книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf
|
S I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
251 |
|
3969. |
Пусть уг |
и </а —два различных решения уравнения |
|
|
|
y' + P (x)y = Q(х). |
|
а) Доказать, что у = yt + С (у2— yi) является общим решением |
|||
того же |
уравнения |
(С — константа). |
|
б) При каком соотношении между постоянными а и Р линей
ная комбинация ayi + fy t |
будет решением данного уравнения? |
|||||||
в) |
Доказать, что |
если |
уз —третье |
частное решение, отличное |
||||
от yi |
и у2, то отношение |
|
постоянно. |
|
X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3970. Доказать |
тождество |
(см. |
задачу |
2345) |
$ e2X~zl Аг = |
|||
|
X |
|
|
|
|
X |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
йг, составив |
для |
функции I (х) = |
$<?**-**<& |
диффе- |
|||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
ренциальное уравнение и решив его. |
|
|
|
|
||||
3971. Найти линию, у которой |
начальная ордината |
любой |
||||||
касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная ( = а®).
3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника,
образованного |
осью абсцисс, касательной и радиус-вектором |
точки касания, |
постоянна ( = а2). |
3974. Точка |
массой, равной т, движется прямолинейно; на |
нее действует |
сила, пропорциональная времени (коэффициент |
пропорциональности равен к{), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен к). Найти зависимость скорости от времени.
3975. Точка массой, равной т, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была v0 (коэффициент пропорциональ ности равен к). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное щюизведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен kY). Найти зависимость скорости от времени.
3976. Начальная температура тела 0в °С равна температуре окружающей среды.. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: ар (t), где с — постоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды).
Найти зависимость температуры тела от времени, отсчитываемого
от начала опыта.
2 5 2 |
Г Л . X IV . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
Решить задачи 3977—3978, учитывая, что если переменный электрический ток 1 = 1 (t) течет по проводнику с коэффициентом индуктивности L и сопротивлением R, то падение напряжения
вдоль проводника будет равно L ^ + R l.
3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно
падает от £ 0 = 2 В до £ х = 1 В |
в |
течение |
10 с. |
Каков будет2 тОк |
||
в конце десятой |
секунды, |
если |
в |
начале |
опыта |
он был 16 у А? |
Сопротивление |
катушки |
0,12 |
Ом, коэффициент индуктивно |
|||
сти 0,1 Гн.
3978. Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление ее R, коэффициент индуктивности L, начальный ток /0 = 0, электродвижущая сила меняется по закону £ = £ 0sinoi)£
Р а з н ы е з а д а ч и ( у р а в н е н и я е р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и ,
о д н о р о д н ы е и л и н е й н ы е )
В задачах 3979—3997 найти общие решения уравнений:
3979. |
у' = |
Х1 ±^ ±У \ |
|
3980. |
хгйу + |
(3 - |
2ху) dx = 0. |
|||
3981. |
* ( * 2+ l)*/ ' + </= |
* ( l + * 2)2. |
|
|
|
|||||
3982. |
у ‘ |
у+ 1 |
|
|
3983. |
у’ = |
1+г/2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
3984. |
(8у + |
1 Ox) dx + |
(5у + 7x)dy = 0. |
|
|
|
||||
3985. |
х3у' = |
ц(у2 + х2). |
3986. |
|
|
|
||||
3987. |
(х — у cos |
dx + |
х cos -у- dy = 0. |
|
|
|||||
3988. |
у' = е2х —е*у. |
|
3989. |
dx |
_ |
dy |
||||
|
x *— x ii+ y 2 ~ |
2y‘l — xy‘ |
||||||||
3990. |
d.y |
|
|
ТГ. |
3991. |
(x — 2 x y — ^)dy-s-yidx=d. |
||||
|
|
ах |
* cos (/ 4- sin |
2у |
|
|
|
|
||
3992. |
j/' + |
</cosx = sin x co sx . |
|
|
|
|||||
3993. |
( x + l) y ' —ny = e*(x+\)'»i . |
|
|
|
||||||
3994. |
ydx = ^ - x ) d y . |
3995. |
(^ )* - |
(x + y) d£ + x y = 0. |
||||||
3996*. yy' sinx = |
co sx (sin x —y*). |
3997. y'= (x+ y)2. |
||||||||
3998. |
Убедиться |
в том, что интегральными кривыми уравне |
||||||||
ния |
(1 — х2) у ' х у = ах |
являются эллипсы и гиперболы с цент |
||||||||
рами |
В точке (0, а) |
И ОСЯМИ, параллельными координатным осям, |
||||||||
причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, длина кото рой равна 2.
В задачах 3999— 4002 найти частные решения уравнений, удов летворяющие указанным начальным условиям:
|
|
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
253 |
||
3999 |
У — ху' |
2, |
U \ x - l = |
1 . |
|
х + уу' |
|
||||
4000. |
- y J L - = 1+х\ |
у U-0 = |
1 - |
|
|
4001. |
(1+ ех) уу’ = е“; |
у U—= |
о. |
|
|
4002. |
у' = 3хгу+ х*+ х2; |
У |х-о = |
1. |
|
|
4003. Доказать, что только прямые у — kx и гиперболы ху = т обладают следующим свойством: длина полярного радиуса любой их точки равна длине касательной, проведенной в этой точке.
4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорцио нальна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности равен k.
4005. Найти линию, у которой любая касательная пересе
кается с осью |
ординат в точке, одинаково удаленной |
от точки |
|
касания и от начала координат. |
|
||
4006. Найти |
уравнение |
линии, пересекающей ось |
абсцисс |
в точке х = 1 и обладающей |
таким свойством: длина поднормали |
||
в каждой точке линии равна среднему арифметическому коорди нат этой точки.
4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образо ванной осями координат, ординатой произвольной точки и каса тельной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.
4008. Найти линию, для которой площадь, заключенная между
осью |
абсцисс, |
линотй |
и двумя ординатами, одна из которых |
||||||
постоянная, |
а другая — переменная, |
равна отношению куба пере |
|||||||
менной ординаты к переменкой абсциссе. |
|
|
|||||||
4009. Найти линию, для которой площадь фигуры, ограни |
|||||||||
ченной |
осью абсцисс, двумя ординатами и дугой ММ' этой линии, |
||||||||
пропорциональна дуге ММ' при любом выборе точек |
М и М '. |
||||||||
4010. Найти •линию, для которой |
абсцисса центра |
масс кри |
|||||||
волинейной |
трапеции, |
образованной |
осями |
координат, прямой |
|||||
х = а |
и линией, |
была бы равна За/4 |
при любом а. |
|
|||||
4011*. Найти линию, все касательные к которой проходят |
|||||||||
через данную точку (х0, у0). |
|
|
|
|
|||||
4012. Найти линию, проходящую через |
начало координат, |
||||||||
все |
нормали |
к |
которой |
проходят |
через данную точку (х0, у0). |
||||
4013. Какая линия обладает следующим свойством: угол, со |
|||||||||
ставляемый |
с осью Ох касательной |
|
к линии |
в любой ее точке, |
|||||
вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания.
4014. На |
тело массы m = 1 действует сила, |
пропорциональ |
ная времени |
(коэффициент пропорциональности |
равен kj). Кроме |
того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное
скорости тела (коэффициент пропорциональности равен fe).
Найти закон движения тела (зависимость пути от времени).
4015. Частица падает в среде, сопротивление которой про
порционально квадрату скорости частицы. Показать, что урав
234 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
нение движения будет ^ — g —kt?, где k— постоянная, g —уско- рение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и пока»
зать, что |
v стремится |
к V g /k при /->-f-oo. |
4016. |
Сила трения, |
замедляющая движение диска, вращаю* |
щегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости враще ния.
1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 обо рота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин
после начала |
вращения? |
|
||
2) Диск, |
начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборо |
|||
тов |
в секунду, |
через 2 мин вращается е угловой |
скоростью 3 обо |
|
рота |
в секунду. Через сколько времени после начала вращения |
|||
он будет обладать угловой скоростью, равной |
1 обороту в се |
|||
кунду? |
|
|
|
|
4017. Пуля |
входит в доску толщиной /i= 0 ,l |
м со скоростью |
||
t»o = 200 м/с, |
а |
вылетает из доски, пробив ее, со |
скоростью 0г = |
|
= 80 м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движению
пули |
пропорциональна |
квадрату |
скорости движения, |
найти, |
|||
сколько времени продолжалось движение пули через доску. |
|||||||
4018*. Капля воды, |
имеющая начальную массу Af0 г и равно |
||||||
мерно |
испаряющаяся со скоростью т r /с, движется по |
инерции |
|||||
с начальной скоростью |
vQсм/с. Сила сопротивления среды про |
||||||
порциональна скорости |
движения |
капли |
и ее радиусу. В началь |
||||
ный момент (/ = 0) |
она |
равна /0Н. Найти |
зависимость скорости |
||||
капли |
от |
времени. |
|
|
начальную массу М0 г, равно |
||
4019*. |
Капля |
воды, |
имеющая |
||||
мерно испаряющаяся со скоростью т г/с, свободно падает в воз
духе. Сила сопротивления |
пропорциональна скорости движения |
|||||
капли (коэффициент пропорциональности равен к). |
|
|
||||
Найти зависимость скорости движения капли от времени, |
||||||
протекшего с начала падения капли, если |
в начальный |
момент |
||||
времени |
скорость |
капли |
равнялась нулю. Считать, |
что |
кф 2т . |
|
4020*. Решить |
предыдущую задачу для |
капли |
сферической |
|||
формы, |
предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорцио |
|||||
нальна произведению скорости капли и площади ее поверхности. Плотность жидкости у. (Привести к квадратурам.)
4021*. Если в каком-либо процессе одно вещество превра щается в другое, причем скорость образования продукта пропор циональна наличному количеству превращающегося вещества, то такое явление называют процессом (или реакцией) первого порядка.
Некоторое вещество, начальное количество которого т 0, пре вращается в другое вещество, а из образовавшегося продукта немедленно начинает получаться второй продукт. Оба превраще ния происходят как процессы первого порядка; коэффициенты
$ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
255 |
|||
пропорциональности |
известны: |
& i- в первом процессе |
и &2 — во |
|
втором. |
|
|
образуется через t еди |
|
Какое количество |
второго |
продукта |
||
ниц времени после начала процесса? |
|
|
||
4022. В резервуаре, объем которого |
100 л, находится рассол, |
|||
содержащий 10 кг растворенной соли. В |
резервуар втекает вода |
|||
со скоростью 3 л/мин, а смесь с такой |
же скоростью |
перекачи |
||
вается во второй резервуар емкостью также 100 л, первоначально |
||||
наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выли вается. Сколько соли будет содержать
второй резервуар по прошествии часа? |
|
|||||
Каково максимальное количество соли |
|
|||||
во втором резервуаре? Когда это мак |
|
|||||
симальное |
количество |
достигается? |
д |
|||
(Концентрация |
соли в каждом |
из ре- |
||||
зервуаров поддерживается равномерной |
|
|||||
посредством |
перемешивания.) |
|
|
|||
4023. Напряжение и сопротивление |
|
|||||
цепи |
равномерно меняются в течение |
|
||||
минуты соответственно от нуля до 120 В |
|
|||||
и от |
нуля |
до |
120 Ом |
(см. |
задачи |
|
3977—3978). |
Индуктивность цепи по |
|
||||
стоянна (1 Гн). Начальный ток /0. Найти зависимость между током и временем в течение первой минуты опыта.
4024*. В узкой горизонтальной цилиндрической трубке АВ, герметически закрытой, заключен газ. Трубка равномерно вра
щается |
вокруг вертикальной оси 0 0 L (рис. 69), проходящей че |
||
рез один из |
ее концов с угловой скоростью <о. Длина трубки I см, |
||
поперечное |
сечение 5 см*, масса заключенного в ней газа М г, |
||
давление в |
покоящейся трубке (постоянное вдоль всей трубки) р0. |
||
Найти |
распределение давления |
вдоль трубки при ее вращении, |
|
т. е. выразить р как функцию от х. |
|||
Д р у г и е п р и м е р ы у р а в н е н и й п е р в о г о п о р я д к а |
|||
В задачах 4025— 4037 найти |
общие решения уравнений, при |
||
ведя их с помощью замены переменных к уравнениям линейным или однородным:
|
|
4026- |
= |
|
4027. |
( x + y - f 1)Жс = |
(2х + 2у — \)dy. |
|
iT— x |
АЛОЯ |
».' — 2 (У+2)* |
4029. |
у '= |
|
° |
У ~ ( * + у - 1 Г |
’ |
* |
2у"(х-(-1)‘ |
4030. У'= ч(х$~х*у
4032. - 1 ) У + 2x^ = 0.
256 |
|
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|||
4033. |
<///'+* = у |
. |
4034. ху'+ |
[= < *. |
|
4035. |
(хг + у*+Л)(1у + хуйх = 0. |
|
|||
4036. |
xdx + ydy + x(xdy — ydx) = Q. |
|
|||
4037. |
(х2 + |
уг + y)dx = xdy. |
|
|
|
В задачах |
4038— 4047 |
решить |
уравнения |
Бернулли: |
|
4038. |
у' + |
2ху = 2х3у*. |
|
4040. |
уп~1 (ау' + у )= х . |
||
4042. |
ху' + у = у2\пх. |
||
4044. |
y' + |
~y- * = ^ J L . |
|
|
а |
X |
СОЗа X |
4046. ydy — ~ d x |
b dx |
|
х? • |
||
|
4039. у' + -%-т+у* = 0. X | I
4041. xdx = (^ --y ^ d y .
4043. у' — y\.gx+y2cosx = 0.
4045. ху' — 4у —х2 V у = 0.
4047. у' = -ф у -, где ф(х) — заданная функция.
4048. Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке:
1)пропорционален квадрату ординаты точки касания,
2)пропорционален кубу ординаты точки касания.
4049. Найти линии, заданные уравнениями видар = /(ф), для которых площадь секторов, ограниченных линией и полярным радиусом постоянной точки (р0, ф0) и текущей точки (р, ф) ли нии, пропорциональна произведению полярных координат р и ф этой текущей точки. Коэффициент пропорциональности равен к.
У р а в н е н и я в п о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х
В задачах 4050—4057 найти общие решения уравнений:
4050. |
(2х3 —ху2) dx + (2у* — x%y)dy = Q. |
|
|
4051. |
4052. & dx + |
(*в» - |
2у) dy = 0. |
4053. |
ух»-1 dx + хУ In xdy = 0. 4054. |
= |
У.йх~ хйУ |
4«55- >+ T J Z ы0 ь -+ д т а d y + ^ y d y ~ 0 .
4056. |
( l+ x V & |
+ jf)dx + {—1 + V x t + y*)ydy = 0. |
||||||
4057. |
(--- sin у — 4 cos |
- + |
dx + |
(--c o s — — 4 |
sin -- + 4 W = 0 . |
|||
|
\y |
у |
x* |
x 1 j |
1 |
\ x |
x у1 |
у 1 y2J a |
И н т е г р и р у ю щ и й м н о ж и т е л ь |
|
|
В задачах 4058— 4062 найти интегрирующий |
множитель и |
|
общие решения уравнений: |
|
|
4058. (xi -\-y)dx — xdy = 0. |
4059* . у (1 +ху) dx — xdy = Q, |
|
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
257 |
4060. |
(а2 + у- + 2JC) dx + 2у dy = 0. |
|
|
|||||
4061. |
-~dx + (y3 — lnx)dy — 0. |
|
|
|
||||
4062. |
(х cos у —у sin у) dy + (л: sin у + у cos у) dx = 0. |
|||||||
4063. |
Убедиться, |
что |
интегрирующим множителем линейного |
|||||
уравнения ^ + Р (х) y = Q(x) служит функция e^PU)dx, |
||||||||
4064. Найти |
интегрирующий множитель |
уравнения Бернулли |
||||||
|
|
|
|
y' + P (x)y = y"Q(x). |
|
|||
4065. Найти |
условия, |
при которых |
уравнение |
|||||
|
|
|
X (х, |
y)dx + Y(x, y)dy = 0 |
||||
допускает |
интегрирующий множитель |
вида |
М = F (х + у). |
|||||
4066. Найти |
условия, |
при которых |
уравнение |
|||||
|
|
|
X (х, |
y)dx + Y(x, y)dy = 0 |
||||
допускает |
интегрирующий множитель вида |
M = F (ху). |
||||||
|
|
|
|
Разные |
задачи |
|
||
В задачах 4067—4088 найти общие решения уравнений! |
||||||||
4067. |
у' ^ а х + Ь у+о . |
|
4068. |
ay' + |
by + ct/n = 0. |
|||
4069. |
у' |
=£±£=2 |
|
|
4070. |
у — У2+ ХУ — Х' |
||
|
J |
У ~ х — \ |
|
|
|
|
у- |
|
4071. |
у' |
= |
d r |
|
|
4072. |
у' (у2 —х) = у. |
|
|
|
|
||||||
|
|
( х + у ) 2 ' |
|
|
|
|
|
|
4073. |
‘^ |
+ |
y ± ^ d y = 0. |
|
|
|
||
4074. |
(2y + xy3)d x + (x + x 2yi)dy = 0. |
|
|
|||||
4075. |
(2xy + |
jC2{/ + |
^)dJc + (r ! + |
//!)d y = 0 . |
|
|||
4076. |
if |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
x(y+\)—x2’ |
|
|
|
|
||
4077. |
x d y + y d x + y *(x d y -y d x ) = 0. |
|
||||||
4078- |
|
|
|
|
|
|
|
|
4079. |
y’ — x Y y + J^_ t . |
4080. |
ysm x + t/ cos x = 1. |
|||||
4081. |
y '—y-\-y2 cosx = 0. |
4082. |
if = |
-°-s - |
||||
4083. |
xy’ cos — = у cos — — x. |
|
& |
sin * cos у |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
4084. |
(xcos-^ -+ t/sin ~^jydx + (xcos ~ — i/sin j j x d y = 0. |
|||||||
4085. |
y' = ~ ~ — igy, |
4086. |
y — y' cos x = y2co sx ( l — sin x). |
|||||
9 Г . H . Б г р м а н
258 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
||
|
|
х* + у* |
|
4087. |
2у у '= е |
х |
+ ^ ± £ - 2 х . |
4088. |
(1 + е*Щ dx + |
е*/У (1 - ~ ) dy = 0. |
|
4089. |
Найти |
линию, у которой поднормаль в любой точке так |
|
относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к ее абсциссе.
4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ох и прямой у — ах-\-Ь, делится точкой касания пополам.
4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от нормали в любой ее точке до начала координат к расстоянию от той же нормали до точки (а, Ь) равно постоянной k.
4092. Найти линию, для которой расстояние от начала коор
динат до |
касательной в произвольной ее точке равно расстоянию |
от начала координат до нормали в той же точке. |
|
4093* |
. Найти линию, обладающую следующим свойством: |
ордината любой ее точки есть средняя пропорциональная между
абсциссой |
и суммой абсциссы и поднормали, проведенной к линии |
|
в той же |
точке. |
|
4094. |
В |
электрическую цепь с сопротивлением # = 3/2 Ом |
в течение двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число, выражающее индуктивность цепи в генри, равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта.
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение) П о л е н а п р а в л е н и й . И з о к л и н ы
4095. Дано дифференциальное уравнение у' = — ~ . а) По
строить поле направлений, устанавливаемое данным уравнением, б) Выяснить расположение вектора поля относительно полярного радиуса любой точки поля, в) Выяснить вид интегральных кри вых уравнения, исходя из поля направлений, г) Найти инте гральные кривые, решая данное уравнение обычным методом
(разделяя |
переменные), |
д) Указать |
семейство изоклин данного |
||
уравнения. |
|
|
|
|
|
4096. |
Написать дифференциальное уравнение, изоклинами ко |
||||
торого служат: |
1) равнобочные |
гиперболы ху = а\ 2) параболы |
|||
уг = 2рх; |
3) окружности х2+ у2= |
|
|
||
4097. |
Найти изоклины дифференциального уравнения семей |
||||
ства парабол |
у = ах2. |
Сделать |
чертеж. Истолковать результат |
||
геометрически. |
|
|
|
|
|
4098. |
Убедиться, что изоклинами |
однородного уравнения (и |
|||
только однородного уравнения) служат прямые, проводящие че рез начало координат.
|
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) |
259 |
4099. |
Указать линейные уравнения, изоклинами которых |
|
являются |
прямые. |
|
4100. |
Пусть уи у2, у3 —ординаты трех любых изоклин |
неко |
торого линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе.
Убедиться, |
что |
отношение —— — сохраняет одно |
и то же |
значе- |
||||||
ние, какова |
бы |
|
|
Уз —У1 |
|
|
|
|
|
|
нн была эта абсцисса. |
|
|
|
|||||||
|
П р и б л и ж е н н о е и н т е г р и р о в а н и е |
|
||||||||
|
|
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й |
|
|||||||
4101. |
Дано |
уравнение |
у' = |
|
Построить |
приближенно |
||||
интегральную кривую, |
соответствующую отрезку |
1 < л < 5 , про |
||||||||
ходящую через точку |
М (1, 1). |
|
|
|
|
|
||||
4102. Дано |
уравнение |
у' - -_.2 |
■ Построить |
приближенно |
||||||
|
|
|
|
|
х |
“h У“ |
|
|
|
|
интегральную кривую, |
соответствующую отрезку |
0,5 |
3,5 и |
|||||||
проходящую через точку (0,5; 0,5). |
|
|
|
|
||||||
4103. |
Дано уравнение у' = ху’ 4 -х 2. Применяя |
способ Эйлера, |
||||||||
вычислить у |
при х = 1 , |
если у — частное решение, удовлетворяю |
||||||||
щее начальному |
условию |
у|.*_о = 0. |
Вычислить у с двумя деся |
|||||||
тичными |
знаками. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4104. |
Дано уравнение у'—У х 'У2 + |
1. Применяя способ Эйлера, |
||||||||
вычислить у |
при х = 2, если у — частное решение, удовлетворяю |
|||||||||
щее начальному |
условию |
y|*_i = 0. |
Вычислить |
у |
с двумя |
деся |
||||
тичными |
знаками. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4105. |
Дано: уравнение |
у' = ^ |
и начальное |
условие у|*_о=1. |
||||||
Решить |
это |
уравнение точно и найти значение у при х = 0 , 9 . |
||||||||
Далее, найти это значение при помощи приближенного метода,
разбивая |
отрезок |
[ 0 ; |
0 , 9 ] на 9 частей. |
Указать |
относительную |
|||||||
погрешность |
последнего |
результата. |
|
|
|
|
||||||
4106. |
Дано: |
уравнение у' = - |
З*2 |
и |
начальное |
условие |
||||||
|
||||||||||||
у |*-1= 0. |
Решить уравнение точно и, пользуясь каким-либо из |
|||||||||||
приближенных |
методов |
интегрирования |
уравнений, вычислить |
|||||||||
значение х при у = |
1 |
(сравнить со |
значением х, получаемым при |
|||||||||
точном решении). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4107. |
у' = у2 + ху + х2. |
Найти |
по методу |
последовательных |
||||||||
приближений |
второе |
приближение для |
решения, |
удовлетворяю |
||||||||
щего начальному условию у \х-о = |
1 • |
|
|
|
|
|||||||
4108. |
у' = ху*— 1. |
Найти |
при |
х = 1 |
значение |
того |
решения |
|||||
данного |
уравнения, |
которое |
удовлетворяет начальному условию |
|||||||||
y|^._o = 0. |
Ограничиться третьим приближением по методу после |
|||||||||||
довательных |
приближений. |
Вычисления |
вести с двумя десятич |
|||||||||
ными знаками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9*
260ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Взадачах 4109—4116 найти несколько первых членов разло жения в степенной ряд решений уравнений при указанных на чальных условиях:
4109. |
у' = У — х; t/|*_0= l . |
4110. |
у = х2У — 1; |
t/U-o= 1. |
||
4111. |
{/' = |
х2 — у2; t/U-о = 0 . |
4112. |
у' = |
У |
у\х-0= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
4|13- у' = Т +ХхТ у ; У\х-° = 0 - |
4 ,,4 ‘y' = e'J +xy> |
у\х-0= °- |
||||
4115. |
у' = |
sint/ — sinлс; у\х-о = 0 . |
|
|
|
|
4116. |
у' = |
l + x + x 2 — 2tf', t/ U -i= l. |
|
|
|
|
О с о б ы е р е ш е н и я . У р а в н е н и я К л е р о и Л а г р а н ж а
В задачах 4117— 4130 найти |
общие и особые решения урав |
|||
нений Клеро и уравнений Лагранжа: |
|
|||
4117. у = х у '+ у ’*. |
4118. |
у = х у ’ —3у'3. |
||
4119. |
У = х у + |
-1. |
4120. |
y=xy' + \ fl+ y '2- |
4121. |
у = ху' - f sin у . |
4122. |
ху' — у —In у . |
|
4123. |
у = у,й(х + 1). |
4124. |
2t/t/'=x(t/'2 + 4). |
|
4125. |
у = уу'2 + 2ху. |
4126. |
у = х(1 + У ) + У 2. |
|
4127. |
У = 1п(ху'-у). |
4128. |
у = У (х + 1 ) + У*. |
|
4129. |
= f/'x + |
V" 1 - у ' 3. |
4130. |
x = y ( ^ - - - j . |
В |
задачах |
4131— |
4133 найти особые решения уравнений, при |
||||
меняя |
тот |
же |
прием, какой используется |
в случае уравнений |
|||
Лагранжа |
и Клеро: |
|
|
|
|||
4131. |
У г -уу'-\ -ех= 0. 4132. хгу ' * - 2 ( х у - 2 ) у ' + У = 0. |
||||||
4133. |
у' (у'- 2х) = 2 (у — х2). |
|
|
||||
4134. Доказать теорему: если линейное дифференциальное |
|||||||
уравнение |
является |
уравнением |
Клеро, то |
семейство его инте |
|||
гральных кривых представляет собой пучок прямых. |
|||||||
4135. |
Площадь |
треугольника, |
образованного касательной |
||||
к искомой линии и осями координат, есть величина постоянная. Найти линию.
4138. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
4137. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно.
4138. Найти линию, для которой площадь прямоугольника, рею щ его сторонамикасательную и нормаль в любой точке, равна
площади прямоугольника со сторонами, равными по длине абсциссе и ординате этой точки.
4139. Найти линию, для которой сумма нормали и поднор мали пропорциональна абсциссе.