книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf9 .4 . |
|
|
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ |
583 |
||||
|
|
|
K j |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k ( i t ) k h ? 7 ) cosvgcosvhx |
|
||||
|
|
g>h=l |
|
|
|
|
|
|
|
T—g T—h Г |
oo |
|
|
|
|||
|
s = l |
t—\ L |
p,q=—oo |
|
|
|
||
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
+ |
a4 |
|
2 |
YpYp-s-H+ftTTVfl—s+/~g “b |
|
|||
|
|
p,<7=s—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
+ |
^4 |
2 Y p Y p + g Y p - s+ ^Y p ^s - fz+ ft |
|
|||||
|
|
0— —oo |
|
|
|
|
|
|
Из этого выражения видно, что |
дисперсия слагаемого |
S, ограниче |
||||||
на сверху величиной |
|
|
|
|
|
|||
<12) К? 1 sup А*(дг)-2 Го* |
2 |
1т;|-|т;+ ,М т;М т^и -,1+ |
||||||
— |
|
|
g, /i =l L |
P,q,r=—oo |
|
|
||
+°* |
|
2 |
1 г;м г^ +,1-1т;|-1т;ч,_,1+ |
|||||
|
|
p,q,r=—oo |
|
|
|
|
||
+«4 |
|
s |
iY;i-iv;+gi-iv;+j-iY;+r+j |
< |
||||
|
|
P,r=—OO |
|
|
|
J |
|
|
< |
sup |
|
k*(x)(2a4 + x4) |
oo |
|
|||
|
2 |
lY^I • IYJI'IY;|* lYm = |
||||||
— |
|
|
|
|
|
p,<7,r,m =a— oo |
|
|
= |
sup |
|
А2 (дг)(2a4 + |
KJ / 2 |
I Ys |V. |
|
||
— |
|
|
|
|
\lsl>n |
/ |
|
которая не зависит от Г и стремится к нулю при п -> оо. Подобным же образом,
<13) |
VarS^-^i- 2 |
A(^ r)* (^ r)cosv^cosv/ix |
||||||
|
|
|
g»ft=l |
|
|
|
|
|
|
|
71—g Г —ft |
OO |
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
2 |
2 |
YpY^YrYmCoV («s-p»s+e-e, VtrVt+h_ m) < |
|||
|
|
s = l |
/=1 p,q,r,m=—oo |
|
|
/ 2 i v . i V . |
||
|
< |
sup |
|
|
2 I Y . IY |
|||
|
|
|
|
|
\lsK n |
/ |
\lsl>n |
/ |
Этой величиной ограничена сверху и |
дисперсия |
слагаемого S 2. |
||||||
Используя |
полученные |
соотношения, неравенство |
|
|||||
(14) |
8 [(t/г —• 8t/г) —1( £ / —■8£/m)]2 = |
Var (Sx -j- S2 |
S3) |
|||||
|
|
|
|
|
< |
3 (Var Sx + Var S2 + Var S3) |
684 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9 .
и следствие 7.7.1, получаем, что предельное распределение разкости U T — & U T является пределом по п предельных распределений раз
ностей U fn — &Urn-
Что касается 0т п, то эта величина является действительной частью суммы
П
В то же время, математическое ожидание квадрата разности между действительными частями (15) и
П
(16) |
1 |
~ - |
2 |
y ^ |
y se ~ ^ x |
|
у т к т |
г , 8 = _ |
п |
|
|
|
|
|
|
|
T - h |
|
|
|
|
|
X |
стремится |
к 0 при Т - * • |
оо. Действительно, для фиксированных г |
и s разность между суммируемыми величинами в (15) и (16) состоит из всех тех членов сумм по А и по q, которые входят в одно выраже ние и не входят вдругое. Число таких членов не превосходит А К т п + + В Т п + С п а, где А , В а С — вполне определенные константы (см. упр. 27 и 28), сами они некоррелированы (см. упр. 29), а мате матические ожидания квадратов их действительных частей не пре восходят
(17) |
( шах |
\ y r \)A sup k 2 ( x ) o * / ( T I (г). |
|
\—п£г%п |
) — |
586 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Г л . 9 -
Кт |
* (7 k ( / Г Г ) х |
|
(23) tW ,TW „ r.г = - ^ Д |
|
|
X COS V g |
COS v h & V q V q + g V q + r V q + h + r ^ O , |
Г ф 0.. |
В силу этого дисперсия выражения (19) равна умноженной на /(2П) (v)
величине (22). Последняя же при v Ф 0, ± |
я имеет предел |
||||||||||||
|
|
|
|
Кт |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(24) |
|
lim |
" |
- |
|
' |
“ ‘ |
|
|
“ |
i |
|
|
|
|
Kf-*00 2 |
2 |
k * ( |
К т ) |
К т |
~ |
2 |
М |
d x > |
|||
а при v = |
0 или |
v = |
|
± я |
— предел, |
равный |
удвоенному значе |
||||||
нию (24). |
|
|
одна последовательность целых чисел, при |
||||||||||
Пусть { N T} — еще |
|||||||||||||
чем K T/N T -*• 0 и N T/ T |
-* 0 при Т |
оо. (Такой, например, являет |
|||||||||||
ся последовательность |
|
N T |
— \ \ f Т К т \) |
Пусть |
М т — наибольшее- |
||||||||
целое в ряду Т Ш т. Положим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(25) |
ZjT — -р==- [^(/-DWr+ur + |
* • • |
+ |
W jN j—Кт.т], |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = 1» • • • , N\.T* |
Тогда |
Zir, |
..., ZMTT — независимые |
одинаково |
распределенные |
|||||||||
случайные величины с 8 Z/7- = |
0 и 8 Z/r, |
равным |
умноженному на |
||||||||||
1 — K TIN T |
выражению (22). Более того, четвертый момент |
||||||||||||
(26) |
|
Щ т = |
-Jr " Т% |
Т W trW sT W rT W iT |
|
||||||||
|
|
|
|
|
N T |
t,s,r,f=1 |
|
|
|
|
|
оказывается равномерно ограниченным. Действительно, хотя Wtr квадратично зависит от переменных vr, тем не менее все четвертыемоменты величин WtT ограничены, так как они включают в себя моменты случайных величин vr лишь до четвертого порядка. Этосвязано с тем, что в каждом WtT произведения переменных vr име ют различные индексы г и что случайные величины vr независимы.. Поскольку iWtTWsrWrrWuT = 0, если наименьший из индексов
отличен от трех остальных, то в (26) имеет смысл рассматривать
только |
слагаемые |
вида |
&W*T, &WiT Wsi, s > t , |
и |
%W2tTWsTWqTt |
||||||
s > |
t, |
q > t. При |
этом |
количество |
слагаемых вида |
8 W\r |
равно |
||||
NT— Кт; количество |
слагаемых вида |
ftW^WsT |
(s > 0 — самое |
||||||||
большее 2 (NT — Кт) (Кт — Кт — 1); |
количество |
слагаемых ви |
|||||||||
да |
%W\rWlT (S > |
t) |
— не |
больше |
3 ( N T — Кт) (N T — Кт— 1)- |
||||||
Что |
касается слагаемых |
вида '&WWWSTW(iT, s > |
t, |
q > t, |
э ф q, |
||||||
то они |
равны нулю, если |s — q\ > |
Кт- Поэтому число ненулевых |
|||||||||
слагаемых такого |
вида |
не |
превосходит 6 (NT — Кт) (NT — Кт — |
— 1) Кт- Возникающий здесь бесконечно возрастающий множитель
■9.4. |
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ |
587 |
|
Кт компенсируется |
тем, что |
I B W ^ W STW^T | <! 4а8 sup |
k* (х)1Кт• |
Слагаемые остальных типов |
равномерно ограничены |
по Т (см. |
упр. 31). Таким образом, четвертый момент SZ?r оказывается равно
мерно ограниченным |
по Т . Применяя центральную предельную |
теорему Ляпунова, получаем, что нормированная сумма |
|
|
м т |
<27) |
1 |
2 ^ |
У Щ
/=1
имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной (24) при v Ф 0, ± я и в два раза превышающей (24) при v = 0, ± я. (Для этого достаточно в теореме 7.7.3 взять
и качестве wj отношение Ztr /[MrSZ^]1/» и положить б = 2 .) Поскольку же среднеквадратичное отклонение разности
|
1 |
|
Мг |
«(28) |
^ W J T |
l |
|
У т |
2 2 ir |
||
|
t= i |
У Щ /-1 |
стремится к нулю при Т -*■ оо, то такое же предельное распределен |
|||||||||||
|
|
|
|
т |
|
_ |
|
|
|
|
|
м т |
будет |
иметь и 2 |
^ trfV Т . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т еорема 9.4.1. Пусть |
к Т |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<29) |
|
Fr(v) = |
4 r |
2 |
A( l t ) cosvr CrT' |
|
|
||||
где k (х) — k (—х), функция k (х) непрерывна на |
[— 1, И и {Кт} — |
||||||||||
целочисленная последовательность, |
такая, что |
Кт |
оо и К т /Т |
||||||||
0 при Г -> |
оо. Пусть |
|
о о |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
y t = |
2 |
Vs^-s» |
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
2 |
I Ys | < |
°°> |
а |
{*><}— последовательность |
независимых и |
|||||
|
S— — о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
So, = 0, |
So? = |
•одинаково |
распределенных |
случайных величин |
с |
||||||||
= о2 и So? < |
оо. |
Тогда |
У Т/Кт Цт (v) — Щт (v)] |
имеет |
в пре |
деле нормальное распределение с дисперсией, указанной в теореме
9.3.4.
Асимптотически нормальным является и совместное распределе-
«■'N. / S
ние оценок /г (vj), ..., fT (v„) для любого фиксированного числа зна чений V.
Условия теоремы 9.4.1 можно заменить другими, в которых бу дет отсутствовать требование So? < оо. Так, например, Чон и
9.4. |
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ |
589 |
имеет стандартное нормальное распределение с нулевым средним в единичной дисперсией. Пусть число t (е) таково, что вероятность по падания стандартной нормальной случайной величины на отрезок {— t (е), t (е)] равна 1 — е. Тогда событие, состоящее в том, что (32)» попадает на этот отрезок, можно записать в виде
(33)- |
fт(v) |
< 7 (v )< |
/г (v) |
1 т/(е) у*' К^/Т |
ч ф О , ± я . |
||
|
|
|
Последнее соотношение определяет для / (v) доверительный интер вал с уровнем доверия, приблизительно равным 1 — е для больших: Т (в условиях следствия 9.4.1).
Мы можем воспользоваться также следующим утверждением.
Если Yr — g (Х т), где р limXr = р, Рг (^г — р) имеет при.
Т-*оо
Т —►оо предельное нормальное распределение с нулевым средним4
и дисперсией а2 (рг |
оо), |
a g (х) имеет производную g r (р) в точке- |
||
х — р, то Рг [YT — g (p)J |
имеет в пределе нормальное распреде- |
|||
ление с нулевым средним и дисперсией от2 [g' (р)]2. Если |
Хт = fr |
(v)‘ |
||
и g (х) = log х, то ц = |
f (v), g (р) = log / (v) и g’ (p) = |
1// (v) |
при |
/(v) > 0 .
Теорема 9.4.2. В условиях следствия 9.4.1 величина
<34) |
V Ь "°SfrM - |
f Ml = | / 7ГТlo« T W - |
при f (v) > 0 имеет предельное нормальное распределение с нулевым
средним и дисперсией, равной т2 = J k2 (х) dx при v Ф 0, ± л
и равной 2 т2 при v = 0 , ± я.
Сформулированный результат приводит к доверительным интер валам
(35) |
log/г (v) — т( (г) |
|
< |
log/(v) < |
|
|
|
|
|
|
< log/г (v) + |
тt (е) |
Ц г -г |
или |
|
|
|
|
|
|
(36) |
f r (V) Г |
* |
< t |
(v, < Гг <v> |
. |
|
Из теоремы 9.4.2 можно заключить, что информативным графи ческим представлением оценки спектральной плотности является'
представление в виде зависимости от v ее логарифма log /г (v), по
9.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ 591
Второе слагаемое в правой части (42) не превосходит по модулю
(43) |
|
|
|
|
к т |
|
sup |
I ft (x) I |
^ |
i |
T l (c;T — crT) |. |
|
||||||||
|
|
|
— f - |
— |
S |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r = — K.T |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
Из |
теоремы |
|
8.3.2 |
следует, |
|
что |
если |
2 |
|< т (г)|< о о , |
тх> |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
/-=—-00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Т (Sc* |
— 8сгГ) | < |
3 |
|
|
2 |
| о (s)| |
для |
всех Т |
и г . Поэтому (43) |
|
||||||||||
не превосходит |
|
|
S=s=— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(44) |
|
|
-Jj- |
sup |
|ft(* )| |
|
00 |
|
|
|
к т |
(2/C r + l) . |
|
|||||||
|
|
£ |
|
|< r ( r ) |- f |
|
|||||||||||||||
Последняя |
же |
величина |
стремится |
к 0, если |
только К т+1/Т ->- О |
|||||||||||||||
при |
Т |
|
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
9.4.3. |
Пусть |
/Sj |
(v) |
определяется |
соотношением (41), |
||||||||||||||
/г |
||||||||||||||||||||
причем ft (*) |
= |
ft (—х), |
ft (0) |
= |
1, |
I ft (x) | <. M |
для |
некоторого |
M |
|||||||||||
и всех |х | |
< |
1, |
и |
lira |
|
[1 — ft (*)]/|хI" |
— ft для некоторых ? > 0 |
и |
||||||||||||
k > |
0. |
Пусть |
{Кт} |
— целочисленная |
последовательность, такая, |
|||||||||||||||
что Кт |
°о п /т Г -► оо. Тогда, если |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
| г |р| а (г) | < оо |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-ШВ»— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для р > |
9 и р > |
1 ы если Кр-'/Т |
|
0 при Т |
оо, то |
|
||||||||||||||
(46) |
|
l i m |
/ C |
H |
8 / H |
v ) - / ( v ) ] = - 4 r |
5 |r p c o sv r o (r ). |
|
||||||||||||
|
|
Г-юо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/'= —со |
|
|
|
|
|
£слы даее (45) выполняется для |
1 |
< |
|
р < |
<7ы Кт+х1Т ->■ 0 при Т -*■ |
оо, |
||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47) |
|
|
|
|
|
|
Н т К т [&Гт (V) — / (v)] = |
0. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г ->оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ковариации оценок /г (v) удовлетворяют соотношению |
|
|||||||||||||||||||
(48) |
-^ -С о у [/* (Я ), |
Tr ( v ) l - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
КТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ф |
¥ |
к |
7 |
^ |
|
Кгк |
Ш |
|
4 |
( 7 ^ ) cosA* “ s 'ArCov4 r . <М- |