книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf8 > |
|
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОПАРИАЦИИ |
8№ |
||||||||
(v) непрерывна при v |
|
и предел справа существует; |
|
|||||||||
. / |
— 0 |
|
||||||||||
есЛи 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Var / (я) — lim Var / (— я) = |
|
|
|
|
|
||||||
{ J O ) |
Т -+00 |
|
|
Т-ьоо |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f ( n ) + i i r n 1^ |
2 |
( - l ) '+ s+''+s'x ( s - / , |
t ' - t , s' — 0 »- |
|||||||||
|
|
|
|
|
f ,S ,* ',S '= l |
|
|
|
|
|
|
|
Ац f (v) непрерывна при v |
= я |
и предел справа существует; |
|
|||||||||
^ 4 ) |
lim Var / (А,) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Т-+оо |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/•(ЛН - Н т ^ ^ т |
cos X(t — s) cos A (t' — s') и (s — t, |
|
||||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s,M\s'=l |
t' — t, |
s' — t), |
|
A =^= 0, |
± |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если f (v) непрерывна при |
v = |
А и предел справа существует, и |
||||||||||
(75) |
lim Cov [/ (Л.), / (А')] = |
|
|
|
|
|
|
|||||
' |
Т-►ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 4& W |
2 |
cosA(^ — s)cosA '(/'— s')x (s — /, |
V— t, s’— t)r |
|||||||||
Г-*00 |
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± Kr |
если f (v) ограничена на (К — б, А + б) и (А' — 6 , А' + |
б) |
для нетто- |
||||||||||
рого б > |
0 и предел справа в (75) существует. |
|
|
|
|
|||||||
Лемма 8.3.5. Если |
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
||||
(76) |
|
|
|
lim-ir |
|и(г, и, да)| = |
0, |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r,u,w=-a- и |
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(77) |
Нт |
|
2 |
cos ^ V — s) cos А' (*' — s') х |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
X X(S — t, |
t '~ t , |
s' — 0 = СА |
|||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сделав замену s = t + г, f |
= t + |
и, s' — t -b |
||||||||||
+ а», |
имеем |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(78) |
|
|
cos A (t — s) cos A' (f — s') x (s — t, V — t, s'— t) |
|||||||||
~ |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
< . - f r |
2J |
lK(s— t, V — t, |
s' — O K |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f,S ,/ ' , $ ' = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
7—1 |
|
|
1 |
7-1 |
| x ( r ,e , |
w)|.* |
||
<-fr2 |
|
S |
|x(r, И, «0)1=-=- |
2 |
|
|||||||
|
|
|
г,ы,ш=—(7—1) |
|
г,м,ш=—(7—1) |
|
|
|
514 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
Следствие 8.3.3. Если (76) |
выполняется и f (v) непрерывна при |
|||
v = 0 |
и v = я, то |
|
|
|
(79) |
limVar 7(0) = 2/г(0), |
lim Var / (± |
я) = 2 /* (я). |
|
|
Т-* ос |
T-+OQ |
|
|
Если / |
(v) непрерывна при v — X, то |
|
||
(80) |
lim Var/(*,) = |
/* (Я), |
ХФО, |
± я . |
|
Т~¥0О |
|
|
|
Если f (v) ограничена на (Я — 6 , Я + |
8 ) и (Я' — б, Я' + б) для неко |
|||
торого б > 0 , то |
|
|
|
|
(81) |
limCov[ /(Я), / (Я')] = 0 , Х ф ± %' . |
|||
|
Т -ь о о |
|
|
|
Важно заметить, что дисперсия величины 7 (Я) не стремится к |
||||
О при |
Т —> оо. В действительности, |
как мы увидим позднее, 7 (Я) |
не является состоятельной оценкой для / (Я) (так как 27 (Я)// (Я) име ет предельное Х2-распределение]. Более того, 7 (Я) и 7 (Я') для Я Ф Ф ± Я' асимптотически некоррелированы. Это предполагает усреднение 7 (Я) по некоторому интервалу для улучшения оценки величины / (Я).
Семиинварианты четвертого порядка в выражениях ковариаций для 7 (Я) и 7 (Я') равныО, если процесс гауссовский. Если [yt —р} —
линейный |
процесс, |
то |
соответствующий |
член, |
умноженный |
на |
||||||||
Т, равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(82) |
- p j r |
S |
cos Я (/ — s) cos Я' (f — s') к (s— 7, |
t,s' — t) = |
||||||||||
|
|
|
|
S ' = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
” |
4n*T |
|
2 |
c o s |
^ |
^ |
s ) c o s |
W |
О |
|
2 YP +*YP + SYP +*'Y P + S' ^ |
|||
|
|
/,s ,r,s '= l |
|
|
|
|
|
p= —oo |
|
|
|
|||
|
|
T — 1 |
|
|
|
|
|
o o |
|
|
|
|
|
|
= тфг |
|
2 |
C0S |
C0S ^ 'r |
2 2 |
2 |
YP+S-HYP+SYP+S'+^YP-K* |
|||||||
где Sr = |
{1, 2, |
..., |
T — г) для r > |
0 и Sr = {1 — r, |
2 — r, .... T} |
|||||||||
для r < |
0. Абсолютное значение выражения (82) |
не |
больше, |
чем |
||||||||||
(83) |
I К I |
|
^ |
|
°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4д2^г |
2 |
|
2 |
I YP +* 11 YP + S 11 YP + / ' 11 YP -H ' I ^ |
|
|
||||||||
|
|
|
^»S»// ,S , =ssl P — — OO |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
< |
1 ^ |
* 2 |
|
|
2 |
I YP +< 11 YP + S 11 YP +<* 11 YP + »' I =» |
|
|||||
|
|
|
|
/ = » ! s , / ' , s ' , p = — o o |
|
|
|
|
|
|
|
8.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИИ 515
а последнее конечно, если I УРI < 00 и | и4 | < °°. Таким обра-
зом абсолютное значение выражения (82) ограничено абсолютно схо дящимся рядом.
Следствие |
8.3.4. |
|
Если |
процесс |
{yt} |
порожден |
yt |
= р, + |
|||||||
|
во |
Vsvts, |
где |
%vt = 0 , |
|
|
a2, Svtvi = |
0 при |
t Ф st |
||||||
+ |
2 |
|
= |
||||||||||||
S = » — ОО |
|
= 0 |
при |
t Ф s, |
t Ф r, |
t Ф q, |
= |
За4 |
+ x4 ■< oo, |
||||||
Bvtvsvrv |
|
||||||||||||||
%v]v\ = |
а4 при t Ф s и |
00 |
| Y* I < |
°°. тогда: если f (v) непрерывна |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||
при v = |
0 и v = я, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(84) |
|
|
Iim Var / (0) = 2 f2(0), |
1мп Var / (± я) = |
2/® (л), |
|
|||||||||
|
|
|
Т-+оо |
|
|
|
|
|
T-+CQ |
|
|
|
|
||
если f (v) непрерывна при v |
= Х, то |
|
|
|
|
|
|||||||||
(85) |
|
|
|
limVar I(X) = f2(X), |
X фО, |
± п , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Т-+ оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и если f (v) ограничена на (X — б, X + |
б) и (X' — б, X' + |
б) для не |
|||||||||||||
которого б > |
0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(8 6 ) |
|
|
|
limCov[ /(Л,), /(А /)]= 0, |
Х ф ± К . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Т-¥ ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление предела выражения (82) представляет особый инте |
|||||||||||||||
рес. Тройная сумма для г , г ' > |
0 в правой части (82), деленная на Т г |
||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(87) |
i - 2 |
21 |
2 |
YP+S-H YP+SYP+S'+'-'YP-и ' ~ |
|
|
|
|
|||||||
|
* |
|
s = l s ' = l р = — оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
у |
j, |
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -jr 2 |
2 |
|
2 |
Уя^гг'УяУ(1Л~$—5'-\‘гУэ+s—s' |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S— |
1 s ' = |
l Q=—00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
J |
Т—Г T—r’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 |
y«+r% т " |
2 |
2 |
Y«+s-s/+'rY«+s-s'* |
|
|
|
||||
|
|
|
ffT— ■ "OO |
|
|
Sssal |
S sss] |
|
|
|
|
|
|
||
Для данного q |
|
j |
7 W |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T — r ' |
|
|
|
|
|
|
|||
(88) |
|
|
|
|
lim -= r 2 |
2 |
Y?+s-s'+/-Y?+s-s' = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
T - 00 1 |
S |
s'= l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уя+п+гУя+п ~ |
|||
|
|
00 |
|
|
o(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
Vt+rVt = ~ds~ ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
516 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8.
Таким образом, предел (87) есть
<89) |
о (г) |
|
Y?-K V » = |
а (г) а (г') |
|
|
а» |
2 |
а3 |
* |
|
||
|
Q— — ОО |
|
|
|||
Из соображений удобства вывод был проведен для г, г' |
0 . Резуль |
тат же имеет место для каждой пары целых чисел г, г'. Окончатель но пределом (82) является выражение
<90) |
lim |
2 |
|
cos cos ^'r a (r) a |
= |
W 0 |
r-*oo г>г»=^(7'_1) |
|
|
||
|
= W |
2 |
|
cos %rcos K'r'a (r) a (/•') = -^£- / (Я) / (Я'). |
|
|
|
r , r ' = |
---- OO |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
Эти преобразования возможны ввиду |
сходимости ряда 2 |у„|- |
||||
|
|
|
|
|
q= — оо |
Рассмотрим теперь предельные ковариации функции |
|||||
(91) |
|
= |
2 |
( l — T - C*)cos^ |
|
В этом случае |
|
r — — (T —1) ' |
|
||
|
|
|
|
||
(92) |
Т {Cov (/ (Я.); |
/ (Г)1 - |
Cov [/* (Я), |
/* (Я')} = |
X 11 — ^-jr-j cos Яг cos K’r’T [Cov (Cr, Cr-) — Cov (C%r, C*-)J.
Если н (g, ft, r) — 0 и если мы заменим Cl на Ch, то (92) аппроксими руется выражением
(93) |
™1 |
2 |
cos Яг cos ЯГ 2 2 а (?) |
|
|
г,г'=-(Г-1) |
q= — оо |
1 |
2 |
I |
г- ' |
|
gflbf-|-ьУУт*—— |
|
|
2л8 |
Т - |
2 |
|
|
о |
|
|
|
_<7= — оо |
|
г,г'=-(Г-1) |
|
|
||
1 |
|
1 |
sin |
Я (2Т — 1) |
sin —- Я' (2Т — 1) |
|
|
2 *19) |
2 |
|
|
2____ |
->о, |
||
2л8 |
|
• |
1 |
а |
sin — Я' |
||
|
|
||||||
|
L<7= |
|
sin — |
Я |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Я, Я '^ 0 .
Возможность аппроксимации следует из эвристических соображений. _Найдем предельные дисперсии и ковариации величин У ТА (Я) и
У ТВ (Я) из разд. 8.2.3.
8 .4 . АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 517
Теорема 8.3.8. Если / (v) непрерывна при v |
= 0 , то |
||||||
<94) |
Нш Г&Л2 (0) = |
8 я / (0), |
|
|
|||
|
T-+OQ |
|
|
|
|
|
|
<95) |
lira T S 5 2 (0) = |
0; |
|
|
|||
|
Т -VOO |
|
|
|
|
|
|
если / |
(v) непрерывна при v = |
я , то |
|
|
|
|
|
<96) |
Нш ГЛА2 (± я) = 8 я / (я), |
|
|
||||
|
Т -*>оо |
|
|
|
|
|
|
(97) |
Нш ГЛ52 (± я) = 0; |
|
|
||||
|
7’-*'оо |
|
|
|
|
|
|
«ели / |
(v) непрерывна при \ — X, то |
|
|
|
|
||
<98) |
Нш Г8 Ла(А.) = |
4я/ (Я.), |
|
Хф9, |
± я , |
||
(99) |
Т-*оо |
|
|
|
|
|
|
Н тГ 8 £ 2 (А) = |
4я/(А), |
|
А .# 0 , |
± я ; |
|||
|
Т-+00 |
|
|
|
|
|
|
«ели / (v) непрерывна при v = |
А и v = А', то |
|
|
||||
<1 0 0 ) |
Нш ГИЛ (А) А (А') = |
0, |
Я=7^= ± |
Я', |
|||
|
Т-+оо |
|
|
|
|
|
|
<1 0 1 ) |
Нш Т%В (А) В (А') = |
0, |
Я |
± |
V, |
||
|
Т-+СО |
|
|
|
|
|
|
<1 0 2 ) |
Нш ТЬА (А) В (А') = |
0. |
|
|
|
||
|
Г-*-оо |
|
|
|
|
|
|
Если 7 М (А) и / Г В (А) |
имеют |
нормальное предельное рас |
|||||
пределение, то V Т А (А)/|/4я/ (А) |
и |
|
(А)/ |/ 4я/ (А), А Ф 0, |
||||
d= я имеют нормальное предельное |
распределение со средним зна |
||||||
чением 0 , дисперсией 1 и корреляцией 0 , а выражение |
|||||||
<103) |
г 4*(А) + В2 (А) |
T RHX) |
2IQ.) |
||||
4я/ (Ь) |
|
7 |
4я/(Х) |
f (к) |
|||
|
|
||||||
имеет предельное Х2-распределение с 2 степенями свободы. |
|||||||
€.4. |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРОЧ |
НЫХ СРЕДНЕГО, КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
<8.4.1. Выборочное среднее
В § 7.7 была доказана центральная предельная теорема (теоре ма 7.7.8).
оо |
|
Теорема 8.4.1. Если yt = р + 2 Vsy<-s> г^е |
состоит из не- |
8——оо |
|
зависимых и одинаково распределенных случайных величин с tv t =*
518 |
ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ |
Гл. 8.- |
|
|
|
00 |
|
= 0 |
и &V? = а 2 и |
2 I Vt I < 0 0 » moV Т (у — р) имеет нор |
|
мальное предельное |
распределение со средним значением 0 и |
дис |
|
персией |
|
|
|
( 1) |
|
2 о (г). |
|
|
|
г*=—00 |
|
Существуют и другие условия, при которых выборочное сред нее асимптотически нормально. Одно из них будет приведено и разд. 8.4.3. Значение этого результата определяется тем, что он допускает использование теории нормальных распределений для. выводов относительно р при больших Т.
8 .4 .2 . Выборочные ковариации
Для больших выборок статистические выводы для ковариаций могут быть основаны на асимптотической нормальности выбороч ных ковариаций.
оо |
|
Теорема 8.4.2. Если yt = р + 2 |
Ysy/-s, где {о,} состоит из |
S = — ОО |
' |
независимых и одинаково распределенных случайных величин с &vt —
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
= |
0, |
= |
о2 |
и |
= |
За4 + |
х4 <; |
оо |
и 2 |
1т*|< 00 > то' |
||
™ |
|
[ С о - а |
(0)], |
|
V T [ C n - o { n ) ] |
|
* = - ° о |
|
предель |
|||
К г |
|
имеет нормальное |
||||||||||
ное |
распределение со средним значением 0 и ковариациями |
|
||||||||||
(2 ) |
|
limTCov (Ch,Ce) = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
| ] |
[o(r + h) о (г + |
g) 4 - <т (г — g)o(r 4 - h)\ -f |
о (h) о (g) = |
|||||||
|
Л=—OO |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
Jt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4я |
J cos xg cos xhf2(v) dx 4 - |
о (h) о (g). |
|
|
|
||||||
|
|
|
—П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д оказательство. П оложим p = |
0. Пусть |
|
|
|
||||||
(3) |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ht*** 2 |
ffit—, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
T-h |
|
s=-ft |
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ch,k = т~—Ц S |
yt*yt+h.k — |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
j |
T-h |
k |
|
|
|
h — 0, 1, . |
> T — I |
|
|
|
|
= Y —h 2 |
2 |
T .W -.B 4 W , |
*=1 s,Sf~ —k
520 |
ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ |
Гл. 8, |
|||||||||||||||
(11) |
|
|
|
|
о |
|
|
V T |
|
Т — Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OJ - |
|
T_ h 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
(12) |
|
|
|
|
о |
|
V T |
|
T - h |
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^ T |
|
—/1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=i |
|
|
|
|
|
|
Положим Vs = |
Vs ДЛЯ l s l <■ k, Vs |
|
= 0 |
ДЛЯ |s| > |
k, |
И пусть Vs |
= О |
||||||||||
для | s | < |
k и Vs |
= |
Vs Для I s | > |
k. Тогда (для 0 < |
h |
k) |
|
||||||||||
(13) |
|
|
|
|
SSj ~ |
|
V T o2 |
2 |
VsVs+л» |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S s = ---- OO |
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
SS2 = K |
f a 2 |
J |
VSVS+A, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = — OO |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
s s , = |
|
>/r<T2 |
f ; |
VSV + A. |
|
|
|
|
||||
Заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 6 ) |
|
8 S , |
+ |
i§S2 + |
$S3 = |
j / f |
SC A — j / T |
|
|
|
|
||||||
Дисперсия величины S3есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(17) |
V^r *Sg = |
^ T |
|
T~:h CoV{UttkUt~\-h,ki |
^t\k^t'-\-h,kj |
|
|
||||||||||
|
|
= w |
T |
|
^ |
^ |
|
00 |
|
|
* * |
* * |
|
|
|
|
|
|
|
= |
w |
2 |
|
|
2 |
|
|
VsY.Ys'Y,' X |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t,t' = |
1 |
S ,r,S #, r ' = |
— OO |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X CoV (t>,_st>f+ft_,, |
0/,_s'^'+A-,') = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T |
|
^ |
^ |
Г |
|
2 |
* * |
* |
* |
|
|
|
|
|
|
= |
- n |
r = |
W |
2 |
|
K |
YsYs-/+<'YrY^-<+<' 4* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/,< '= 1 |
L |
S , r = - « > |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
04 |
2 |
YSYS-/+*'+AY'Y'--4-<,- A+ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
s,r — — OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I |
|
* |
. |
|
, |
|
. |
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K4 |
2 |
YsY«-/-H'Y»+AY*-<+<'+fc • |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
S = — oo |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
Таким образом, для T ;> 2/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(81)Var S3 < |
— |
ft ° 4 |
|
2 |
|
IY* 11 YS+ P |
11 Yr 11 Y*+P I + |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P,S,r=L— OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ ° 4 |
2 |
|
IY* 11 Y*+P + A 11Y* 11 У г + p - h |
| + |
|
|
||||||||
|
|
|
|
P>S,r= > —OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
OO |
|
|
|
|
|
|
< |
* |
|
*1 |
|
|
|
|
|
+ |
K4 |
2 |
I Ys* 11 Ys+P 11 YS+ A 11 Ys+P+A I |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Pf S = —-OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
522 ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ Гл. 8-
являются линейными функциями от г/х — р, ут — (г со средними, значениями 0 и дисперсиями и ковариациями, указанными в разд. 8.2.3. Если {у(} — гауссовский процесс, то любое множество этих тригонометрических коэффициентов распределено нормально. (Если число этих коэффициентов больше Т, то распределение вырождено.) В этом разделе мы покажем, что при точно установленных общих
условиях У ТА (Я) и У~ТВ (Я) асимптотически нормально распреде лены со средними значениями О, нулевыми ковариациями и диспер
сиями, данными в разц. 8.3.3.
оо
Т е о р е м а 8.4.3. Если yt = р + |
2 Уs°<-s. где {и,} состоит, из- |
S= |
— о о |
независимо распределенных случайных величин, причем vt имеет сред нее значение 0, дисперсию о2 и функцию распределения Ft (г>),.
о о
2 |
IY* I < |
и если |
|
t— — о о |
|
|
|
(23) |
|
sup J |
iPdFt(v)-+ О, |
при |
с-^оо, |
то УТА(%,), VTBiK), .... УТА(К), УТВ(%п), 0 < |
|
< Я / < я , Я; Ф Я/, i Ф /, i,j = |
1, ..., и, имеют нормальное предель |
||
ное |
распределение со средними |
значениями 0 , нулевыми ковариа |
циями и дисперсиями, соответственно равными 4 л/ (Яг), 4 я/ (Я,),....
...,4л/(Я„), 4 л/(Я„).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Предположим, что р — 0. Пусть |
(24) |
^(Я ) = - | - 2 Ум cos U. |
|
/=1 |
Предельное распределение величины У ТА (Я) при Т-*-оо это то жесамое, что и предел при k -*• оо предельного распределения величи ны У Т А к (Я) при Т -*■ оо, для
(25) %Т [А(Я) — Ак(Я)]2 = - у 8 ф и/л cos Я/j 2 =
|
|
= ~ Т & 2 |
cos М cos М ' |
2 |
YsTs'^-sO/'-s'=• |
||
|
|
= 4r 2 |
|
YsYs'a2 2 cos Я^ cos Я (^ — s -f s% |
|||
|
|
ls|,|s'|>* |
|
t |
|
|
|
где суммирование no t проводится |
для значений t и t |
— s + s' меж |
|||||
ду 1 и Т. Перестановка |
суммирования по s и s' |
и математического) |
|||||
ожидания оправдывается тем фактом, что |
|
|
|||||
(26) |
I |
S 2 |
|
ly sIIV‘d !vsvs' I, |
|
||
|
Js,s' |
|
«s' |
|
|
|