Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 7649 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 > Следующая >>>

8.2.					ОПРЕДЕЛЕНИЯ						483
Т е о р е м а 8.2.5.
(44)	Cov (Q, Р) =			т	Chtbs-f 12<т (s— s ')a (t~ f) +
(44)	Cov (Q, Р) =			2	Chtbs-f 12<т (s— s ')a (t~ f) +
			+	и (f — s, s’ ^ - s ,t ’— s)j =
					T—i
		=	2		2	o ( r ) o ( p )		2 2	аз/&5+г,/+Р+
				Г,р=ж— (T—l)			s £ S r i £ S p
					7—1
			4”		^		iS			t ——S4” p )==
				-,P=— (г- D sesf *esp
		=	2	f	f Jj			2	bs.,.e -‘ ^ ' ~ vr)f(X)		x
				Л Л ^ = '			T
			X / (v) dXdv 4-				T	asibs-,'K,(t — s, s'		— s)=
			X / (v) dXdv 4-				2	asibs-,'K,(t — s, s'		— s)=
							srf.sV'—I
		=	2 J		J Л(Я, v)B(Jl, v ) f ( X ) f ( v ) d X d v					+
				—Я *■—Я
		+		r	as&s'/'X (— s, s' — s, /' — s),
		+		2	as&s'/'X (— s, s' — s, /' — s),
где
(4 5 )			В(Я, v)=			2	ь4~
Д оказательство,
		T					1 0 (& —Ц)(У.— \|i) ( 0 "			— ( O “
(4 6 )	8 Q P =	2	а Л ч ' * ( й —				1 0 (& —Ц)(У.— \|i) ( 0 "			— ( O “
		sAsV'-i
	=	2	eA'f'H*—Oafs'—04-a(s—«OaU — П+
				4 - CT(S —			— s ' ) 4 - x ( f — s, s' — s,				— s)J.

Из этой формулы следуют два первых выражения для Cov (Q, Р).

Кроме	того,	л я	т
		л я	т
(47)	Cov (Q, Я) = 2	f Г	2	o A ('e 'tx<s- n '	v(M'>J>(
		- я - я ^ ' . Г =.1
	X f( k )	f (v) dXdv 4-		2 a « b ,.f X	(t — S, S' — s. r ~ s)-

s,*,sV '«=l

484 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.

Это дает нам два последних выражения для Cov (Q, Р). Заметим, что теоремы 8.2.4 и 8.2.5 являются обобщениями лемм 3.4.3, 3.4.4 и 3.4.5. в

Если процесс гауссовский, то семиинварианты четвертого по рядка х (А, г, s) — 0. (Они могут быть нулями и в случае негаус совского процесса.)

Вернемся теперь к моментам первого и второго порядков оценок величины а (А). Мы не будем пользоваться теоремами 8.2.4 и 8.2.5, а вычислим средние значения, дисперсии и ковариации непосред ственно (поскольку каждую ковариацию можно записать одинарной суммой вместо двойной).

Если р известно, оценка Сь величины а (А) является несмещен

ной,
(48)	%Ch= ^	g * (ft - р) (yt+н- р) =	а (A),
		A = 0 , 1, . . . . 7 - 1 ,
и, следовательно,
(49)	f c * « ^ ~ o ( A ) = » ( l — 4-)®(А), А — 0,		1.......... 7 — 1.

Смещение ск мало для малого А и относительно велико для боль шого А (когда относительная выборочная вариабельность велика).

Математическое ожидание величины С* (А >> 0)				равно
{7	h		7 h	7
2	( f t - i O t o - H - p ) - ^ S S t o - i * ) x
t=]			1s—1
x (ft— P )— 4 -		2	2 (ft-и — P ) (ft— P ) +
		/=1 s= l
+^~w~ 2	(ft— p )(ft— P )1 =
/fs = l			j
= a(A)— T(f - h )		g	I J H ' - S)+ <*(< + ft —s)]+

+ - f r S ° ( * ~ s)-

tf,S = l

После очевидных, но весьма утомительных вычислений получаем следующие соотношения:

(51) *CS = a(0)— jrJ®(0) + 2 2 ( l - - f - ) f f W ,

8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 485

(52)	8 c i =	cr(ft)-			° (0) +		2 2	[l	Г (Г — А)	] ff(r) +
			г—л—1				г = 1
		+	г—л—1		II
		+	2	2	II	Т (Т — h)			T — h ■]»(»■) +
			г=Л+1
		+ 2		т	(Г-Г) *				1 < Л < 7 ’— h —>1,
				2	(Г-Г) *
				2	Т (T — h) а (О .
			«•=Г—ft
(53)	8CJ =	а (Л) -		±	ja (0) +		2 jjj [ 1 -		— / %	] а (г) +
		,	9	7’— 1	(Г — г) ft
		,	9	^	(Г — г) ft		о(0	) ,	1 ^ h	= T — ft— 1 ,
		"г	r=ft+I		T (T — h)		о(0	) ,	1 ^ h	= T — ft— 1 ,
			r=ft+I
(54)	а д =	а(й)— f			\| а ( 0 ) + 2 Г^ ' [ 1				-	]a(r) +
		+	2	J	+	. И + 2		2
									Г — h — 1 < Л < 7 — 1,
(55)	%Cr_, =	а(Г - 1 ) -				ja(0 )+		2 2	- r a <r>} ■

Приведенные оценки являются смещенными, порядок смещения ра вен ИТ. Это будет показано в § 8.3.

Математическое ожидание величины С\ можно также выразить с помощью спектральной плотности. Из (50) имеем

(56) %С\ = J	{cos Ш		- Т ~	ГК) ГД		2	^	U~S)+		^ (<' S+6>1 +
+	4 г	1 J	eiUt- s>\f(X)dX =
		S , t — 1		J
n			sin	~2	XT sin			(T — h)
n	jcos Kh			~2	°	1~~2		л ^	n	cos	Kh *4-
f	jcos Kh		2		*------------------ j—					cos	Kh *4-
~ я [			Г s i n - i - А, (Г —				Л) sin				z
+	/ j h v £ i r V -			/(Я)<й.
+				/(Я)<й.
	U	^ - W .

486 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8*

Математическое ожидание величины Ch равно

T—h

(57)

%Ch = = *

Кй — Ц) — (.Уи ~ Ц)1 Кй+* ~ И - (йч- -

М-):

1=i

% 2 ,( y t— V)(yt+h— li) — (T — h )x

T — h

Lf. t=JI

X (yh — Р)(Ун+ — p)j =

= o(/i)—

T—h

(й — i*)(y.— 1*) =

zrjip

s 1 !

/=1 S=:/i+l

q (ft) -

{Tl

h)/

a ( t - s ) .

/=1

Так как C0

= Со, то £C0

выразится формулой (51). Поэтому из (57)

следует

(58)

lCh=

a(h) -

1 - ^ )

° ) +

2 (

l - | a ( r

)

T _ h

T—2h—\

7—1

»й+1

1 < / i < r — 2h — 1.

Другие случаи рассматриваются в упр. 10.

по

Эти математические ожидания

можно выразить также при

мощи спектральной плотности, а именно

T - h

.. „

(59)

8 С„ =

cos ЯА-

^”"s)

/(Я)4Я =

(Г — ft)2

i j

Z '

;

/=1

s -Л + 1

1	-*2V
sin —	Х(Т — h)

J cos ЯА j 1 —

\f(X)dX.

(Т — Л) sin - i - Я

Вернемся теперь к вычислению дисперсий и ковариаиий этих оценок для величин о (0), а (1), ..., а (Г — 1).

Т еорема 8.2.6.

(60)	(Т - A) (Т - g) Cov (Ch9 Ск) =

8.5.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ
	487

+ ‘	ft+’,I<+J"l/(4/(v)<JWv+			2	s= I	’	* + ' 8)
				f = l	s= I	’
л	Л
л	Л	( A , — v ) ( Г — h ) s i n - y	( A — v ) ( Г — g )
	s i n - y	( A , — v ) ( Г — h ) s i n - y	( A — v ) ( Г — g )
- *—Яn—я		i			““	x
- *—Яn—я		s i n * - y ( A —	v )
X cos —т ( * +		V ) h c o s - y ( A . + v )	g f	Q J ) f	( v ) d X d v	- f -

T—h T-—£

+ 2 2

/ = 1 s = l

K(ft>s — *• s~ 1+ g) =

T—h—1	(T — h — r) \|o (r)o(r + h — g) +
2	(T — h — r) \|o (r)o(r + h — g) +
r— max (g—ft,0) -f I

+ o ( r — g ) o ( r + h) + K(h, — r , g — r)\ +

max (g—ft,0)

IT — max(g, h)] \o(r)o(r -f- h — g) +

r— min (g—ft,0)

+(r — g) a (r + h) + x (A, — r, g — r)] +

min (g—ft,0) —1

+2 ( T — g — \ r \ ) \ o ( r ) o ( r + h — g) +

!■ =— ( T - g - 1 )

+ o(r— g)o(r + h) + x(h, — r ,g — r)\,

				0 < Л < Г , о
Д оказательство. Имеем
(61)			( T - h ) ( T - g ) % C hCg ~
	T—h T—g
=	8 2		2 (ft— i)U/t+h— MO(у— i1) (y+ ц) =
	* = 1		S = 1
	7-A 7-g
=	2	2	v (л>s — *>s~	f + s) =
	/ = 1	s = l
	T—h T—g
=	2	2	l°(ft)o(g) + a(/ — s)a(< + A — s — g) +
	* = 1	S = 1
	-f- o'		*—»s g) о (t +	A — s) 4 - x (A, s t, s — £
и
(62)			(T - h )(T - g )C w (C h,C g) =
т—h T—g

= 2* 2* M< — S)a(f + Л — s — er) + ff(/ — s — £)»(< +

/ * 1 S ssl

/ - Г

488 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л. 8*

х(А, s —

s — t +

g)I =

я т—h T—g

it. U—s) —‘V ( /- s + ft- g )

1*'

- я - я

<=>

*-•

Г—ft Г—g

ei%(<- s~ e) -

iv (,- s+ft)l / (A) f (V) d U v +

h , s - t , s - t +

g ) ^

^ M

5 = 1

5 sin - i - (Я, — v) (T — h) sin

-4- (Я. — v) (Г — g)

l -3- (X+V) (g-ft)

sin - i - (X — v) sin - i - (X, — v)

e~‘T <X+V) (г+Л)]f (A)f (v) dAdA + 2*

2* x (ft, s — t, s -

g).

/ = 1

S=*l

Отсюда вытекают и все

последующие равенства в (60). н

частности,

(63)

(Т — h)VarСь —

( 1 - т ^ 7 г ) х

/•= —(Г —ft— 1) '

X [а2 (г) + а (гV

+I "А)/ о’ (г—"

Л)"/ +I

к (Л,\ 1 — г,w h — r)]

Г Г sin - 4 - ( A - v )

( T - f t ) T

T — h

sin - ^4 - й(Я— v)лЛ I

X [ 1 +

e -W W ] f (k) f ( v ) dkdv +

T—h

+2 *(A. s — t. s — i + h) =

i,s=*1

p ? s i n * - i - ( X . - v ) ( r - / . )

_J Jn (T — ft) sin* ~ (Л. — v)

X cos2 -Y(А + v) hf (A,) f (v) dAdv +

+ 2 s — ^+ л ),

<,s=l

ft = o, 1, . . . , T — 1.

Если процесс гауссовский, то семиинварианты четвертого по рядка в приведенных выше выражениях обращаются в нуль.

в.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ	489
Вычисление ковариаций для выборочных ковариаций, когда
имеются	отклонения от выборочного среднего,	более трудоемко.

Рассмотрим

~	1	T- h	(Vt Ук) (yt+h —
^	T — h	2	(Vt Ук) (yt+h —		*/ft-f) =
		T - h		j	Т —ft	-1
		2 3		ytyt+h— TZTh	2 3	УгУь+ь *
		Ltz=x			f,s=1	J

Тогда

(65)(T— А) (Г — g) Cov (Cht Cg) =

Г—ft Г—g
= 2 2		lo ( t - ~ f ) a ( t + h — t' ~ g )
*=1 t'=l
+	o(t — t '— g)o(t +				h — t') +			x(h, t' — t , t ' ~ t +	g)]—
	J	T — h	T - g
— FTT5 2			2	И * — 0 ® (< + Л — s ' — g) +
+	a ( t — s’ — g)o(t + h — t') +							x{h, t' — t,s' — t +	g)J—
		Г—ft T-g
’	T — h 2		2	lff(*	f ) a ( s +			ft — V— g)-\-
		/,s—1	г'=1
+	o(f — f' — g)CT(s-f h — 0						+
+	K ( S	+ H — t,		t' — tt f		+	g — *)] +
		1		T — h	T - g
+	{T- . h) (T -g)			2	2	И * — t')o(s + h— s' — g) +

**s==sl *',s'=l

+CT(*— s' — g)o(s + fc__f') +

+H,(S + tl— t , t '—.ti s' + g -- /)] =

sin — (A, + v) (T —			sin Л A, (Г — h) sin	It v (T — h)
						X
sin	(A, — v)		IT — ft) sin —	Xsin — v
						]
			2	2
(k — v) (T g)		Sjn	^(T — g ) s \ n ~ v ( T — g)		"J
sin —	(A, - -v)		— ^)sin-i- A,sin-i-v		J	X

2

+ e ' ? ( W , 1/w /(v)(iW v +

490 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л . Ъ.

T—h T-g -			- u	t ' - t + g ) -
+ 2 2	х(л, v
/=1	1
j	T—h	*(« +	* - * .	t ' - t , t' + g - f ) +
тг=ц 2

0 < Л < 7 \ 0 < g < 7 \

(CM. ynp. 11.) Ковариации величин С* могут быть найдены анало гичным образом.

8.2.3. Моменты выборочной спектральной плотности

Рассмотрим теперь первый и второй моменты выборочной спек тральной плотности / (X), определяемой формулой (2 1 ), если среднее значение р известно. Первый момент равен

(66)

л ^ А.^ л,

так как %cr = (Т — | г |)<т (г)/Т. Его можно переписать в виде

8.2.		ОПРЕДЕЛЕНИЯ	491
Теорема	8.2.7.
(6 8 )	g / (А) =	J kT(v — А) / (v) dv,
где		— Я
где
		sin21 vT
(69)	fer(v)=------------ j---- •
		2nT sin2— v
Ядро kT(v) симметрично, имеет максимум			при v = 0 и периодич
но с периодом 2л; kT (0) =		77(2я). Это ядро называется ядром Фейе-
ра [см., например, Ландош (1956, гл. IV, разд. 2)]. Математическое

ожидание величины I				(Я) не равно f (А), а является взвешенным инте
гралом функции f (Я) [или g (А,)]. Так как f								(А) есть бесконечный ряд
с коэффициентами а (г), г =						0 , 1.......то, вообще говоря, /				(А) не мо
жет быть несмещенной оценкой, так							как	I (А) включает только Т
величин сг. Мы покажем в следующем параграфе,									что Нш Л/ (А) =
= / ( А).									Т-+оо
= / ( А).			что
Заметим также,			что
(70)	g/*(A)= 1 L			J		( l - if L)gC;cosA/l =
	=	2		( 1 “		iTi ) <I(/l)cosAh -
		h = — ( T — l ) 4				7
	— ш		2		( J ~ Jf i ) cos*A			2	C(h'	r)<T(r)’
		h = —( T — 1) X				7		r = — ( T — 1)
где коэффициенты С (Л, г) даны в формулах (51) — (55).										л ^ X ^ я,
где коэффициенты С (Л, г) даны в формулах (51) — (55).										виде интег
Для вычисления этого математического ожидания в										виде интег
рала от спектральной плотности запишем
(71)	%1* (А) =	~ j r	% 2		t e	- ^ - W	s	+ ^ V M'~ S) =
				s ,t= 1
		1		Т
		1		2	o(t — s)^ -s>—
		2лТ		2	o(t — s)^ -s>—
				S,tf=sl

_1_	sin	XT
_1_	2
T	a ( t — f) ё и
T	sin —	X
	sin —	X
	2

- t- j мг+1) e

492 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Г л . 8*

т		sin - j -	XT t i - MT+\)
— у-	— s)e~iU-		+
r,s=»J		sin —	X
		2
	1 . N2-
	sin —	% T X
+ Var y\	2		2 gl(%—v)(t-*rs).
+ Var y\	.	1 .	2 gl(%—v)(t-*rs).
	Sin---- A
	2

,	sin—-XT ( т
1	2	I V»
		Zi
T	sin — A,	u '= '

K k — v ) t + i v r - i —2M T + 1)	•»
e

eHv-X)s-lvr+i —M 7 4 -l)b

r,s~=l

sin —

XT V

(

sin —

vT ^ 2

f (v) dv =

/ I

„ .

sin — - A

J \ T

sin

— -V

sin —

(v — А,) T

2яГ

sin —

(v — X)

„

sin — XT sin —

/ (v) dv,

Я # 0.

1 .

_ .

sin ---- A

T sin — - V

Теперь вернемся

ковариациям

величины

(Я).

Т е о р е м а 8.2.8.

(72) Сот[ / (Я),

/(Я')]

j M v

Я,

v — X') f (v) dv^ -f-

j' M v +

Я,

v +

Я ')/(у^

-f

+ W

c o s k { t - s ) c o s V ( t'- s ') x ( s - t, t ' - t , s '- * ) ,

A s,f',s'=l

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 7649 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310 Мб16Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318 Мб57Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232 Мб16Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023411 Кб7Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20232 Мб4Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347 Мб26Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202315 Мб13Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202315 Мб59Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319 Мб16Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20237 Мб11Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239 Мб11Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf