книги / Оболочки и пластины

где компоненты деформации выражаются формулами

Получить решение системы дифференциальных уравнений (4,7,1), даже в наиболее простом случае, представляет огромные формальные трудности, и потому, как правило, ищут возможные упрощения системы (4,7,1) и строят приближенные решения. Эффективным является асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений теории тонких упругих оболочек для статических задач [8], динамиче­ ский аналог которого стал успешно применяться при решении задач малых осесимметричных колебаний с низкими частотами, когда имеет место случай регулярного вырождения дифференциальных уравне­ ний [9—12].

В первом приближении, для оболочек вращения, меридиональные перемещения (а также частоты в случае свободных колебаний) опре­ деляются из уравнений, являющихся динамическим аналогом статиче­ ских безмоментных уравнений, и тангенциальными граничными усло­ виями. При этом определяется также функция прогибов оболочки вдали от ее краев. Выполнение нетангенциальных граничных условий осуще­ ствляется путем добавления решения уравнений, представляющих собой динамический аналог статических уравнений для напряженных состоя­ ний с большой изменяемостью [8]. Покажем это, следуя Г. И. Пшеничнову [13].

Отбросим в (4,7,1) члены с множителем Л2 и полученные (безмоментные) уравнения сведем к системе двух дифференциальных уравне­ ний первого порядка, разрешенных относительно производных* (считаем,

что k \ + v k 2^ 0 ) :

когда значение k \ — Щр2 достаточно велико (чтобы изменяемость без-

моментного решения была значительно меньше изменяемости решения уравнения краевого эффекта).

В случае свободных колебаний следует считать, что X = Z = 0. При этом возникает задача о нахождении собственных значений р*2 и соб­ ственных функций и и Wi системы дифференциальных уравнений (4,7,4) при однородных тангенциальных граничных условиях (по одному на каждом из краев оболочки a=ai и а = аг).

При рассмотрении вынужденных колебаний безразмерный параметр

Используя, кроме того, условия симметрии и гладкости функции внеш­

выражающего отсутствие сосредоточенной силы в вершине, при исполь­ зовании (4,7,2) и (4,7,3). После необходимых выкладок найдем, что в вершине купола

Решение задачи о вынужденных колебаниях оболочки можно также получить с помощью разложения в обобщенный ряд Фурье по собствен­ ным функциям свободных колебаний [14]

За координату а примем, угол между осью симметрии и нормалью к поверхности оболочки; за р — угол, определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге. Тогда для оболочек, поверх­ ности которых образованы вращением кривых второго порядка вокруг их оси симметрии, имеем

краю оболочки). Чтобы выполнить эти условия, следует учесть решения с большой изменяемостью, определяемые уравнением [10]:

вого эффекта статических задач теории оболочек. Отметим, что с ростом параметра р 2 затухание краевого эффекта становится медленнее (зна­

чение k l — k i p 2 достаточно велико).

Здесь нет необходимости останавливаться на вопросе определения напряженного и деформированного состояния краевого эффекта; эта задача рассмотрена во II главе.

§ 8. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Рассмотрим вынужденные симметричные колебания цилиндриче­ ской оболочки средней длины под действием различных типов внешнего давления с учетом линейного трения. Задача решается при следующих граничных условиях: шарнирно опертые края; с одним шарнирно опер­ тым краем, другим — заделанным; с жестко заделанными краями [15].

Уравнения движения приведены к одному «разрешающему» через функцию перемещения F. При граничных условиях, отличных от шар­ нирно опертого края, уравнения движения интегрируются методом Бубнова—Галеркина. Частные решения неоднородного дифференциаль­ ного уравнения найдены методом А. Н. Крылова [16].

Цилиндрическая оболочка называется оболочкой средней длины, если геометрические параметры ее удовлетворяют соотношению:

____1

/

цилиндрическая жесткость, h —толщина стенки цилиндра, Е — модуль упругости, е — экспериментальный коэффициент.

Уравнения движения (4,8,1), описывающие вынужденные колеба­ ния цилиндрической оболочки, удобно записать с помощью функции перемещений F. Эту функцию можно ввести следующим образом. Пер­ вые два уравнения движения (4,8,1) будем рассматривать как алгебраи-- ческую систему относительно неизвестных и и v при постоянных коэф­ фициентах Lij. Решая ее при Р1 = Р2 = 0, получим

Отметим, что соотношения (4,8,3) остаются неизменными и в слу­ чае непологих цилиндрических оболочек с той лишь разницей, что опе­ раторы L{j необходимо взять согласно теории непологих оболочек.

Подставляя выражения (4,8,3) в третье уравнение движения (4,8,1), получим «разрешающее» уравнение движения цилиндрической оболочки через функции перемещения F:

Квадраты частот собственных колебаний цилиндрической оболочки для вышеуказанных граничных условий находим как корни следующего кубического уравнения:

которое вытекает из равенства (4,8,11), если положить, что

Р'п\ = 0, s= 0 и F‘n%= А'пхcoszix.

Здесь и в дальнейшем через zi будем обозначать безразмерные крутовые частоты, связанные с размерными coj по формуле

Решая уравнение (4,8,13), находим три класса спектра частот

класс спектра частот собственных колебаний цилиндрической оболочки средней длины с достаточной точностью можно найти по формуле

Для нахождения интеграла уравнения (4,8,11) применим метод,

где a{ — корни характеристического уравнения (4,8,11).

Нетрудно убедиться, что корни а/ связаны с коэффициентом тре­ ния S и собственными частотами с помощью равенств:

Учитывая соотношения (4,8,17), общее решение уравнения (4,8,16) можно записать в виде

Первая часть суммы F!n\ % зависящая от произвольных постоян­

ных Ah, соответствует собственному асимметричному движению ци­ линдрической оболочки, быстро затухающему с течением времени.

Коэффициенты Аы определяются из шести начальных условий. Напри­ мер, начальные условия могут быть заданы следующим образом:

Решение F’c складывается из следующих типов функции:

e~sx (А}и sh Q{x -f AJ2i ch Qcx) при z[ < S;

например, если

Z 3 < S < z i и zl2 = S,

то решение однородной части'уравнения (4,8,11) будет

Интегральный член F{, суммы FU соответствует вынужденным колеба­ ниям цилиндрической оболочки под действием нагрузки Р. Ниже в ос­

новном будем заниматься исследованием интегрального члена Fi-

Рассмотрим-два следующих частных случая нагружения.

Первый случай. Внезапное приложение равномерно распределенной по поверхно­

После интегрирования выражение Flb примет следующий вид:

перемещения и, v и w, а также другие характеристики напряженного состояния обо­

движение, которое в дальнейшем нами исключается из рассмотрений. Итак, в случае

Из этих равенств видно, что указанные коэффициенты имеют разрывы при

я2 г/2

В случае г2 R/h, т. е. когда два больших корня уравнения (4,8,13) суть

,/•2 — а’2

z'i2= 4 2. г2 “ 44

а третий корень имеет порядок

z'2- f A

из формул (4,8,32) и (4,8,33) виднр, что при совпадении частоты внешней нагрузки q

сы частот г\ и z]2 соответствуют доминирующим касательным перемещениям.