книги / Статистический анализ временных рядов
..pdfПриложение В. |
РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ |
725 |
где P p_ w (t) — полином степени р — т . Тогда |
|
2 РгЩ-г = 2 РгФ^Щ -р =
|
|
|
|
г*0 |
|
|
л=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
Рр_ т |
(5>) ( |
^ |
- |
а)т Р т _ , (< - |
р) а * -? = О, |
|
|
||||||||||||
в |
соответствии |
с результатом |
упр. |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Г л а в а |
5 , |
у п р а ж н е н и е |
10 . |
Используем метод |
|
решения |
упр. |
9. |
Тогда, |
||||||||||||||||
применяя дважды результат упр. 7, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Р/•“’<-/• = Рр-2т (5й) (^ — ае,е)т (#>— ае—l6)mX |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
г=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [Рт-1 (0 а* ^ |
+ ?m-i (0 |
|
|
- 0. |
|||||||||
|
Отметим, что решением является любое выражение вида |
Р т _ j |
(0 |
+ |
||||||||||||||||||||||
+ |
Qm—1 (0 ^ |
e~~tid, где |
Qw _ ! |
(t) —- полином степени т |
— 1. Однако действитель |
|||||||||||||||||||||
ным такое |
решение |
будет |
только, |
когда |
Qw _ i (0 |
= |
|
Р т — 1 |
(0- |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Г л а в а 5 , у п р а ж н е н и е 17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
к Т |
О |
|
’ - 1 |
( о |
) ЯТ_2 |
( ч ) ЯТ_3 |
••• |
( |
т |
\ |
^ Т -п + 2 |
( |
Т |
) Хх- п+ ‘ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
\ 2 / |
|
|
|
\3 / |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
\п — |
1/ |
|
|
|||
|
0 |
|
|
Xх |
[ Л |
Xх- |
1 |
( ‘1 ) х х- |
2 |
. . . |
( |
т |
) |
Хх~ п+ 3 |
( |
т |
) ^ - " + - |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
\1 / |
|
|
|
\2 / |
|
|
|
|
|
з / |
|
|
|
|
2 / |
|
|
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
Xх |
|
|
\1 / |
|
|
• • • |
( |
т |
\ ХХ -П + 4 ( т |
\ д х - п + з |
||||||||||
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
4 } |
|
|
|
\я — 3 / |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Xх |
|
|
|
|
с |
и |
- |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Xх |
|
|
||
где п — порядок матрицы и (у) = 0 для / > |
т. В справедливости этого результа |
|||||||||||||||||||||||||
та |
можно |
убедиться |
по |
индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Г л а в а |
5 , |
у п р а ж н е н и е |
18 . |
Характеристическое |
уравнение |Л |
— v l[ = 0 |
|||||||||||||||||||
имеет здесь вид (к — v)rt = |
0, |
|
где |
/г — порядок |
матрицы А . Уравнение Л х |
= Ях, |
||||||||||||||||||||
х |
= (xv |
..., |
хп) \ имеет решение |
х |
= |
(х, |
0 ........0 )', которое |
является |
единствен |
|||||||||||||||||
ным (если не |
считать |
различий в |
первой |
|
компоненте |
для |
х Ф 0). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Г л а в а |
5 , у п р а ж н е н и е |
19. В покомпонентной записи уравнение — Bv = x/v, |
|||||||||||||||||||||||
v |
=з (с л ,..., vp) \ имеет вид — |
2 |
р |
Pr*V = |
|
|
|
vr_ Y = |
x ivr, r = |
2........ p. |
Если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o i= x f ” |
1, то единственным решением будет vr =xf~ ~rt r = |
l , ..., p . Иначе говоря, ка ж |
дому отдельному корню соответствует единственный характеристический вектор.
Если — В = САС—1и при этом матрица А |
диагональна, а матрица С не вырождена, |
|
то — ВС == СА и матрица — В |
имеет р различных характеристических векторов. |
|
Следовательно, она имеет р |
различных |
характеристических корней. |
726 |
|
|
|
РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ |
|
Приложение В. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 5 , у п р а ж н е н и е 2 0 . Сумма ^ |
CV] x j |
с/i |
в (22) |
является |
первым ди- |
||||||||||||||||
агональным |
элементом |
матрицы |
|
|
7=1 |
(— В)т . Для |
решения |
задачи |
необ |
||||||||||||
|
|
= |
|||||||||||||||||||
ходимо показать, что эта величина совпадает с 6Т из (28) § 5.2. Обозначим |
первую |
||||||||||||||||||||
строку матрицы (— В)т+1 |
через (ат1, а т2, |
a TtP__x, а тр). Тогда |
первой |
строкой |
|||||||||||||||||
матрицы |
< - В ) х+ 2 = |
( _ B ) T+ ‘ |
( - В ) |
будет |
(ат 2 - а |
х1р „ |
|
а х3 - |
« т1р2, |
|
, |
||||||||||
- »а тр — a x iP p _ i, — а т1рр). Таким образом, соответствующие величины |
удовлет |
||||||||||||||||||||
воряют тем же самым рекуррентным соотношениям, что и величины бг |
[См. (14) |
||||||||||||||||||||
или |
(22) из |
§ 5.2. ] Кроме |
того, они удовлетворяют тем же самым начальным ус |
||||||||||||||||||
ловиям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
б , у п р а ж н е н и е |
2 7 . Следуя указанию, умножим обе части (31) слева |
|||||||||||||||||||
на (Г*-1 неправа на (С')"-1. В силу (10) С ^ В С |
= — А , так что А *— А А *А |
= 2 * . Если |
|||||||||||||||||||
А * = |
(aij)y |
2 * == (aif) |
и |
диагональные |
элементы |
матрицы |
А |
равны |
Xi, |
..., |
Хр, |
||||||||||
то a(j (1 |
|
X{Xj) = a?., |
i , |
j = |
1, |
..., |
р. |
П оскольку |
характеристические |
корни |
|||||||||||
матрицы |
— В лежат в |
единичном |
круге, |
то |
А* определяется однозначно и А = |
||||||||||||||||
*= СА*С' |
определяется |
из |
(31) единственным образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Г л а в а б , у п р а ж н е н и е 4 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(a) График совокупного дохода, остающегося |
после |
уплаты |
налогов |
(в |
со |
|||||||||||||||
поставимых |
ценах) |
приведен на стр. |
727. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(B) Средние ytt |
y t_ x и у |
t_ 2> t |
~ |
1, |
...» 21, |
|
равны |
59.0980, |
57.2485 |
и |
55.8937 соответственно. Нормальные уравнения относительно у2, pi и р2 предста вляются в виде
/7 7 0 |
681 |
6 3 9 |
\ / у 2 \ |
/ |
821 \ |
681 |
1287 |
1050 |
I £ I = - |
|
1316 . |
\639 |
1050 |
1175/ |
\ р ^ / |
\ |
946/ |
Сумма квадратов |
значений |
взятых относительно среднего, |
равна |
1807.38. |
||
Соответствующие оценки равны p i = — 1.223, |
р2 = 0.5103, ух = |
— 13.13, у 2 == |
||||
Л |
|
|
|
|
|
|
= — 0.4095, а = |
4.045. (Оценка |
параметра а, деленная на «число степеней сво- |
||||
боды» 21 — 4 = |
17, равна 4.496.) Оценкой ковариационной матрицы |
/Ч Л |
||||
для у2, pi |
||||||
и р2 является умноженная на а 2 (или s2) и на |
10“ 4 матрица |
|
|
|||
|
/ |
25.79 |
- 8 . 1 1 |
— 6 .7 8 \ |
|
|
|
|
— 8.11 |
31.25 |
— 23.52 . |
|
|
|
V— 6.78 |
— 23.52 |
3 3 .22 / |
|
|
Оценки стандартных отклонений оцениваемых коэффициентов равны при исполь зовании s соответственно 0.228, 0.251 и 0.259.
(c) |
р = |
44.7, 6 = 1.425. |
(d) |
Характеристическое уравнение, соответствующее данному стохастическому |
|
разностному |
уравнению, имеет корни 0.6115 ± 0.3693 i. Аргум ент равен 31 °8' |
и соответствует частоте 31°87360° = 0.08648, или периоду 11.57 лет, а модуль равен 0.7144.
Приложение В. |
РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ |
727 |
Обсуж дение. Модель авторегрессии второго порядка для дохода можно полу чить из следующей экономической модели:
y t = Ct + It + Gt,
Q = «о + а У t—1 “Ь
Л = Ро + Р [Q + Gt — (С^—j + G ^ i) ] + P%
G/ = Yo + y X
где Yf, Си It и Gf — соответственно доход, потребление, ‘капиталовложения и правительственные расходы за /-й год. При этом = — а (1 + р) и р2 = ар. Оценка для а равна 0.713. Она определяет часть дохода, предназначенную для потребления. Оценка для р равна 0.716. Она представляет компоненту капитало вложений, выявляемую при изменении неинвестиционных расходов. Малое зна чение последнего коэффициента можно объяснить недостаточной уверенностью деловых кругов, связанной со спадом деловой активности на протяжении большей части периода наблюдений.
,тГ л а в а 6 , у п р а ж н е н и е |
13. Подстановка |
(16) в (20) дает (i), что доказывает |
||
утверждение |
указания. |
И з |
(i) и (И) вытекает |
|
|
оо |
|
|
|
(Hi) |
J (Qi - |
И) hi (Q, I Qo, . |
vi'>) dQi = 0. |