книги / Статистический анализ временных рядов

TT - h

+4 тs=\q=h2 2 -\-\

1s,q—1

Гf Г—g T—h

=- ^ - 2 ( 2 2 [o(/-r)a(s-<7) +

/,r= l [s= g + l <7=A-f 1

,т

+ - |r 2 [or(f — r)a(s — ?)+or(* — ?)a(s— r) +

*s,<7=l

*4" и (s — 0 г — t

По абсолютной величине (53) не превосходит удвоенного значения {52). Таким образом, для 2Кт < Т правая часть (49) не превосходит

Т еорема 9,4.4. Теорема 9.3.4 справедлива для оценки /г (v), опре­ деляемой соотношением (41).

Рассмотрим далее

594 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Г л. 9 .

+X | и (f, S, t) l) .

персиям и и ковари ац и ям и , указан н ы м и в т еорем е 9.3.4.

В разд. 7.5.1 было показано, что спектральная плотность про­ цесса {zt}, определяемого соотношением75

Для некоторых целей оказывается полезным с помощью приме­ нения соотношения (57) к наблюдаемому ряду у и ..., у Т получать новый ряд Zg+u ..., z T и оценивать спектральную плотность h (v) этого нового ряда, а затем в качестве оценки / (v) использовать

/•=о

вается предбеливанием . Цель ее состоит в том, чтобы получить процесс с достаточно гладкой спектральной плотностью h (А,), а это можно сделать, если иметь некоторую предварительную инфор­ мацию о пиках и впадинах / (А).

9.5. ПРИМЕРЫ 595

Для оценки спектральной функции G (v) [равной F (v) — F (—v) в точках непрерывности F (v)I можно использовать

сходится по вероятности к нулю, то предельное распределение (62)

совпадает с предельным распределением У Т!Кт f/г (v) — / (v)]/<x (0 ).

9.5. ПРИМЕРЫ

Как было указано в § 8.5, выборочные спектральные плотности данных, приведенных вприложении, ведут себя весьма нерегулярным образом. С их помощью нельзя удовлетворительно оценить соот­ ветствующие теоретические спектральные плотности. В то же время для каждого из рассматривавшихся там случаев можно получить

оценку для / (К) (или / (^)) согласно разд. 9.2.3. Вольд производил,

например, оценивание величины 2 п ] (А,) для рядов, полученных слу­ чайным моделированием, с помощью оценки Бартлетта (пример С разд. 9.2.3) при К = 2 0 . Соответствующие результаты приводятся в табличном виде и графически (рис. А.2.4, А.2.5 и А.2 .6 ). Значения теоретических нормированных спектральных плотностей (умножен­ ных на 2 я) представлены на рис. А.2.7, А.2 . 8 и А.2.9. Там же пред­

596 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.

ставлены нормированные плотности, соответствующие выравниваю­ щему процессу авторегрессии второго порядка. Отметим, что чем

больше ]/р 7 = у , тем выше пик спектральной плотности / (к) процесса, т. е. тем более ярко выражен колебательный характер процесса.

Необходимо отметить, что при у — 0.25 подобранная спектраль­ ная плотность очень близка к истинной. В двух других случаях максимум подобранной плотности наблюдается на той же частоте, что и максимум истинной плотности процесса, причем при у — 0.7 согласуются и значения этих максимумов. В то же время, при у = = 0.9 подобранная плотность имеет много локальных максимумов, отсутствующих у истинной плотности. Эти особенности отражают тот факт, что чем ближе рассматриваемый процесс к последователь­ ности некоррелированных случайных величин, имеющей плоскую спектральную плотность, тем лучше он может быть оценен.

В приложении графики спектральных плотностей приводятся в логарифмическом масштабе. Это сделано по той причине, что асимп­ тотическое стандартное отклонение не зависит в этом случае от

значения самой плотности Однако это приводит и к тому, что на

/ч

графике становятся резко выраженными малые изменения /г (к) в об-

ласти малых значений /г (Я). Заметим, что окно Бартлетта (с q —

=1) не дает оценок такой гладкости, как другие окна (с q — 2 ).

Этот вопрос обсуждается далее в 9.6.

Для индекса Бевериджа цен на пшеницу с выделенным трендом

на рис. А. 1.4. Следует отметить, что чем меньше К , тем более глад­ кой является оценивающая функция. При / ( = 1 0 она имеет один локальный максимум; при К — 2 0 — два заметных локальных мак­ симума и один плохо выраженный; при К = 30 оценивающая функ­ ция имеет шесть локальных максимумов. Абсолютные по величине локальные максимумы наблюдаются при К = 20 и К = 30 на час­ тоте 0.065 (соответствующей периоду в 15.4 года), а вторые по ве­ личине локальные максимумы — на частоте порядка 0.185 (период 5.4 года). Остальные локальные максимумы при К — 30 наблюда­ ются на частотах 0.285, 0.365, 0.430 и 0.490 (соответствующими периодами являются 3.5, 2.74, 2.33 и 2.04 года).

Оценки спектральной плотности для ряда, представляющего солнечную активность за период с 1749 по 1924 г., представлены гра­ фически на рис. А.3.2. При этом использовалось окно Парзена (при­

и на частоте, приблизительно вдвое большей. Первый указывает ца наличие цикла с периодом около 11 лет, а второй — на то, что этот цикл не является простой тригонометрической функцией.

В качестве еще одного примера рассмотрим процентные ставки коммерческих ценных бумаг на бирже Нью-Йорка, изучавшиеся Гренджером (1964) на основании ежемесячных данных, имеющихся у Маколея (1938) за период с 1876 по 1914 г. Один из отрезков этого ряда представлен графически на рис. 9.3. Подобранная спект­ ральная плотность изображена на рис. 9.4 в логарифмическом масш­ табе (120 на горизонтальной шкале соответствует X — л). При этом использовалась оценка Блэкмена — Тьюки с а — 0.25 (окно Хен­ нинга, пример G разд. 9.2.3) и К = 120. Следует отметить наличие ликов на частотах /712, / = 1, 2, 3, 4, 5, соответствующих сезонным изменениям. Кроме того, имеется пик, соответствующий периоду 40 месяцев, который можно интерпретировать как цикл деловой активности.

'9.6. ОБСУЖДЕНИЕ

Пусть стационарный в широком смысле процесс имеет спектраль­ ную плотность. Тогда эта плотность, являясь преобразованием Фурье ковариационной последовательности, определяет ковариа­ ционные свойства процесса. Спектральную плотность можно свя­ зать с дисперсиями (или энергией) синусоидальных составляющих процесса, имеющих случайные амплитуды и фазы. Оценка спектраль­ ной плотности по наблюдаемому временному ряду является в сущ­ ности непараметрическим методом, поскольку здесь по конечному множеству наблюдений оценивается функция на [0 , я], которая не определяется конечным числом параметров. Такая процедура ис­ пользуется обычно в тех случаях, когда исследователь не хочет связывать себя параметрической моделью определенного вида с определенным числом параметров для спектральной плотности или ковариационной последовательности, как это было сделано в гл. 5. Спектральный анализ является более гибким инструментом, чем параметрические выводы. Однако это достигается за счет уменьше­ ния точности оценок. О нем можно говорит скорее как о методе исследования или о методе аналитического представления данных.

Для того чтобы оценивание спектра было информативным, наблюдаемый ряд должен иметь достаточную длину. Необходимая длина ряда зависит от характера спектральной плотности процесса. Спектральную плотность некоррелированной последовательности можно оценить по относительно короткому ряду наблюдений, тогда как для оценки плотности, имеющей много пиков, потребуется зна­ чительно большее число наблюдений. Фактически большое число

9 .6 . ОБСУЖДЕНИЕ 599

наблюдений Т необходимо и для успешного применения асимптоти­ ческой теории.

Выбор константы К (или Кт) зависит как от характера оценивае­ мой спектральной плотности, так и от размера выборки. Чем более гладкой является спектральная плотность, тем меньшим может быть выбрано значение К (для обеспечения меньшей дисперсии). Однако, поскольку спектральная плотность является предметом оценива­ ния, «оптимальное» значение К заранее неизвестно. Поэтому сле­ дует испытывать несколько различных значений К . Как видно из приведенных примеров, выбор слишком малого значения К может привести к тому, что какое-то количество пиков спектральной плот* ности окажется незамеченным. Наоборот, выбор слишком большого К приводит к крайне нерегулярному поведению оценки.

§ 7.5 вытекает тогда, что f T (Я) можно представить в виде полинома

мает и отрицательные значения, то указанный вывод уже не будет

ч

справедлив. В качестве примера такой /г (Я) можно привести оценку

Бартлетта спектральной плотности, которой соответствует окно, принимающее и отрицательные значения.

В связи с тем, что соответствующая некоррелированным пе­ ременным плоская спектральная плотность оценивается наиболее просто, часто оказываются полезными преобразования, приводя­ щие к упрощению спектральной плотности. Говоря более точно, поскольку всякое линейное преобразование временного ряда соот­ ветствует умножению спектральной плотности на некоторую пере­ даточную функцию, то при соответствующей информации о характе­ ре оцениваемой спектральной плотности преобразование можно вы­ брать так, чтобы сделать спектральную плотность более плоской. Затем можно оценить новую спектральную плотность и, разделивполученную оценку на соответствующую передаточную функцию, получить оценку исходной спектральной плотности. Подобная про­ цедура обсуждалась в конце § 9.4.

Следует отметить, что с вычислительной точки зрения вместо вычисления ковариаций гораздо более выгодно применять быстрое преобразование Фурье (описанное в разд. 4.3.5). Если интересу­ ются формой спектральной плотности, то можно оценить нормиро­

•600 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.

ванную спектральную плотность / (А.) = f (Х)/а (0) . При этом мож­ но использовать ту же асимптотическую теорию, только / (Я,) сле­

дует всюду заменить на / (X).

Большинство теоретических и выборочных спектральных плот­ ностей, а также оценок спектральных плотностей представлено в логарифмическом масштабе. Это связано с тем, что асимптотическая дисперсия логарифмов выборочных спектральных плотностей и оценок спектральных плотностей не зависит от значений самих плот­ ностей. Однако представление этих плотностей в обычном масштабе имеет свои преимущества. Значение плотности для каждой частоты ^соответствует в этом случае дисперсии амплитуд вблизи этой часто­ ты. Далее, колебания спектральной плотности в той области час­ тот, где ее значения малы, не играют особой роли. При использова­ нии же логарифмического масштаба эти колебания становятся преувеличенными, так что становятся заметными столь незначитель­ ные локальные максимумы, которые не были видны простым гла­ зом в арифметическом масштабе. Если оценка спектральной плот-

ности /г (v) является арифметическим средним значений выбороч-

ной спектральной плотности 1т (v), то сравнение /г (v) и 1т (v) так­ же проще производить в обычном масштабе.

В ряде примеров некоторые локальные максимумы соответст­ вуют частотам, кратным той частоте, на которой наблюдается аб­ солютный максимум. Поскольку в ряд Фурье, аппроксимирующий периодическую функцию или последовательность, не являющуюся тригонометрической, входит несколько слагаемых, то упомянутые вторичные пики могут просто указывать на несинусоидальный ха­ рактер основной периодической компоненты.

Во введении к этой главе уже отмечалось, что если рассматри­ ваемая здесь оценка спектральной плотности неотрицательна, то ее можно трактовать как спектральную плотность некоторого про­ цесса скользящего среднего. Другой метод оценивания спектраль­ ной плотности состоит в оценке коэффициентов процесса авторег­ рессии, аппроксимирующего процесс, из которого получена выбор­ ка. В качестве оценки спектральной плотности исходного процесса используют спектральную плотность подобранного процесса авто­ регрессии. Такие оценки и оценки типа скользящего среднего ве­ дут себя асимптотически одинаково, однако эквивалентность обо­ их методов теоретически пока не доказана. Приведенный пример, связанный с индексом Бевериджа цен на пшеницу с выделенным трендом, говорит о том, что следует, по-видимому, предпочесть не­ большие запаздывания, но использование слишком малых запазды­ ваний может привести к неправильным выводам. Так, максимум спектральной плотности подобранного для этого случая процесса авторегрессии второго порядка не согласуется ни с одним из макси­ мумов спектральных плотностей подобранных процессов более вы-

соких порядков. Однако преимуществом указанного метода явля­ ется то, что получаемые коэффициенты дают возможность прогнози­ ровать значения функции и существует разумный способ определе­ ния нужного числа запаздываний (§ 5.6).

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Разд. 9.2.1) Выведите второе выражение для Cov (G, W) в (16) непосред­

ственно из первого. Выведите вторую форму записи (19) непосредственно из пер­

вой. (Указание. Взять вторую форму записи в (16), выразить sin-~-x77sin - - х для

различных х и проинтегрировать по Я и Я'.)

Кs'n - 5- (2К + 1)