8.2. |
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
№ |
еде |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin - i - |
КТ sin - L |
Vf |
(73) |
k r ( K |
2_______2 |
|
v) = |
|
|
|
|
|
2лТ sin — - К sin -1 - v |
|
|
|
|
2 |
2 |
Д оказательство. |
Так как (для ц = 0 ) |
|
(74) |
2я77 (Я) = |
£ |
y ty s (cos Xt cos Яs + |
sin Xt sin Xs) ■ |
|
= |
2 |
ytyscos X (t |
s) = |
2 ytys(Mt-s) |
|
|
Usssz1 |
*,s=l |
(75) |
ст(р — r ) = |
n |
|
|
Я |
J cos v(p — r)/(v)dv = |
j ^ P -o fty d v , |
то имеем
(76)(2nTf Cov [/ (Я), / (Я')] =
= |
^ |
|
|
Coy (ytys, |
yt,ys,) =_ |
|
= |
2 |
^(/-s)+a'«'-s') [CT(/ _ |
a (s __ s,) , |
|
f,S,/',S'=al |
|
|
|
|
|
+ |
<J(f — s')<J(s— /') + K (s— t, |
t' — t, |
S '_ f ) ] = , |
|
Я |
Я |
т |
|
|
|
= |
( |
( |
V |
[^v«—/')^M<S—s') |
, |
|
|
|
|
|
|
+ |
_)_ ^v«-s')efiKs-<')] ^(v) / (p.) dvdfx -f-
т
+2 cosM* — s)cosX'(f — s')x(s — t t' — t
/.S,/',S'=I |
’ |
’ |
Я я |
sin - i - (fl _ Я) Г s i n - L ( V - v ) T |
s i n - l ( X + v ) r |
— |
i |
(^ + |
— |
~ т ~ |
(fx--------- |
Я#) ------ |
sin |
-----------— X |
■И- я - л Ь |
sin — |
v) |
sin |
(X' — v) |
s in - i- ( V |
+ |
n ) r |
sin - j - (Я + |
v) Г sin - L |
(ц |
X)T |
X ---------- |
;------------------- |
|
|
1- |
|
|
9 |
|
|
sin ~ |
(Г + ц) |
|
s in - i- (^ |
+ |
v) |
|
|
494 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
sin |
(А/ — ц) Т |
sin |
(V + v) Т |
X |
|
|
/ (v) / (р) dvdp + |
sin |
(А/ — р) |
sin ~ |
(А/ + v) |
+2 c o sk (t-s)c o s k '(t'— s')x(s— t,t' — t,s'-* t) =
|
<f s , t ' , s '= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(v + |
к) Т |
|
|
1 |
|
|
|
ч2 |
|
|
я sin — |
sin — (v — V) Г |
|
|
|
|
f |
sin -i- (V + |
|
|
|
|
|
• / (v) dv |
+ |
|
A,) |
|
sin -J - (v — A/) |
|
|
|
|
|
p sin - i - |
(v + A,) T |
sin — |
(v + |
A,') T |
|
|
|
|
+ { |
— |
-------------------- \ -------------- f(y)dv |
“Ь |
|
|
J sin — |
(v’ |
+ A,) |
|
sin — |
(v + |
V) |
|
|
|
|
+ |
2 |
cosA,(^ — s)cosX'(t’ — s')x(s — t , |
V —4, s '— t), |
|
t , S , t ' , S ' = 3 ,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда и следует (72).a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другая форма записи для ковариации имеет вид |
|
(77) |
Cov (/ (А.), / (Я')) = |
- i - |
|
^ |
|
Cov (cr, ср) cos кг cos к’р = |
|
|
|
|
|
r,p=.—(T—t) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
( г * 1 |
Г |
- И |
Т — |pI |
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
и * — s)o(*— s - f |/ - | - |р |)+ |
|
|
|
М |
1 = - ( Г - | ) |
/= 1 |
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ а (^'—S — I Р I) <y(t — S + |
I г |)+ |
|
|
|
|
+ |
K (|r|, |
S— t, s — t + |
|р|)] coskrcosk'p. |
Так как к,т(Я, Я) = kT (Я), то (72) для Я = |
к' запишется следую- |
щим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(78) |
Var [/ (Я)| — I |
Сk T (v 4 - A, |
v — Я) / (v) d v |
+ |
|
|
|
- U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Ь £ J кт(v • • Я) / (v) dv |
+ |
|
|
|
|
|
|
4л2Т5‘ |
2 |
|
cos ^ V — s) cos |
|
— s>) X |
|
|
X и(« — t, |
|
|
|
s' — 0 = |
|
|
|
JЛ |
(v -f. A, v — Я) f (v) dv + 18/(Я)|* + |
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 495
+ 4^ 2 COS %(t — s) cos A (t1— s') X
x x ( s - t , t’ — t, s '- t ) .
Нам будет полезно также знать ковариации косинус- и синуспреобразований А (А) и В (А).
Т е о р е м а |
8.2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(79) |
|
|
|
|
|
|
Cov \А (А), |
А (А')] = |
|
|
|
— ■Щ- |
j fкт(v — A', v + |
A) cos |
(А' + |
А) (Т + 1) -{- |
|
|
|
‘-Я*- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ kT( v - K , v - A ) c o s - i - ( A '- A ) ( r + |
l)]/(v)dv, |
(80) |
|
|
|
|
|
Cov [А (А), |
В (A')] = |
|
|
|
~ |
|
j |
f |
(v — A', |
v + |
A) sin |
(A' + A) (T + 1) -f- |
|
|
|
Jle |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ kT(v - |
A', v - |
A)sin 4 - (A' — A) (T + |
1)] f (v) dv, |
(81) |
|
|
|
|
|
|
Cov [5 (A), |
В (A')] = |
|
|
|
= - y - |
jU r ( v |
+ A, |
v + |
A')cos -j- (A ■— А')(Г-f 1) — |
|
|
— M v + |
A, |
v — A')cos4 - (A + A')(7* + |
l)l/(v)dv . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
i |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
(82) |
g A (A) A (v) + |
i%A (A) В (v) = |
8 A (A) [A(v) + |
iB (v)] = |
= -ft |
]>jO(t — s) cos Atet™ — |
|
|
|
|
|
1 |
t,s= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~W |
f |
2 |
^ tl(<~s,+'vs cos ktf (p) d[n = |
|
|
|
|
я |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f((i)dp = |
496 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г Л. 8.
|
4 |
p sin-2-(v -fi)T |
|
^ |
|
|
г |
^ -^ .[^ W + |
= |
|
~т* |
) ~ |
i |
|
ё r (v-P)(r+l)2 |
|
(V— |Х) |
|
|
|
|
<•=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Sln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f |
s<n — |
(v - ц |
Г |
|
, |
Г sin |
2 |
((Я.+ fi) Г j |
|
|
-JL |
l |
----1__ |
|
J -rr V(T+1) I |
|
|
|
__ ё т нт+1) + |
|
T* |
j |
i |
--------e |
2 |
L |
|
Г |
|
|
|
|
sm~ |
(v—ii) |
|
|
sin— (X.+ Ц) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(к — ц) T |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ _ J _ ----------- e- |
' f Wr+1> |
f(n)dy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin — |
|
— ц) |
|
|
|
|
2 |
f sin~ |
|
|
|
sin - i - |
(Я, + |
|A) T |
|
t |
|
|
|
г* |
) |
~ |
i |
|
|
|
2____________e< j - (v+WT+l) |
|
|
(V-H) |
|
sin — |
(Л + ц) |
|
|
|
|
|
|
|
J |
sin — - |
v __ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
(X— |i) T |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
f |
v (v-W T+l) |
f(H)dn, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
„ |
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sm — |
|
(Я, — |i) |
|
|
|
(83) |
8 A (X) В (v) + |
i%B(Я) В (v) = |
8 |
[A (X) + |
IB(Я)} В (v) = |
|
= |
- fr |
2 |
— s )^ s in v s |
= - 4 |
- |
|
( 2 |
|
e'|i(<~s)+'wsin vs/ (^) ф |
|
M - i |
|
|
|
|
|
1 |
|
* ,s= l |
|
|
|
|
|
|
Я |
Г |
|
|
sin — ■(X+ JA) T |
J |
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
y r |
1 |
\ e~1*5sin vs — |
-x-----------ё T л+11)(Г+!)/ (Ц) dji |
|
|
|
*L *2 Г |
|
|
|
Sin — (Я,+ Ц) |
|
|
|
|
|
|
A |
f sin“Г |
|
^ |
r |
1 |
|
|
|
' |
|
|
1 |
|
|
|
j r |
|
-------------- el T |
( ^ « r + D 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ———(AЯ. -I- |i)Ll) |
|
|
s—1 |
|
|
|
|
|
2 |
л smin — |
i(Х, + ц )Г , |
Г |
2 |
v |
__ e'YMr+i) |
|
|
9 |
|
iT* |
1 . |
1 |
|
|
L |
sin— (Х + ц) |
|
|
----- |
|
sin - 5- (v — Ц) T .
1_______ _ 6‘Y v(74-l). sin — (v — Ц)
8 .3 |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИИ |
497 |
|
|
|
|
|
sin |
(v + |
fi) Т |
t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
___ e-t т V(T+1) f (ц) Ф = |
|
|
|
|
|
sin ~T <v + ^ |
|
|
|
гЬ |
|
--- |
t1) 7' |
sin-L (v — ji)T |
, |
|
|
2 |
r |
sin-Tr(^ + |
|
|
g t y < 4 - v > < r + i ) _ _ |
|
Г |
|
2 |
|
|
|
|
iT2 |
1 |
. |
1 |
ц) |_ sin — (v — |i) |
|
|
|
|
_Г„ |
sin«i |
— (Я + |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin — |
(v + |
n)?' |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
— ( X . - v ) ( r + l ) |
/(ц )ф . |
|
|
|
|
|
sin — |
(v + ц) |
|
|
Теорема следует из рассмотрения действительной и мнимой частей (82) и (83). в
8.3.АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
ИКОВАРИАЦИИ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНЕГО, КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
8 .3 .1 . Выборочное среднее
т
Выборочное среднее у = 2 yJT есть несмещенная оценка
fs=sl
величины р = %yt для процесса, стационарного в широком смысле,
т. е. %у = р. Дисперсия величины у была приведена в разд. 8 .2 .2 в виде линейной комбинации величин а (0), ..., а (Т — 1) и в виде взве шенного интеграла функции / (А,). Имеем
(1) |
ТVar у = J |
( l - ^ |
W ) - |
|
г=—(Г—1) ' |
' |
ft sin® - i - XT
=--------f ( X) dk.
J т sin® — X
—я 2
Теорема 8 .3 .1 . Если
Г = з—OO
m o
(3) |
lim T Var у — 2 a (r)- |
498 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
Если } (Я) непрерывна при % — 0, то
м) lim Т Var у — 2nf (0).
T-+OQ
Доказательство этой теоремы, использующее сумму в формуле (1), представляет собой частный случай утверждения, что суммиро вание по Чезаро сходящегося ряда не меняет его значения. Это эк вивалентно следующей лемме.
|
оо |
|
|
|
|
|
Л емма 8.3.1. Если 2 |
а, сходится, то |
|
|
(5) |
й |
2 |
( , - |
т Ь |
“ 2 |
а '- |
|
|
Л=1 |
|
|
г =1 |
|
|
Д оказательство леммы. |
Из |
сходимости |
2 |
аг следует, что для |
любого положительного е существует |
число |
Те, такое, что для |
каждого Т > |
Те |
|
|
|
|
|
|
1
(6) 2 аг < - в .
г=Т
Из сходимости следует также, что существует число М, такое, что
(7) |
|
|
2 аг < М , |
Г = 1, |
2, |
|
|
|
|
г=*Т |
|
|
|
|
|
Тогда для |
Т > |
Tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
7 - 1 |
| |
o o |
|
7 - 1 |
, |
|
7 2 |
|
a' + 2 |
rar |
(8) |
|
|
|
|
r~T |
|
r=\ |
|
“ |
2 |
( 1 |
тг) а' |
= |
|
T |
|
|
|
|
Гша1 |
|
r=\ |
X |
' |
|
|
|
|
|
|
|
7 — 1 |
оо |
оо |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 gs + |
2 as |
|
|
|
|
|
|
Г— 1 |
S==r-f-l________5 = 1 |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
7V-1 |
oo |
7- 1 |
< { 2 |
2 aS + |
2к |
r—\ |
S—Г-f-1 |
CO 1 |
oo |
|
OO |
s =2r+ l |
+ |
r=*l2 °r T ~ * < |
8 .3 . |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИИ |
499 |
Для Т > |
Те п Т > Те = 2 ТеМ/е формула (8 ) меньше е. Это и дока |
зывает лемму, щ |
|
Заметим, что абсолютная сходимость (2) не является необходи мой для (3).
Второе соотношение для предельной дисперсии следует из пер вого, если ряд Фурье для f (А,) сходится к f (0) при X = 0. Тем не ме нее мы выведем этот результат непосредственно из интегрального представления в (1), так как такие методы доказательства будут полезны в дальнейшем. Взвешенный интеграл содержит ядро Фейера
|
sin* — XT |
<9) |
kT (X) ---------- Ц |
- . |
|
2пТ sin*— |
X |
|
2 |
|
Интеграл от kr (X) по (—а, а) равен
В частности,
|
|
Л |
|
(11) |
|
j kr (X)dX = |
1. |
|
| sin х | < |
—Я |
|
Поскольку |
1, то |
|
(12) |
|
кт(Х) < -------- -—j— |
|
|
2л Т sin2 — X |
и отсюда |
|
|
2 |
|
|
|
(13) |
|
lim kj (Я) = 0, |
ХфО. |
|
|
Т-+ ОО |
|
Более того, |
так как |
sin -j- X возрастает на [0, я), то сходимость |
равномерна на любом отрезке [а, я] для а > 0 , т. е. |
(14) |
кт(А>) ^ |
--------- j— , 0<С.о ^ |X| ^ я. |
|
|
2яГ sin* — а |
500 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
Таким образом,
Л Л
(15) |
Г м я ) < а < { ------ — х— = |
— |
" ~ |
у |
-*о |
|
д |
у 2яГ sin2— а |
2пТ sin2— |
а |
|
|
л |
|
|
£* |
|
при Т -*• оо. Итак, доказана |
|
|
|
|
Л емма 8.3.2. |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
lim |
СЛг(Я.)dA. — 1, |
0 < а < я , |
|
|
Т-+оо |
J |
|
|
|
|
|
|
—а |
|
|
|
|
|
—а |
я |
|
|
|
|
(17) |
Нго С kf (Я) dX = liro I kj (Я) dX = |
0, |
О <С. а ^.п . |
|
Т~*ооJ |
Т-+оо*$ |
|
|
|
|
|
л |
а |
|
|
|
|
Одно из утверждений теоремы 8.3.1 вытекает из следующей лем мы (формулировка которой дается в достаточно общем виде для того, чтобы ее можно было использовать и в других случаях).
Л емма |
8.3.3. |
Пусть выполняются |
следующие |
условия: |
Л |
|
|
|
|
|
|
£ |Л(Я)|с1Я-< оо, функция Л (Я) непрерывна при |
Я = v для неко- |
<— Я |
|
|
|
|
|
|
торого Т0 |
|
|
|
|
|
|
(18) |
$ /г (Я )Л = 1 , |
Г - Т о , - . . . |
|
|
|
«—Я |
|
|
|
|
|
существуют число К и целое число Т1г такие, что |
|
|
(19) |
J | /г (Я) |
Т = Тг........... |
|
|
|
—Я |
|
|
|
|
|
и для некоторого Тг |
|
|
|
|
|
(20) |
11т(Я) | ^ |
ттп (а), |
|Я — v | ~^а, |
Т = |
Тг, . .. |
у |
для каждого а > 0 , а п (а) — монотонно невозрастающая функция
от а для 0 < а < |
я, |
тт-*-0 при Т -*■ оо. |
Тогда |
|
|
(21) |
lim |
\ h(X)lT(X)dX = h(v). |
|
Т-*оо • |
|
|
—Я |
Д оказательство. |
Предположим, что — я <С v < я. Для заданно |
го в существует 8 , |
такое, что | h (Я) — h (v) | < е при | Я — v | < 8 . |
Из (18) и (20) получаем по аналогии с доказательством леммы 8.3.2
8 .3 . |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИИ |
50 £ |
|
V+6 |
|
\ [А (Я)— A(v)l X |
■ h{X)lT (X)dX— A(v) | lT(X)dX = |
1 |
V—6 |
v - 6 |
J - |
V—б |
|
|
|
V+6 |
|
X W(^) ^ |
< |
j |
| А (Я) — A (v) 11 IT (Я) | dX < Кг, T = Тг............ |
|
|
V—6 |
|
Для T >• T2 |
имеем |
|
|
V—б |
h(X)lT(X)dX+ f |
А (Я) 1Т(Я) dX |
(24) |
j |
|
|
|
V-f6 |
|
|
|
|
V—б |
J | Л (Я) | dX n(b), |
|
< m T |
J | Л (Я) dX -j- |
|
|
|
|
v+e |
а последнее стремится к 0 при Т -*■ оо. Доказательства для случаев v = — л и v = л проводятся аналогично. Заметим, что из (18) сле
|
|
|
|
|
дует (19) для К = 1, если |
1т(Я) > 0 . щ |
|
Доказательство формулы |
(4) |
представляет собой частный слу |
чай леммы 8.3.3, когда Л (Я) = |
2 я / (Я) и 1т(Я) = |
Аг (Я). |
Оба условия теоремы |
8.3.1 |
2 о W < |
00 и непрерывность. |
Lг= *= — о о
/(Я) при Я = oj вытекают из предположения
(25) 2 И г ) | < оо.
8 .3 .2 . Выборочные ковариации
Если среднее значение р известно, то СА, определенное формулой
(7) §8.2, является несмещенной оценкой о (А), А = О, 1, ..., Т — •— 1. Оценка ch= (Т— | Л | ) СН!Т имеет смещение — | Л | a(h)IT, и для
любого А предел смещения равен 0 при Т |
оо. |
В разд. 8.2.2 было показано, что когда |
р неизвестно, матема |
тические ожидания оценок С\ и Сь являются линейными комбина циями величин a (0), .... о (Т — 1). Отсюда, вообще говоря, следует, что они смещены. Покажем, что это смещение имеет порядок 1/ 7’. Действительно, смещение приблизительно в 1/7 раз отличается отвеличины
S02 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
предел которой равен — 2 ° (г)> если последний ряд сходится.
Гая— ОО
Разность между а (h) и 8 С*н, как видно из формулы (50) § 8.2, со держит три члена. Последний из них совпадает с выражением (26), умноженным на —МТ. Второй и третий члены дают в сумме
T — h |
Т |
la (t — s) + a (t + h — s)]/[T (Т — h)l Поскольку |
— 2 |
2 |
/=1 |
S=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<27) |
T — h |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t— I |
s= I |
|
|
|
|
2 |
a ( * - s) |
|
|
|
|
|
|
|
/,s=«l |
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
a(f — s) |
|
|
|
|
|
t = T - h + l |
s = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(h - \r \)o (r ) + h T% o(r) + |
2 |
iT - r ) a (r ) |
|
r— (ft—1) |
|
|
|
|
|
r=0 |
|
r=T—h+1 |
|
|
|
|
|
|
ft—1 |
|
|
|
|
|
|
|
* 2 |
® W + |
2 |
(Л — r)o (r) |
|
|
|
|
r= 0 |
|
|
|
r= 1 |
|
|
|
|
|
|
когда T -*■ oo, если 2 |
° (r) < °°. |
то смещение, умноженное на T, |
|
|
|
|
|
ОО |
r= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
(г)- Аналогично можно получить и другие оцен- |
■сходится к — |
|
2 |
|
|
|
Г——ОО |
|
|
|
|
|
|
ки, такие, |
как |
Сь. |
|
|
|
|
|
|
Теорема 8.3.2. |
Если |
2 |
° (г) < |
°°, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г= —оо |
|
|
|
<28) |
Нш Т [gCft — а (Л)] = |
lim Т [8 Cft— а (Л)] = |
— f j а (г). |
|
Т |
ОО |
|
|
|
|
|
|
Г -О О |
|
|
Ггав—-ОО |
Если f (%) непрерывна при X = 0, то |
|
|
|
<29) |
|
lim Т [gCft— а (Л)] = lim Т [8 Cft— а (Л)] = — 2лf (0). |
|
|
7V*>oo |
|
|
|
|
|
Т-*оо |
|
|
|
Вернемся теперь к ковариациям оценок. Большинство этих ре зультатов было получено Бартлеттом (1935), (1946) и Парзеном (1957b). Из теоремы 8.2.6 имеем
<30) (Г — h) Cov (СЛ, С*) = g—А
= 2 fo Wa + h — &>+ а (r — s )а (г + Щ +
