книги / Статистический анализ временных рядов

9.2.

ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ

563

1

— 4 s in * (M V 2 ) f

W

\

4 sin* (k/2)

"*■

,

12 sin* (MX/2) — 3 sin* MX

)

+

8 sin* (X/2)

I*

Замечая,

что

(55)

sin* M X =

( 2

sin ( M X / 2 ) cos (MX/2 ))' -

=

4 sin* (MX/2) (1

— sin* (MX/2)),

получаем

из (54):

/к£\

/ 1 I л\

1

( 3

(sin (MX/2)\*

sin* (MX/2) |

_

(56) w

(Я Ю )--5айГ |- г

^1 Е т а г | ------

sin>#

/2)

=

8

f

3

sin* (КХ/4)

sin* (KX/4)

\

~

2nK*

[

2

sin* (X/2)

sin* (X/2)

j

°

- f - { 3 * « / * ( * > - 8

**/>(*)}•

Для больших К

и малых X первый член в (56) существенно больше

А

на и оценка / (v).

К.

У среднен ие

по

дискрет ны м

значениям

X.

В ряде

случаев

/ (Я,) вычисляется для X

=

2 n j / T , / = О,

I,

[7Y2J.

В частности,

_ l_

I

2

е'2я'л/г

2л

2л -f

1

Г-1

/=fe—П

1

1

п

=

2

cfe l2nkr/T

2

2п

2/i + 1

-(Г—1)

=*—Л

___ i_

Г—I

2я

2пкг

(5) Нш Л /г (v) =

lim

Т

w*( 1 ~

'

cos vr ° (г) =

Т-*оо

Т-*оо г

J)

'

оо

я

~~БГ

2

wrcos vra (r) =

I" t*'(^|v)/(A,)dX.

(6 )

1

*,

w’rcos vrcrT.

fTK(v) = -gj-

J b

Применение теоремы 8.3.3 приводит к соотношению

(7)

lim Т Cov Цтк (v),

/ T K ( V ')1

=

1

К

2

cos v 8 cos

X

(2л)2

g

g,h=-K

X

4я

| cos A,gcos Xhf2(A,)dX -f

2

x (gt

— г» Л— r)

•

t s s s — CO

я

= 4я

J

(A | v) w*K(A | v') / 2 (A)dX -f

.

К

oo

+ -79я^

21

a»Xcosvjrcosv'A 2

x(g, — r,

h — r),

в котором

g,h=—K

g

r= - o o

K

(8 )

(я I v) =

1

“2Г g

“ « cos vg cos

Я

Если выполнено условие

J /2 (A)dA< оо,

то

из

(2 )

следует,.

что

при /С

оо

первое

—я

в

правой

части

(7)

имеет

слагаемое

л

w*(K\v)w*(k\v')f2(X)dk.

предел 4я \

Если

к тому

же

величина

—я

2 1

*(g. — г, А— г)

равномерно

ограничена

по g и А,

то при.

г=5—0©

при Т

-*■ оо левой

части (7) совпадает

с

limTCovl/rCv), /r(v')l-

Т -+оо

Теорема 9.3.1.

П р и вы полнении

услови я

(2) предел м ш пем ат и -

веского

ож идания

&fr (v) оценки

/г (v), определяем ой соот нош ение

Я

е м

(1),

равен

J w (Я | v) / (X) dX ,

гд е

w (X | v) =

w * (X | v) — ф ун кц и я,

—Я

плот ност ь f (Л) we­

у к а за н н а я в

(3). Е сли

п р и

эт ом

сп ект ральн ая

■прерывна н а от резке [—я, я), а величина

l l

и (g ,

— г, Л— г) ра е-

н о м ер н о ограни чен а,

т о

Л

<9)

lim Т Cov {Гг (v),

?т (v')J = 4я

Г

w (X I v) w (X | v') f* (X) dX +

*■-<»

A

+ 7 0 ГПГ

eo

oo

11

w'w'h c o s V g e o s v 'h

2

* ( g , — r , h — r).

Если

g,h=*— 00

•

r«a— 00

oo

(10)

% =

!*+

1 1

линейный процесс, то

SSB—00

< Ч )

2

х (г , _

г, Л_

г) =

х,« 1^

«

f s —оо

U

. Следствие 9.3.1.

Е сли последоват ельност ь

\ y t)

порож дает ся

о помощ ью соот нош ения (1 0 ), в кот ором

8 », =

0 ,

=

о2 , &vtvs =

= 0, /

Ф s,

&vtvsvrv- =

0,

s,

t ф г, t

ф <7, gi/4, =

Зсг4

+ к4 <

оо,

ОО

•8 xfos

=

о*,

t Ф s,

2

|Т,| <

о о , т о

п р и вы полнении

услови я

(2 )

/= —оо

<1 2 )

Пт Г Cov (Гг (V),

/r(v')] =

Г-юо

Я

Г Я

а;(Я|J

= 4я

j о> (Я | v) а> (Я | v')/* (X )dX +

v)/(A)dA

X [I.a>(X|v')/(X)dX

я

4я j

u^A.Iv^A.Iv')/2^ )^ - ! -

+

- 2 $ - lim 8 / r

(v) lim 8

/ r

(v').

О T-+OQ

ТьааT-+OQ

9.3.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ И КОВАРИАЦИИ

567

ние величиныу Т 1/гх (v)— 8 /гк (v)l будет нормальным ( Т

-*■ оо)„

Применение следствия

7.7.1

показывает,

что оценка /г (v)

также

асимптотически

нормальна.

Теорема 9.3.2. Е сли

процесс y t порож дает ся соот нош ением

(10),.

в кот ором {vt) — последоват ельност ь

независим ы х одинаково

р а с ­

п ределенны х

случайны х

величи н

с 8 ц, =

0, 8 ц< =

о8, 8 t>4 =

За4 +

оо

-4 - н4< оо и

2

| у,| <

оо, т о п р и вы полнении условия (2 )

век т о р

71

И

V

V T

7 т Ы ~

J

ш (Ь К )/(Я )< й

,...у т

h ( v n) ~

f a;(X|vn)/(X)dX|

.

—я

J

L

—я

имеет в пределе

(п р и

Т -*■ о о )

норм альное расп ределен и е

с н ул е­

вым

средн им

и ковари ац и ям и ,

задаваем ы м и по ф о р м уле (1 2 ).

Будем брать коэффициенты w r = (Т — | г

|) w ' / T зависящими от

(13)

Л

,

Т -1

W'T COSW CrT =

/г (v) =

-X—

2

м

/•=—(Г—1)

Т-l

я

2

W*Tcos vr CrT =

j tt»*(X|v) / r (Я,)dk,

r——(T— )

—я

568

ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ*

Гл. &

где WrT =

(Т— \ г I)W’T/T и

<14)

w* (X I v) =

I

т~'

К т cosArcosv/-.

-к—

2

‘

гп

г=—(Г—I)

Здесь

мы

пишем /г (А.)

вместо /

(Я,),

чтобы указать на количество

Т

используемых наблюдений. Последовательность {wrr}

пРифкаж­

дом Т

является числовой, г

=

0,

1,... (ш*г = 0 для Т < г

и w ..rj —

— W *T )- Сами же W 'T (Я. |v)

образуют

последовательность функций.

Математическое ожидание оценки fr

(v) равно

i

15)

Щт(v) = -тг— 2

w rT cos vro (г) = | wT(Я, | v) f (Я.) dX,

гл гк=—(г—и

_L„

где

Л 6 )

до? (Я.I v) =

1

Г_1

avr cos Xr cos vr.

2

г=-(Г—1)

Мы хотим, чтобы

(17)

lim§7r(v) =

/(v)

Г-ЮО

k ( r / K T),

г =

0 , ± 1 ,

•••,

±

Кт,

<1в)

w , r = i0,

r =

± ( t f r +

1),

. . . ,

±(T—l),

где обозначение Кт для К

указывает на зависимость от Т . Функция

k (х ) удовлетворяет при этом условиям

(19)

k ( x ) = k ( — г),

(2 0 )

6 (0 ) = 1,

Я

Л

(21)

дс—*-0

| ЛГI

оо

руется

функцией 1 — k \ x \ q. Если k(x) = j К (у) eivxdv

и q — 2„

то

k = —

[ v2K (у) dv. [При соответствующих

условиях

К (v) =

—оо

=

lim

w*T

(V/KT \0)/KT при /(г-> о о ; см. упр.

17.J Константа k

Предположим, что для некоторого р >

0

оо

(22)

S

И р|о (г)|< о о .

Пусть

Л = — оо

(23)

/<*>(Я) =

± = -£ - 2

*ге-*га(г)

r = — оо

где k (х) =

k (—х), k (0) =

1, | k (л;) |

< М для некоторого М и

тех I*) <

1, и, кроме того,

lim [1 — k(x)]l\x\> = k для некоторых

q > 0

и k > 0.

*-*■0

Пусть {/Сг} — некоторая, последовательность це­

лых чисел, такая, что Кт

<*> /грц Г

оо. Тогда гола для р > q

выполнено условие

<37)

£

|г |р|а (г )|< о о

ы при

э/пам р >

1 и Кт/Т

0 «ли

р < 1 и /Сг+1 Р/Т -*■ 0,

то

(38)

lim /Сг [8 /r (v) — f (v)I --------£

| г \чcos vr о (г).

Г-*- ОО

= — ОО