Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 7653 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>

8.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 523

все члены суммы в правой части неотрицательны и				2 I Y s\| < ° ° -
Тогда
<27)	%Т [А (Я) — Ак(Я)]2	4ст2 max cos2 Яt	2	/ Vs 11 Ys' I <
		<=1... т	ls\|,\|s'l>ft
	<	4а2

что стремится к 0 при k-*- оо. Мы применим следствие 7.7.1. Запишем

<(28)

Л М

4 - 2

Y . ^ c o s W -

/=1s=-fe

( T - k

Г' k

bYs cos Я (г +

ог +

‘

1г=/гЧ-1 1.s*=—fc

Ys cos Я (г +

s)j vr +

r = l — k Ls=—r-f-I

■+

T + k

Г T - r

s )|o J .

у5 соэЯ(г +

r = T - k + 1 . s=—k

Сумма

квадратов коэффициентов

величин

Oi_*,

..., vk, vT-k+i, ...

..., vT+k,

умноженная на Т, сходится к 0, когда Т возрастает. Таким

образом,

предельное

распределение

величин

V T A k (Я) есть пре

дельное

распределение

произведения

величин

2 а

/ 2

f 2

s)T/r

Ys cos Я (/■+

wrt

2 * I

где

r=*+i Ls=-*

<-=ft+i

2 Ys«>sb(r-f-s)

<29)

S~—k

|2 ■*V.

w, —

Т— k

Ys cos Я (r

s) l

r= k -\- \

l_S=—k

r = k + 1, . . . , T — k; T = 2 k + l ,

Тогда

из

центральной

предельной теоремы

Линдеберга

(теорема

Г—ft

7.7.2) следует, что

имеет нормальное

предельное

распре-

r— k-\-\

деление (согласно доказательству теоремы 2.6.1), а другой сомно житель сходится к постоянной. Затем применим следствие 7.7.1,

524 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8 .

чтобы показать, что У ~ Т А (Я) имеет нормальное предельное распре деление. Теорема следует из рассмотрения произвольной линейной комбинации

(30) У

Т \агА (Я^ +

ЬХВ (Я,) +

• • • +

апА (Я„) +

ЬпВ (Я„)] =

cos М + bi sin М

н—

У ‘

t=I

• • •

+ апcos ЯД + ьпsin ЯД],

так

как

характеристическая

функция

предельного

распределения

2 п

переменных

определяется

характеристическими

функциями

всех линейных

комбинаций

(теорема

7.7.7).*

оо

Следствие 8.4.2.

Если yt — р +

Ys^-s,

г^е {vt] состоит из

s =

— ОО

среднее

значе-

независимо распределенных величин, причем vt имеет

оо

ние 0, дисперсию о2 и функцию

распределения F t (v),

и если (23) выполняется

при

с - *-

оо, т о

V Т А* (ЯД

/ = — оо

]/Т В* (ЯД ...

. ..

V Т

А * (ЯД

Т В * (ЯД

0 <

к-, < я, %(Ф Я/,

i Ф ] ,

г, j =

1,..., п ,

имеет нормальное предельное распределение со средними

значениями 0, нулевыми ковариациями и дисперсиями, соответствен но равными 4я/ (ЯД 4я/ (ЯД ..., 4я/ (ЯД 4я/ (ЯД

Доказательство. Следствие вытекает из теоремы, так как

(31)

V T а * (Я) =

V T а (Я)— У т (у — р) Ц - 2

cos я/

(32)

ут в*(Я) =

ут в(Я) - V T ( у - ц) 14- 2

sin яА ,

<=1

а выражения в фигурных скобках стремятся к 0 при Т

-*■ оо.

Теорема и следствие могут быть доказаны при замене (23) на

предположение о том, что § | vt |2+б < М для некоторого 8

> 0. По

поводу более слабых условий

см. Олшен (1967).*

Иногда нас будут интересовать выражения

(Я) =

(Я)/]/с0,

В (Я) = В

(Я)!Ус0 и /

(Я) = /

(Я)/с0. Так как

с0-> о (0 )

по вероят

ности

и §Л (Я) = &В (Я) = 0,

то предельное распределение множе

ства У Т А

(Я/), У Т В

(Я/),

/ = 1....... п,

то же

самое,

что

и для

У ~ Т А

(ЯД У Т В (Я/),

/ =

1, ..., п , за

исключением тех

случаев»

когда f (Я,) заменено на f (Я;) для каждого /. Аналогично предель

8.4.	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ			Б25
ное распределение величин 7 (Я^,		...,	/ (Я„) есть не что иное,	как
предельное распределение I (Aj),		...,	I (Я„) с замёной/ (А,/) на /"(А,/)
для каждого /.
8.4.4. Выборочная	спектральная плотность
Так как
(33)	/(Я) = ^-[Л*(А.) +		^(Я)],

то мы можем получить предельное распределение выборочной спек тральной плотности / (А,) из предельного распределения тригономет рических коэффициентов А (X) и В (А,).

оо

Т еорема 8.4.4. Если yt = р + 2 Ys^ - s , где {»*} состоит из-

S— — ОО

независимо распределенных случайных величин, причем vt имеет-

среднее значение 0 , дисперсию а2			и функцию распределения Ft (о),
	оо	и гели (23)	выполняется	при	с-*- оо,
	2					то-
2/	(A,j)/f (А»!), ...,	21 (Я„)// (Я„), 0 <; А,/ •< я, А,^ ^		Яу, i	/, i,	j =*
=	1, ..., n, имеет предельное распределение, в котором эти п пере

менных величин независимы и каждая имеет X2-распределение с двумястепенями свободы.

Теорема следует из общего результата о том, что если случай ный вектор Хг есть векторная функция h (Zт) случайного вектор» Zт, h (Z) непрерывна и предельное распределение вектора 2Т яв ляется распределением вектора Z, то предельное распределение Хг является распределением для h (Z). (См., например, Манн и Вальд. (1943а).]

Теорема 8.4.4 также выполняется, если / (Ах) , ..., / (Я„) заменить на /* (Aj, .... /* (Я„).

Для больших выборок мы можем сказать, что / (А,) распределе но приближенно как / (К)Х\12, где имеет %2-распределение с 2 сте пенями свободы. Это показывает, конечно, что / (А,) не является со стоятельной оценкой функции f (А,). Однако тот факт, что I (Я) для различных значений Я асимптотически независимы, означает, чтоусреднение /(Я) по значениям Я в некотором интервале даст оценку соответствующего среднего величины f (Я) с малой дисперсией. Если f (Я) мало изменяется в этом интервале значений Я, то оценка, будет приемлемой. Эта идея будет более подробно развита в сле дующей главе.

Несколько иной подход был использован Бартлеттом (1966,. разд. 9.2.2).

526 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л . 8. •

	Теорема 8.4.5.	Если	у,	=	р + 2	Y, » /- s ,		где %vt = 0, %v] =
— а2 и Bvtvs = 0,		t Ф s,	и	2	IТИ V \ t \ <		°°,	то абсолютная ее-
				(——“О				где
личина разности между I (К) и Гл/ (А,) /„ (Я)/а2,								где
(34)	/,(*) =		/ Г		\\*2	// ГТ		2-1
(34)	/,(*) =	2пТ ^23			cos м J +	^ 2	s*n ^ J

имеет математическое ожидание, которое меньше некоторой по

стоянной, умноженной на 1/У~Т. Если vt независимы и Sv* = За4 + + х4 < оо, то среднеквадратичное отклонение этой разности меньше постоянной, умноженной на ИТ.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть

(35)+

У J t— 1 S— — 0O

= -	^	2	т,	2 v * ('+s) =
У /		S = — СО	Г=1— S
- Т	7=г	2	Ys^	s[ 2 ^ -

УI S— — CO

— 2	vreiXr -{- 2		vreP*—>
r= 1		r=T+	1
		T	О
	—	2	Vr^%r + 2 Vre‘Xr
		r—T—s-J-1	r = l—s

где каждая из последних пар сумм есть 0 , если верхний индекс

го

меньше		нижнего		(т. е.	2	vre‘Xr = 2 v eiXrs=0, если s < О
—s			Г—s		г=Г—s+l		г=1—s
—s	vre‘Xr=		Г—s
и 2	vre‘Xr=		2	=	0 , если s >		0 ).
г=1			с=Г+1
Тогда
(36)	у	г [	а д	- а д	2	J	+
					S = — со	J
			- И / г [ а д - а д				2
				L			S= —00

8.4.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

527

Отсюда математическое ожидание абсолютной величины квадрата выражения (36) равно

(37) - f S	2
1	s,t= —оо
	< 4 -	2	Ы	Ы	* 1* .(* )& (Ч 1 <
	1	s ,t= — СО
	А	00				_ _______ __ _____
	< ~ т	2	lYsllY,lK8\|ft(A)PK8\|ft(A)i2=
	1	S,t~ —оо
	= -\|-( 2		IYJ K ^ U S(A)I2) <
	1	\ S,t~—со						/
	< ^	*J ] J YS IV			W	\	j	= -у1 ( S	IYs IV F \ j .
так как			0					T
(38)			0	v ^ '		—		T
(38)	S\|ft(A)\|2=		2	v ^ '		—		2 1
							r = T - s + l
		\|	2so2		при		0 <Zs<.T,
		'	27’c2		при		T ^ s
(39)			\|	T —s				*—s	2
(39)	8\|ft(A)\|2=		j	>J	tV ^ — 2
			\| r ^ r + 1					r = l
			I	2 1s \| о*			при — T <		s < 0,
			1 2 Го2				при s < — 7\

Точно также математическое ожидание четвертой степени абсо лютной величины выражения (36) равно (когда vt независимы и

%v) < оо)

(40)	_16	2	YsY»'Y<Y/'ert<s+,'“ <“ 0 f t (A) f t ' (A) f t (A) gr (A) <
	Т2
		s,s'ftf,/'=*— оо

, , 2	I Ys 11Y' 11 Y< 11Y /' 11® I f t (A) I4! 7 X
x [ 5 1f t '	(A.) l4iv ‘ [S I f t (A) I4]7* [S I f t ' (A) \|41V‘ =

628 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.

i v . i i * i & w r 4

*f2•(

S— — 00

)

< - ^ - [ ( в о ?),/4

I YsI К 2 М

s= — оо

Правую часть в (36) обозначим U. Тогда

(41)

V T \ A y (X) +

i B y (K)) =

V T [ A v (k) +

iB 0 (X)] 2

уj B ^

+ U

s = —оо

(42)

Т [Ла(X) + B l (X)] = Т1А 1 (X) + B l (X))

yseihi

+ V T

A v ( X ) ( u

у / ь

+ и

2 Yse~as) +

\ S=

ОО

S = — оо

+ i B 0 ( X ) [ u

2 у / *

* - и

tk s

+ |( / р .

y se~ i:

Математическое ожидание величины

| U |а было

оценено в

форму

ле (37). Математическое ожидание абсолютной величины второго

члена правой части выражения (42) меньше квадратного										корня ма
тематического ожидания величины						Т	\А\ (Я) +		В\ (Я)],		которое
меньше 4 а2, умноженного на квадратный корень 4§ \| U\z										оо	2
меньше 4 а2, умноженного на квадратный корень 4§ \| U\z										2	Ysefts ,
что в свою очередь меньше				правой		части		(37),	умноженной на
8 л/ (Я)/аа. Это доказывает первую часть теоремы.
Из (42) получаем
(43)	(8 л)а{/ (Я) -	2л/ (Я) 10(Я)/аа]а =
	- { 2 у ^ [ л ,( Я ) я ( ( 7 j s ^					’
	~-Bv(VV[U		2	Ys^	s' ’+	\|t / \| 2		<
		\	S = — со
	< 4 П \| Л 0(Я)\| +		\|5 0(Я)\|]2\|^12				2	Vse‘K	+
						S=	— oo
	+ 4 V T	( \| Лр (Я) \| +		\|	(Я) 1111/13			2 Vse‘ls +		\|f / \|4.
Вторая часть теоремы			следует из предыдущего, упр. 33, формулы
«(40)	и условия,	что	S t ] / f Л„ (Я)]4			и	& 1УТВи (Я)]4 ограничены.

(h)/o (0), то можно написать

8.4 . АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 529

	А. М. Уолкер (1965) показал, что предел			по вероятности разнос-
		/ (А,) и 2 я/ (А,) 10 (А,)/а2 есть			со
ти	между	/ (А,) и 2 я/ (А,) 10 (А,)/а2 есть	0,	где	yt = 2 Ys0<-s и
ос					s=0
ос
2	1Vs \| <: °° . Олшен (1967) получил в		этом		направлении более
s=0		результаты.
глубокие		результаты.

8.4.5. Выборочные корреляции

Если выборочные ковариации имеют нормальное предельное распределение, то же самое выполняется и для выборочных корре ляций. Однако существование нормального предельного распределе ния корреляций может быть доказано и при более слабых услови ях. Мы сделаем это в данном разделе. Соответствующий результат был приведен в теореме 5.7.1 для конечного процесса скользящего среднего.

Если rh — ch/c0 и pft= 0

(44)	y f ( r h- p h) =	,
		С0

Знаменатель ведет себя, как а (0), а числитель имеет предельную ко вариацию

(45)			lim Т Cov [{ch— р„с0),			(cg— pgc0)] =
			Г - > с о
= Нш Т Cov (сА, cg) — pft Нш T Cov (с0, cg) —
	Г - * оо				Т •+ со
	— pglim Т Cov (с0, сл) + pgpft lim Т Var с0=
		ОО	Г -4 -ОО			Г - 4 СО
=		ОО	+	+ ft) +		a(r — g)a(r + h ) ~
=		2	+	+ ft) +		a(r — g)a(r + h ) ~
	Г= —оо
	— 2 р„ст(г) а (г +			g) — 2 р8ст (г) а (г + Л) +
	+ 2 Р«Рha*(r) + x(b,				— г,	g ~ r ) —
	'—	PhK (Q> — г, g —			f ) — P gK (h, — г, — r ) - f
	+	PsPhX(°. — r,		— /•)] =
		OO	I'&ytyt+hyt—ryt+g—r			p$ytyt—ryt+g—r
—		2	I'&ytyt+hyt—ryt+g—r			p$ytyt—ryt+g—r
	r—-OO
	— pg h tyt+nyl-r + pgpH&yht-r\ =
		OO	%ytyt-r (yt+h— phyt) (yt+e-r — pgyt~r),
=		2	%ytyt-r (yt+h— phyt) (yt+e-r — pgyt~r),
	Г——OO

530 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л . 8.

поскольку	%yt	=	0,- если	ряд	сходится. (См.	разд. 8.3.2.) Если
	оо
yt = Р +	2	VsVt-s, Ц		= 0,	Sof = а2 и Ни4 =	За4 + х4< оо, а.
	S = — ОО
		о о
независимы и		2	Vs <	оо, то
		s =	— оо

оо

(46)2 [к(А, — г, g — г)*—рлх (0 , <—г, g — г) —|

rs=---- ОО

~Р«*(А, — г, — r) + pgphx(0 , —г, — г)] =■

=-£г 1СТ(А)а (&) — РиР(°) ° (g) — PgO(0) сг (А) + р4рла2 (0)] = 0.

Поэтому_предельная ковариация (45) не зависит от х4. Когда вели чины V T l c h — a (A)], V T [ cg — ст (g)] и V ? [с0 — а (0)1 имеют нормальное предельное распределение, тогда величины У Т (rh—pft)

и У Т (rs — pg) имеют нормальное предельное распределение сосредними значениями 0 и ковариациями

оо

(4Ь wgh = 2 (P/-+fiPr+A + Pr-gPr+h— 2php^,+g —

г = — оо

2РяРгРг+л * 2pgPhp2) —

4п С

3 (cos vA — Pft) (c°s Vg — Pg) / 2 (v) dv,

которые являются интегральным представлением предельных кова риаций. Так как предельное распределение не зависит от х4, можно ожидать, что результат получится при ограничениях только на вторые моменты.

Теорема

8.4.6. Пусть y t

= р, +

о о

yjt-s,

где

0 0

| ун | <

' 00

S = — со

h — —oo

< ° ° »

|Л| уй <С 00

и {о,}

состоит

из независимых и одина-

h=—oo

ново распределенных

случайных

величин

с &vt — 0

= сг2 <

оо. Пусть rh

= c hIc0,h

т. Тогда совместное распределе

ние величин У Т (гг — рх),

V T

(rm — p j, где ph

a (А)/ст (0)=

o o

VsVsW

Vs>

стремится к

N (0,

при

oo,

S— — o o

S = — o o

где W = (wgh) дается формулой (47).

8.4.	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ		531
С ледствие	8.4.3. В условиях теоремы 8.4.6 совместное распреде
ление величин V Т (г* — рл), Л		= 1, ..., т, где г\ =	с1/с0, стремит
ся к N (О, W) при Т —у оо,		где V / — (wgh) дается формулой (47).
Д оказательство. Сначала мы докажем, что V Т (г, — р,) имеет
своим предельным распределением N (0, wu). Это			будет следовать
из того, что предельное распределение
(48)	4° = Y f { 2	УМ+1 — Pi 2 £/?},

где мы полагаем р = 0, есть N (0, о4®,) с

где yt,k определены в (3) и

k-i

(51)

Рi,k =

УкУн+и

Тл-

h=—k

Подставляя выражения для г/#,* в (50), имеем

(52)

Ml)

—

Т- l

Y/rtW-zM-w-e —

ZT,k

f=l

— Р1,к 2

УьУеЧ-нЦ-ц

t= 1 h,g=—k

Пусть г %

обозначает

выражение,

полученное из гт\к путем от

брасывания всех

членов,

содержащих

(1 — k < s <. Т + k), а

именно

(53)

Mb* _

Т- l

к—1

yhy&+ivt—hVt~g-

ут

. 2

ZT,k

к—/

/=1

h = - k g

hrfcg

— Ра 2 „ 2

УнУ&Ч-ьЧ-1

t = \ h%-gk

532 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНССТЬ Г л. 8.

Лемма 8.4.1. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение величины z(T,k при Т <х> есть N (0, o%fk)9где

2k+l

(54)

s,.k = 2

Ь%

г=Л

(5 5 )

8% = ft 2^ [ihih+1+r +

т л +,_г— Рi,k (УнУ'н+г +

У'кУ'к-Л

причем y'h = Тл. когда | h | <

k, и уь = 0 , когда | h | I>

Доказательство. Это было доказано в разд. 5.7.3.>

Пусть

ZT** обозначает выражение,

полученное

заменой у, на

оо

ysv‘-s

(48)

отбрасыванием

всех

членов, содержащих

S— — 0O

г <

оо),

а именно

vf (—оо <

! Т — 1

оо

( 5 6 )

Ф =

Y f

|2 . 2 'V b Y g + ^ - M - g '

1 t^i

‘Фё

•Рг

Нфя

yhygVt-hVi-

.]•

1 h,0= — ОО

Лемма 8.4.2.

условиях

теоремы 8.4.6 предельное распределе

ние величины г(г)Фпри Т -*■ оо есть

IV (0,

0%), где s* дается форму

лой

(49).

Д оказательство.

Предел

распределения

N (0, o*Si,k)

(которое

является предельным распределением для z(r£ при

с») есть

N (0, t^s,), когда k -► оо, так как

(57)

lims,,ft= - 4 “

[ГаГа+'+<- +

—

k-+oo

Г— — О0 [ h = — oo

— p / t o + r +

га?а- г)]) ,

что эквивалентно (49). Лемма 8.4.2 будет вытекать из следствия 7.7.1, если мы покажем, что

(58)	& \R% \*^M k,
(59)	НтЛ4А= 0,
	k-УОО
где
( 6 0 )	■Л й = г Г - г ? ; .

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 7653 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб5Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб2Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб4Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб1Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб5Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб3Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf