

Исходя

из

равенства

1 + х + х2 +

... =

i^ -j(| x | < ;l), про­

суммировать

ряды

! + 2 х + Зх2 +

... + /«,г' 1 +

. . .

и

l + 3 x + ...

. . . + —Щ[ —- хп-г ...

и показать,

что

ряд

1 - f 2х + . . . +

nx*-1 + . . .

равномерно

сходится

на ®трезке [— р, р],

где

|р|<1.

2839.

Показать

справедливость равенства

1 .

2х .

. тх™-1 .

1

Т+Х +

1+*2 + • • • +

1+л;т “Г -------1—* >

где т — 2Пг~1 и — 1 < х <

1.

y = f (х), определяемая

2840.

Убедиться,

что

функция

рядом

*3

•••+

%tl

•••.

удовлетворяет

соотношению

ку ~

х + * а + 2 f +

JZ fjj- +

§ 3. Степенные

ряды

Р а з л о ж е н и е ф у н к ц и й в с т е п е н н ы е р я д ы

2841.

Разложить функцию у = 1пх

в

ряд Тейлора в окрестно­

сти ТОЧКИ

Х = 1 (при

Ха =

1).

y = l^xa в

2842.

Разложить

функцию

ряд

Тейлора

в окрест­

ности точки

х =

1.

у =

1/х

2843. Разложить функцию

в

ряд Тейлора в окрестно­

сти точки

х = 3.

2844.

Разложить

функцию

y = s in ^

в

ряд Тейлора

в окрест­

ности точки

х = 2.

176

г л . ix. р я д ы

В

задачах 2845 — 2849

разложить данные функции в ряд Тей­

лора

в окрестности

точки

х = 0

(ряд Маклорена):

2845.

i/ = chx.

2846.

у = х2ех.

2847. y = co s(x + a ).

2848.

y = e*sinx.

2849.

y = c os x c hx .

В

задачах 2850 —2854

найти

первые пять членов ряда Тейлора

для данных функций в окрестности точки х = 0.

2850.

у = \п(1+ех).

2851.

y = eC0SJ£.

2852. y = cosnx.

2853.

у = — In cos х.

2854.

у = ( 1 + х ) * .

лорена функции

ех,

sinx,

cosx,

l n ( l - f x )

и ( l + x ) m.

ех— 1

при х +

, п

2855.

у = е2х.

2856.

у = е - * г.

2857. у =

——

0,

1

при х = 0.

—- X®

2858.

У =

^

—

при х+=0,

2859.

у = sin у .

1

при х = 0.

y == cos2x.

( sm x

при

x=+0,

2860.

2861.

y = {

x

{

1

при x = 0.

2862.

= (x — tgx) cosx.

y =

2863.

y == In (10 + x ).

2864.

y = x l n ( l + x ) .

2865.

y == V \ + x*-

2866.

II

00 1 X

2867.

11-

1

2868.

X2

V

y r + x 2 ‘

J + f - x 2 ■

2869.

Разложить в ряд Тейлора функцию

у = - 1 *4*х

в окрест-

ности точки

х = 0.

Воспользовавшись

этим

разложением, найти

сумму

ряда

1 + 1 + • • • + 2^ г + ---

2870. Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти

значение:

1) седьмой производной от функции у -

при х = 0 ,

2) пятой производной от функции

у = Х2 У

1 + х

при

х = 0,

3) десятой

производной

от функции у = хс‘ех при х =

0,

4)

кривизны линии у —х[|+(1 + *)4 — 1] в

начале координат.

В

задачах

2871 — 2877,

пользуясь разложением функций в ряд

Тейлора,

вычислить

пределы:

2871.

lim

х + 1п ( К 1+ х8 — х)

2872

j im 2 ( t g x - s in x ) - x 2

**

‘

'

х—О

*4-

х -0

2873.

Нш

In (1 + X+X*)+In(l —x + x 2)

x (e* — 1)

х -»о

§ 3. СТЕПЕННЫЕ. РЯДЫ

177

2874.

lim |х — x2l n( l +

2875.

l i m ^ — ctg2 x).

2876.

* - o ' x

x I

2877.

lim (— 5—

-

x~*o\x^Sinx

x4

2879.

x - 52+ . . .

+ ( - l ) n+1f

+■••

2880.

х2

хп

1 ’ **

* + 2 о + ---~г я-ю л-1

2881.

1 4 - х 4 - . . . + « и п +

-.-

2882.

1 4-2x24 -...4 -2 n-1x2l,1-1’4 -...

хгп-1

2883.

* - т г ^ + - - - +

(— l)n+1-

- (2/г— 1J1 1

3 - 3 ! ...................

'

(2 л — 1)

2884.

1 + Зх+ ... + (п -

1) •З^х*-1 + ...

2885’

,Т£ 2 + А

+ -

+ м 5 1 Т + -

2886.

(2x)‘l

(пх)п

исследовании сходимости

х+Чтт-4-...4-^-гт-4-... При

21

1

га!

п !:

’(т У V 2 i w .

2887.

x + 4 x » + . . . + (nx)» + . . .

2888.

______________

1п(га+1)

х ^ Ч - ,..

1^2 хг + ^ х 3+ . . .

2889.

2 х + ( 1 х ) Ч . . . +

[ ( ^

) ^ ] П+ . . .

2890.

Функцию у = 1 п (х + У

1 Ч-*г) разложить в ряд Тейлора

180

ГЛ. IX. РЯДЫ

J t / 4

|/4

2930 •

i

@ члена).

2931.

$ e~xldx

(3 члена)

п/6

1/2

( e*-dx (6

2932.

•7 d- —

(2 члена).

2933.

членов)

оoJ ^ 1 + J £ l

0Г1

у^з/з

х3arctg xdx (2

2934.

^

члена).

В задачах

2935 — 2933

вычислить с точностью

до 0,001 инте­

гралы.

Ol 2

0 , 5

_

о 4з

2935.

| 5

dx.

2936. (’

arctg х dx.

2937.

]j x10sinxdx.

0.1

}

Х

0 . 5

2944.

Вычислить ^ \/cos х dx с

точностью до 0,001.

о

Р а з н ы е з а д а ч и

2945.

Вычислить площадь,

ограниченную линией у* = х3-f 1,