книги / Статистический анализ временных рядов.

Пусть wf,

...,

wf — последовательность

независимых

случайных

величин, Т =

1,

2......... Пусть Ff (w) есть распределение величины

wf, &wf = 0,

t =

1, ...»

Т,

(16)

т

2

Var wf = 1.

i=i

т

Достаточным

условием

сходимости распределения суммы 2

к N (0, 1) является

(17)

2

1

w2dFj (w)

О

t = l I W I

> 6

при T -> oo для любого 6

>• 0.

Условие

(17)

является также и необходимым для

сходимости

т

распределения суммы 2

wf

к

W.(0 , 1),

если

max

8 (wf)2-> 0 »

[См. Лоэв (1963, § 21.2).]

Т еорема

7.7.3.

(Центральная

предельная

теорема

Ляпунова.)’

Пусть wf,- fti , wf,T

— 1, 2, . ., , — последовательность независимых

т

мы 2

wl к N (0, 1) является

t=]

(18)

2 8 |ш [|2+в- * 0 ,

;=1

если оно выполняется для некоторого 6 >

0 .

Если

«х, ы2, ... независимы и

одинаково

распределены, Ц = 0 «

Т

_

Т еорема 7.7.5.

Пусть

уг,

у2, ... — стационарный

случайный

процесс, такой, что для каждого целого п и целых tv ...,/„ (0

< <

< ... < tn) ylt, ...,

у,

распределены независимо от

уи

...,

yt, - m- 1

п

т

и ytn+m+i...........Если

Ц , =

о

и Ц) < оо, то 2

y ^V T

имеет

П

t=l

(19)

%у\ +

21угуг + •••

+

2&у1ут+1.

Д о казательство. Пусть

(2 0 )

YT = Y J

Тогда

(2 1 )

%УТ =

0 ,

(22)

W

= у - 2 ly tyt = -jr [П у\ +

2(7'— 1)

+

(,S=1

2 (Т—• 2) 8^хг/8 +

+

• • • + 2(7*—.m) 8^ */m+ib

7.7.

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

465

И

(23)

Нш %Y\ = Ъу\ + 28уху2+

• • •

+

Э&УхУпил =

W.

T-+OQ

Для

данного целого k > 2 т пусть Т —kN + г,

где

0 < г <

к,

т. е. N= [T!k\. Определим

(24)

U k T =

-рг==Г К#1 + • • •

+

Ук-m) +

(Ук+ 1 + • • •

+

У2к-щ) +

• • •

* * •

+ (Ук (JV—1) +1 +

• • • +

У к Ы -т ) 1,

(25)

Х кТ =

-ш+1 + • • •

+ */<[) +

(#2*—m+1 +

• • •

+

</2ft) +

• * •

• *'

+

(У/WV-m+l +

• • * + </*Лг)]»

(26)

RkT =

— (УкМ-\-1 +

*• '

+

Ут)

ДЛЯ k Т . Пусть U k T — УТу ХкТ ~

R k T

~

О ДЛЯ k > Т.

разом, U k r V T K N k )

имеет предельное нормальное распределение со

средним значением 0 и дисперсией Vk.

Rkr

ограничено, так

Среднеквадратичное

значение величины

как

(29)

%R\T ^

8 ^

< -у - Ъу\.

Мы использовали

тот

факт,

что

| &ytys| <

%у\.

Когда

Т -+■ оо,

(29) стремится к 0

и Rkr сходится

по вероятности к 0.

Следова­

тельно, UkT +

RkT имеет предельное нормальное распределение со

средним значением 0 и дисперсией

Vk.

Для k < Т

справедливо

(30) %ХкТ =

+ . . . + Ут?

^-%-%(У1 + • • • + Ут)г,

7.7.

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

467

то 2

y jV Т

имеет

предельное нормальное распределение со сред­

ах

О и дисперсией

ним значением

<36)

2

а (г),

г=—оо

где

(37)

а(г) = а2

оо

Y,Ys-K-

2

S— — оо

Д оказательство.

Пусть

(38)

\jttk

=

к

Vs^—s*

2

s=—k

(39)

Ил* =

2

Ys°/-s.

s=k+l

(40)

щ9к =

-<*+l)

2

ysvt~s.

S=—oo

Тогда

yt —yt,k + U ttk

+ Ut'k-

Пусть

(41)

ZkT —

1

t2=i Ум*

V T

(42)

1

T

XkT — V~T t2= \

,

(43)

xlr

=

y

1

T

j

2

“<■*

t=i

Тогда

ij yt/V T =

ZkT + XkT + XkT■ Имеем

(44)

%X\T =

ut,k]

= 4 -

2 W kUs,k =

\* = 1

/

*,S=1

=

4r 2

2

YpYr*»<-pO*-r =

/,s = l p ,r = ft+ 1

o2

r

00

VPVP+S—t ^

= -у - 2

2

^,s=I

p== max (0 ,/—s) -\-k-\-\

< - S - 2

S

IYPI • IYP+ » -« I<

/,s = l

p = max (0,/—s) + Л -И

< о 2 I I

I

Ы

‘ Ы

=

q=k+\ p=k-{-\

со

Так как Ц

сходится к 0 при

оо. Подобным

P =

I

же образом

(45)

W r < . o a( ~ 2 1)'Vpl

' р=—оо

что сходится к 0 при k -> оо. Тогда

(46)

8(Хкт+ Х1т? <

2 [%Х1т +

8Х?т\ <

/ с о

Ы

\2

/ - ( f e + 1 )

,2 - |

. 2 о2

( 2

+

\

2

\ур\)

\р=*+1

/

р = - 0 0

/ .

со

Подобные теоремы

(для

г/, =

2

Ys1’*-*)

были

доказаны

не-

сколько по-иному Мораном (1947) и

S^sO

Дианандой (1953).

Теорема 7.7.9. Пусть уъ

уг,

. . . — последовательность

случай­

ных величин, такая, что для

каждого п и

tu ...,

tn (0 <

^ < ...

... < tn) совокупности

уи.......ytn

и

ylt ....

yt,-m -и ytn+m+1,

•••

взаимно независимы. Пусть %yt =

0 и 8

J yt | 2+6 < М, / =

1, 2,

...,

для некоторого 6 > 0

ы некоторого М. Пусть аъ а2, ... — последо­

вательность постоянных величин, такая, что \ at | ■< L, t =

1, 2,... ,

для некоторого L, и такая, что существует предел

(47)

Нш-=1-

^Т

atas%ytys-

Т

_

Тогда 2

o./yjVТ

имеет предельное нормальное распределение

Д оказательство.

Пусть у] — atyt, t = 1, 2, ... . Доказательство

рядка 2 + 6

равномерно ограничены величиной

(k — m f+6L2+6M

(неравенство

Минковского). Среднеквадратичное

значение разнос-

УПРАЖНЕНИЯ

469*

т

_

ти между 2 y '/ Y Т и Ulr [которое

совпадает

с (24) при замене-

yt на у)] ограничено величиной [приближенно

равной m2L2 (М +

т 1)/k], которая

стремится к 0

равномерно при k -> с»;

lim

к-+°о Т-*оо

центральной предельной теоремы Ляпунова (теорема 7.7.3). и

ных величин, таких, что для

каждого п

и tu ...,

tn (0 <

tx < ...

...< /„ )

совокупности ytl....... ytft и ylt ....

ytl~m- и ytn+m+i,

...

не­

зависимы. Пусть i%yt — 0, %ytys = о (t — s) и &\yt’

\ 2+6 <

M,

t =

T

ytl V Т'

=

1, 2,

..., для некоторого б > 0 и некоторого М. Тогда 2

имеет

<=i

предельное нормальное распределение со средним значением.

т

а (Л).

О

и дисперсией а (0 ) + 2 2

Л= 1

Доказательство несколько упростится, если положить

б = U

Эти результаты применяются для регрессионных оценок.

3.

(Разд*. 7.2.2) Пусть yt =

(— Vfy, где у — случайная величина.

a)

величины у , чтобы процесс {yt}

был стационарным в узком смысле?

B)

УПРАЖНЕНИЯ

471

k (А,) =

су,

a j _ { <

А, < а/,

/ =

1, . . . , п,

где 0 = а0 < а\ < ... < ап =

я,

k (0) = съ

Допустим,

что Я (X)

непрерывна,

472

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Гл. 7.

19. (Разд. 7.4.1) Пусть h (Я) удовлетворяет неравенству

п

J А2 (X) d H (к) <

со.

О

Стохастический

интеграл Лебега

Стилтьеса

определяется как предел

в сред­

нем величин

Jя К

(к) dC (к),

О

21.

(Разд. 7.5.2) Пусть ре10 и ре~10— корни уравнения z2+ ciz-\- с2 = 0,

>и пусть

yt = Щ+

+ с2^ _ 2,

Т'де

=

0, gp* = а2 и $vtvs = О1 t Ф s. Покажите, что

а (0) — (1 +

4р2cos20 + р4) аа,

а (1) = — 2р (1 + р2) о2cos 0,

П (1 —xi(£)yt = ut

(где |х/| < 1), то

/= 1

П fl---i£\

П (1 —Xlg)yt = и*

/=1 \

X/

/ /=!+/•