книги / Статистический анализ временных рядов

Последнее выражение не зависит от Л и поэтому М (Jt) имеет един­ ственный скачок в точке X = 0, равный матрице

Если Zjt является полиномом степени / ;— 1 с положительным стар­ шим коэффициентом, то получается та же самая последовательность {R (Н)} и тот же результат относительно М (Я,). Это связано с тем, что при указанном условии старший член доминирует над осталь­

ветствует mk переменных гц. Пусть в множестве с индексом k — 0 переменные zjt имеют вид Р, (t), / = 1, ..., m0, где Pt (t) — полином степени d/ с положительным старшим коэффициентом. Пусть в мно­

старшими коэффициентами. Наконец, в последнем из указанных

множеств переменные гц пусть имеют вид (—l / Q< (0. * = 1» •••

..., mH+i, где Qt (t) — полином степени dn+iy.

При таких условиях рг/ (Л) = 0, если g и / находятся в различных множествах. Если / и k находятся в первом множестве, то р/* (А) за­ дается соотношением (120). Для g и /’, находящихся во множестве

ты—на нули. Скачки при А = ± л имеют элементы (1/2)]/2dw+i,g+1 X

и каждый элемент М (А,) имеет единичный скачок при А = 0. Оцен­ кой наименьших квадратов для р, %yt = Р , является Ь* =

т_

=2 yJT = у, и эта оценка асимптотически эффективна. <=»1

Предельная ковариационная последовательность (122) и соот­ ветствующая ей спектральная функция М (А) возникают и в другом

{до,} таким образом, чтобы предельные относительные частоты появ­ лений в ней а и b соответственно равнялись min и (п — m)/n. С этой

вые jm элементов равны а, а последние / (п — т ) элементов равны Ь. При Т -*■ оо предельная относительная частота появлений а равна

подпоследовательности равно лишь (/ + 1) т, тогда как общее чис­

ло элементов в первых / подпоследовательностях равно / (j + 1) п/2.

т

Поэтому пределом среднего 2 w2tIT служит (123). Более того, для этой <=1

последовательности выполняется и (122). Это вытекает из того фак­ та, что при j > (him), j > h/(n — m) и wt из /-й последовательности точно 2h произведений wtwt+h равны ab, точно jm — h произведений wtwt+h равны а2 и точно / (п — т) — Л таких произведений равны b2. Таким образом, здесь р (Л) = 1 и каждый элемент М (X.) имеет единичный скачок при X = 0. Полученный результат показывает, что спектральная функция (или, что равносильно, последователь­ ность ковариаций), не определяет однозначно последовательности независимых переменных. Она не определяет даже предельных час­ тот этих переменных.

Более того, при оценивании р одну из указанных последователь­ ностей нельзя заменять другой. Дело в том, что эти последователь­ ности существенно различаются, так как

где X* — простой характеристический корень матрицы 2, соответст­ вующий характеристическому вектору v, т. е. 2v = X* v и 2Г1v =*

дет несмещенной эффективной оценкой параметра р. Действительно,

10.2 ЭФФЕКТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ ТРЕНДА 637

{cos Xt, sin Щ , и аналогом представления 2 == 2 ^ * v*v*— предста-

справедливое для любой непрерывной функции / (А,). Асимптотически функции cos vt и sin vt можно рассматривать

в некотором смысле как характеристические векторы всех ковариа­ ционных матриц стационарных процессов. Дело в том, что при

Для достаточно больших t правая часть (126) сколь угодно близка к 2я f(v) e‘vt = 2я/ (v) (cos vt -f i sin vt).

Если последовательность {R (Л)} такова, что функция М (X) аб­ солютно непрерывна, то в этом случае оценки наименьших квадра­ тов не могут быть асимптотически эффективными, если спектральная плотность / (А.) принимает на спектре М (А) более р значений.

ки наименьших квадратов имеют асимптотически нормальное рас­ пределение, если независимые ошибки удовлетворяют условию типа

Подобная, но более слабая теорема была доказана Хеннаном (1961).

предельное распределение Dr(b* — Р) совпадает с предельным рас-

т

пределением умноженного на R-1 (0) вектора Сг = D r' 2 ztur

Положим

тh

где суммирование no t производится по тем значениям t, для которых и t, и t — s + s' заключены в пределах от 1 до Т. (Возможность

внесения математического ожидания под знак суммы по s и s' до­ казывается таким же способом, как и в разд. 8.4.3.) Отсюда полу­ чаем оценку сверху

<131) 8 <Сг Ст.к) ' (сг — Сг.*) =

Для произвольного вектора а рассмотрим

тft

в силу условия 10.2.2 сходится к 0 при Т -*■ оо. Поэтому предельное

имеет предельное нормальное распределение со средним 0 и диспер­ сией 1 (в соответствии с доказательством теоремы 2.6.1). Примене­ ние следствия 7.7.1 приводит к утверждению теоремы, щ

Теорема 10.2.11 показывает, что при достаточно большой дли­ не временного ряда с оценками наименьших квадратов можно обра­ щаться так, как если бы они были нормально распределенными.

..., Т, a k (х) —ядро, типа изучавшегося вразд. 9.3.2. На основании этого можно строить критерии для проверки гипотез о векторе Р и доверительные интервалы для компонент этого вектора. [Много­ мерный случай рассматривается у Хеннана (1963)].

10.3.ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПО ОСТАТКАМ ОТ ТРЕНДОВ

Вразд. 10.3.2 мы изучим асимптотическую теорию для случая, когДа ковариации соответствуют некоторому стационарному случай­ ному процессу. Асимптотическая теория для выборочной спектраль­ ной плотности и для оценок спектральной плотности, основанных на остатках от тренда, подобранного по методу наименьших квадратов, рассматривается в разд. 10.3.3 и 10.3.4 соответственно. Эта теория обобщает проведенное в § 8.3, 8.4 и 9.4 исследование указанных ста­ тистик, построенных по остаткам от выборочных средних.

Остатки от подобранной регрессии образуют при этом Т-компонент- ный вектор

(2) у — Zb*= [I — Z (Z'Z)"1Z'J у,

имеющий математическое ожидание 0 (ввиду того что ЛЬ* = Р). Компоненты этого вектора могут быть использованы для оценива­

10.3 ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ 641

ния самой матрицы 2 или функций от 2. Если о структуре матрицы 2 предварительно ничего не известно, то для ее оценивания можно» использовать матрицу (у 1— Zb*) (у — Zb*)'. Математическое ожи­ дание последней равно

(3)8(у — Zb*)(у— Zb*)' = [I — Z(Z'ZT1Z'l х

X 2 [Ь— Z (Z'Z)-1 Z'l

и отлично от 2. Ранг этой оценки равен Т р, в то время как сама'! 2 имеет ранг Т. Если только 2 не обладает специфической структу­ рой, то число подлежащих оценке параметров в 2 будет равно- Т (Т + 1)/2. В то же время, в у — Zb* имеется лишь Т — р линей­ но независимых компонент. (Вектору — Zb* ортогонален вектору Zb*.)

Смысл соотношения (3) можно лучше представить себе в случае, когда оценки наименьших квадратов оказываются эффективными.

рхарактеристическими векторами 2, соответствующими некоторым

рее характеристическим корням XSi, ..., %Sp. (Мы предполагаем,

что при наличии кратных характеристических корней характери­ стические векторы определяются таким образом, что среди них содержатся все столбцы матрицы V*.) Пусть S = {s1, ..., sp} — некоторое подмножество целых чисел от 1 до Т. Тогда

Ковариационная матрица вектора x равна диагональной матрице

элементы которой являются характеристическими корнями матрицы 2. Если у имеет нормальное распределение, то вектор х также будет нормальным, а его компоненты независимыми, причем дисперсия t-й компоненты равна A*, t = 1, ..., Т. Матрица ковариаций оценки

b* = C-1V*'y = C_,v*'Vx равна

что оценки наименьших квадратов являются эффективными, т. е. если Z имеет вид Z = V*C, то определено р-мерное линейное про­ странство, порождаемое V*.) Эти оценки пригодны для оценивания ковариационной матрицы для Ь*, поскольку t £ S, — известные функции от Я/, t g S, и матрица С известна. Отметим, что Ь* и у — Zb* не коррелированы, так как

(9) 8 (у — Zb*) (b*— р)' = [1 — Z (Z'Z)-‘ Г] SZ (Z'Z)-1 =

= (I — V*V*') V*A*C(Z'Z)-1 = 0.

Изучим подробно случай, когда характеристические векторы Vj, ...,Vr известны. Так будет, в частности, когда

где В — матрица, имеющая единицы непосредственно над главной диагональю, единицу в левом нижнем углу и нули на всех остальных

позициях. При этом берется q <. [772]. (Характеристические кор-

я

ни матрицы 2 равны 2 у» cos 2лjt/T, t — 1, ..., Г; компонента-

1—0

ми вектора vt являются cos 2nts/T или sin 2nts/T.) Для удобства пред­ положим, что Z = V* (т. е. С = I).

Допустим, что р характеристических корней матрицы 2, соот­ ветствующие р столбцам матрицы V*, функционально не зависят от остальных характеристических корней. В циклической модели