книги / Статистический анализ временных рядов

T—►oo

И R (h) = [pij(h)].

Условие 10.2.4. Матрица R (0) не вырождена.

Первое предположение означает, что вклад каждой последова­ тельности г» неограниченно возрастает с ростом Т. Благодаря вто­ рому предположению исключается возможность заметного вкла­

да последних членов г?/ в сумму квадратов при больших Т. Третье предположение приводит к тому, что корреляции между независи­ мыми переменными при всех достаточно больших Т мало отличают­ ся от некоторых фиксированных значений. Наконец, четвертое ус­ ловие вводится из соображений удобства вычислений.

Последовательность {R (/г)} является положительно определен­ ной последовательностью эрмитовых матриц, т. е.

где суммирование проводится по любому конечному множеству индексов, {xh} — произвольная последовательность действительных чисел, а с — произвольный комплексный вектор размерности р. Отсюда следует, что существует эрмитова матрица М (А,) с положи­ тельно полуопределенными приращениями, такая, что

Л

Доказательство. В силу следствия 7.5.2 для любого е > 0 най­ дется такая пара спектральных плотностей, а именно, Д. (Я) =

некоторой паре процессов авторегрессии, что при этом выполняются соотношения (70) и

(83) 7 I W ^ 1 ^ W < 8 ’ ~ л < к < п-

Функция fu (Я) является спектральной плотностью процесса {до,}, удовлетворяющего стохастическому разностному уравнению

в котором {о,} — последовательность некоррелированных случай­ ных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями.

Предположим, что Т >■ 2К. Элементы Оти матрицы Sy1 равны

Это соотношение выполняется для каждого вектора у, что и доказы­ вает теорему.

Следствие 10.2.1. При выполнении условий 10.2.1—10.2.5

Здесь использован тот факт, что lim D f1 Z'ZDf1= R (0).

T-*о©

Пусть

(96)S(u) = {Х|2я/(Х)<и},

где m — 2я min / (X) и M — 2n max f (X), —n <. X < я. Поскольку / (X) = f (—X), то множество S (и) симметрично относительно нуля,

Две интересующие нас предельные нормированные ковариационные матрицы будут совпадать тогда и только тогда, когда (103) равно

D -1. Диагональные элементы матриц (101), (102) и (103) равны

м

В силу того, что приращения функций 1ц (ы) неотрицательны, 1ц (и) для каждого i является функцией распределения вероятностей. Выражение (105) можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины, имеющей такое распределение, а (106) —. как математическое ожидание обратной ей по значениям случайной

величины. Если (103) есть D-1, то (106) равно l/du, и из леммы 10.2.1 вытекает, что для каждого i функция 1ц (и) имеет только одну точку роста, причем в этой точке она имеет скачок величины 1.

Обратно, пусть каждая из функций /« (и) имеет только одну точку роста. В соответствии с (104), в этой точке будет скачок ве­ личины 1. Пусть скачки диагональных элементов матричной функ­ ции L («) соответствуют значениям и, среди которых различными являются «х > ... > UQ. Поскольку приращения L (и) положительяо полуопределены, возрастание недиагональных элементов может происходить только путем скачков при тех же значениях и — ul t ...

UQ. Пусть L/ обозначает приращение L (и) в точке и — щ, / =

Матрицы L/ соответствуют отличным от нуля матрицам С<Л) из дока­ зательства теоремы 10.2.2. При этом /-й диагональный блок матрицы L является единичной матрицей, порядок которой равен числу диагональных элементов L (и), возрастающих в точке щ. Все дру­ гие блоки L/ являются нулевыми матрицами. Ранг матрицы L/ совпадает с порядком единичного блока. Соотношения (101) и (102) принимают вид

(Ю8) 2 U/Lj = D, /=1

в

Теорема 10.2.8. Для асимптотической эффективности оценок наименьших квадратов при условиях 10.2.1—10.2.6 необходимо и достаточно, чтобы каждый диагональный элемент матричной функции L (и) возрастал только в одной точке.

Отметим, что число диагональных элементов матрицы L/, рав­ ных 1, совпадает с рангом L/.

Следствие 10.2.2. Для асимптотической эффективности оценок наименьших квадратов необходимо и достаточно, чтобы матрич­ ная функция L (и) имела G, G <■ р, точек роста, где р — сумма рангов приращений функции L (и).

Теорема 10.2.9. Для асимптотической эффективности оценок наименьших квадратов при условиях 10.2.1—10.2.6 необходимо и. достаточно, чтобы на множестве тех Я, при которых возрастает М (Я), спектральная плотность / (Я) принимала всего G, G < р, значений, где р равно сумме рангов интегралов JdM (Я) по тем G множествам значений %, на которых f (Я) принимает эти G значе­ ний.

Равные единице диагональные элементы матрицы Lj должны располагаться рядом, а диагональные блоки, порождаемые ими,,

'632 ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ Гл. 10.

должны составлять единичные подматрицы. Учитывая это, соотно­ шение (108) можно переписать в виде

О0 ... UQ \J

где матрица и/1 имеет порядок, равный рангу L/. В силу того, что единичные матрицы в Lx, ..., L<? не перекрываются,

симметрично, интеграл (ПО) содержит только действительную часть М (Я). Фактически соотношение (110) имеет вид

Теорема 10.2.10. При условиях 10.2.1—10,2.4 оценки наименьших квадратов асимптотически эффективны для всех стационарных процессов с непрерывными положительными спектральными плот­ ностями тогда и только тогда, когда М (Я) возрастает не более, чем при р значениях Я, 0 < Я я, где р — сумма рангов прираще­ ний функции М (Я).

Доказательство. Теорема 10.2.9 может оставаться справедливой для всех указанных спектральных плотностей только в том случае, если матрица JrfM (Я) положительно полуопределена не более чем в р точках.и

Следует отметить, что если действительная часть М (Я) не воз­ растает на некотором множестве значений Я, то на этом множестве не возрастает также и мнимая часть М (Я). Поэтому указанный критерий можно формулировать как с использованием самой М (Я), так и с использованием лишь ее действительной части.