книги / Статистический анализ временных рядов.

УПРАЖНЕНИЯ

473-

где

<*№)=* 2

CiX

и |^1 <

1. i — 1....... Р*

/=1

24.

(Разд. 7.5.3) Пусть

3

,

1

— ^ - i + X ^ “ 2==W/

yt — 1 Ayt_ , + 0.98^_2 = щ.

Найдите: (а)

корни

xi

и х2 соответствующего характеристического уравнения;

(b) а( h) и (с)

/ (Я).

(d)

Выразите / (Я) тремя другими способами (заменяя по край­

26.

(Разд. 7.5.3)

Напишите а (И)

и / (к) для yt + yt_ j/2 =

щ.

27.

(Разд. 7.5.3)

Напишите а (К)

и / (к) для yt — yt_ \/ 2

=

щ.

28.

(Разд. 7.5.4)

Пусть / (Я) — непрерывная спектральная

плотность. Пока­

ти

жите, что для любого данного 8> 0 существует процесс 2

ajvt—f скользящего

/=о

(i)

I a (h) — от (h) \ < 2яе.

где

Уг+

1 = Щ

=г

= о2и

= т2. Покажите, что спектральная плотность процесса {г/} равна

о2 + (20 cos Я +

1 +

р2) т2

2я (20 cos Я +

1 +

Р2)

474

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Гл. 7*

Найдите процесс {zt }

с той же спектральной плотностью, удовлетворяющий сле­

дующему уравнению:

А + K - i = vt+ щ - v

■где $vt = 0,

= К

и $vtvs = 0, t ф s.

3

12

17

12

3

г‘ =

35~ ^ - 2 +

‘35

^ - 1

+

35“

+ -35 9t+1

35~ 9t+ь

■где %Уг = 0,

= a2,

= 0, t Ф

s.

Найдите спектральную плотность и кова­

хождении

полинома степени

2k (или 2k + 1) по 2k + 3 точкам, определены в

<19), (20) и (21) § 3.3. Покажите, что спектральная

плотность остатков при сгла­

живании

некоррелированной

последовательности с

дисперсией а2 равна

2л

1) sin — X

(2т +

тельностью & (yt — р) (yt+h — р) =

cr (h),

h = 0 , 1........или сред­

ним значением и спектральной функцией F (Я.), или средним значе­

нием и спектральной плотностью,

когда

последняя существует.

борочные

аналоги этих величин. Выборочное среднее величин

у и ..., ут,

обозначаемое у, есть несмещенная оценка среднего зна­

цию

можно определить,

используя отклонения от средних значе­

ний

yt — у. Мы также рассмотрим и другие определения.

г

т

— (2/Т) 2

(У* ‘— Р) cos Xt

и

В (А.) = (2IT) 2

{yt — р) sin Xt, где р

<=i

заменить на

_

когда

t=1

Выбороч­

известно;

р можно

у,

р

неизвестно.

ная

спектральная

плотность

/

(А)

есть

число, кратное

выбороч­

ному квадрату амплитуды

R2(X) =

Л2 (А) + В2 (А), точнее / (А) =

= [Г/(8 зт) ] /? 2 (А).

© ,

делены при соответствующих условиях (§ 8.4).

Выборочная спектральная

плотность I (X) распределена в пре­

деле как X2 с двумя степенями свободы, умноженная на f

(Х)/2. Та­

ким образом, / (X) не является состоятельной оценкой

для f (X).

В гл. 9 мы рассмотрим оценку

спектральной плотности / (X) в более

общих условиях.

(1)

~ Iх. 1

1, 0, 1t.......* • • >

(2 )

Cov {у(, yt+h) = l{yt ~

р) (yt+h — р) =

(3)

Я

Я

a (h) = j cos khf (X) dk =

j eiKhf (X) dk,

h — 0 , ± 1, ± 2 , . , «•

Если

oo

oo

(5)

=

2 or (A) cos ХА = - 2 - 2 ст (h)el%h,

<8 )

C*h = C*-h = 7jA -£

2

(yt~^h){yt+h — ~У),

h = 0,

1,

... , Т - \ .

t=i

Возможны еще и другие оценки, такие, как

<9)

ch = с —н =

Y ~

2

(у‘ — & ) (y<+h — ~Уь+) =

t=I

1

T - h

ytyt+h— (T ~ h )y hyh+

,

/1 = 0 ,

1,

... , T - 2 ,

Т — h

2

где

t=i

T— h

< Ю )

Ун

T — h 2 Уь h = 0, 1, . . . , Т — 2,

/=1

1

7 - А

yt+h> h = 0, 1 ..........Т — 2.

#ft+ =

2

<П)

т — h

Удобно рассмотреть также

( 1 2 )

сь = c -h = y

1

T — h

T — h

2

(yt — ц)(yt+h— \T) = —f — Ch’

t=i

Л = 0 , 1, . . . . Г — 1,

и

(13)

1

г- ‘ ,

.

Г —h

Ck — cLh — y

2

(У/—‘У)(У<+н— y) = —f — C*h ,

h = 0, 1, . . . , T — 1.

Согласно определениям гл. 4 положим

(14)

А (X) = у

2

(У< ~

И) cos Xt =

t=i

—- | г 2

y te o sX t— f t - l - 2 C0S^

•— я < Я , < я ,

<=I

1 M

равны

(29)

SZ.= p 2

^

t=*\

(30)

Var L =

И 2

kt {yt— ц)1 =

2

<y(t— s)ktks

М

J

<.s=»I

=

2

CT(r) 2

ks+rK =

(

2

kte‘K

f(X)dX,

Г--- (Г-1)

*S,

где S,

определено при доказательстве теоремы 8.2.1. Для того чтобы

венство

(31)

2 * , = 1.

/=1

Для данной ковариационной матрицы 2 =

[о (t — s)] дисперсия ве­

личины L, удовлетворяющей

(31), минимизируется

величиной к =

— (klt ..., ктУ, такой,

что к

= [1/в'2 - 1е] 2 - 1е,

где

е

= (1, ..., 1)'.

Это определяет среднее значение,

если

к =

(1/Т)е, т. е. если е —

г

характеристический

вектор

матрицы

2 ,

т.

е.

если

2 ° if — s)

S = 1

Теорема 8.2.3.

Дисперсия среднего значения у есть

(32) Уаг(/ = - ^ -

2 <т(/ — s) = -jr

У

( 1 — -® r-V (r) =

*,S=1

г = -

( Г - 1) \

)

Я

Т

п / s i n - i - ^ v 2

f(X)dX

- t

<-»

f(X)dX,

i v Tsin- r *

Т

Для доказательства нужно использовать

следующее: 2

=

t=i

= еа (1 — ei%T)/(\ — еа) =

e ~ UT+l) sin - у XT/sin - у X.

(33)

г

Q - 2 М & — p)G/<— р).

s,<—1

- 2

П

i {te—vt)

f ( k ) f { v ) d № +

+

Т

a sta s>t'X ( t —* s, s ' — s ,

t ' —s) =

2

= 2

J

J М(Я, V)|а/ ( X ) f { y ) d % d v

+

—Я—Я

т

+

2 a s t d s ' f K ( t — s , s ' — s , t ' — s ) ,

S,ttS ',t' — 1

г д е

<39)

A ( X ,

v )= 2

(Is—Vi)

T — r),

8,Ыsi

и S r = {1,

2, ....

r > 0 u

S ,= {1 — r,

2 — r....... 7},

r <

0.

средственно. Математическое ожидание Q 2 равно

(40)

&Q2 =

2

o.staS4 'l( y s — v )(y t — \x)(ys— р)

— И) =

S,t,s',t'—1

=

2

OrfaS'<'lo(s — о О (S' — O + 0f(s— s')a(/ — f) -f

S ,/,S ',/ '= ]

+ ff(s— t') a (t — s') +

и(t — s, s' — s ,t ' — s)].

Заметим, что

(41)

т

OstaS't'0 (s — s') a (t — t') =

т

astas4< s { s - t ') ( s { t - s ') ,

2

2

s,t,s't'=1

s,tts\t'*=\

(42)

Var Q =

2

f f 2

as‘ as't,e‘ [k iS~ S ) ~V

(Я) / (v) dXdv +

T

dsiCLs')'X (t — S, S —i S, t‘ — S),

-f- 2

s ,/,s ',r= l

так как f (v) =

f

(— v). Отсюда вытекают два последних выражения

для Var Q. а

Пусть

(43)

Р = 2

( й ~ И ) Oft — Р)-