книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf574 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9 .
+ А — s — £) + <*(( — s ~ g ) X
|
|
1 |
Us |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X o ( t — s + h) + x ( h , |
s — |
t, s — ( + |
g)] = |
|
|
||||||
|
= |
2 |
<PT(r ; |
8> А) 1<у(^) <7(#■ + |
Л— fir)-h |
' |
|
|
|||||
|
|
r ^ —(T—1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
o ( r ~ g ) |
О (r + h) + |
и (A, |
— r, |
g |
— r)J, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
g, A = 0, |
± |
1, |
± ( T — 1), |
||||
где суммирование ведется по тем s |
и |
t, |
для |
которых (1 , |
1 — g ) |
< |
|||||||
< s < |
min ( Т |
— g , Т ) |
и max (1, |
1 — А )< |
t |
< min ( Т |
— A, |
Т)> |
|||||
а Т ф/ (л; g, А) есть число таких пар (s, t), которые |
удовлетворяют |
||||||||||||
обоим указанным неравенствам и для которых t — s — г , г |
= — (Т — |
||||||||||||
— 1), |
|
(Г — 1 ). Точные выражения |
для |
Т<рг (г , g , |
А) д я н ы в |
||||||||
упр. 19. [Для некоторых троек (г; g . А) <рг (г; g , |
А) = |
0.] Отметим, |
что |
||||||||||
(41) |
|
|
|
0 < f r (r, |
g , |
А )< 1 |
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(42) |
|
|
|
Jjm фг (г; |
g, |
А)= 1 |
|
|
|
|
|
||
для каждого набора г, g |
и А. В действительности справедливо даже |
||||||||||||
следующее неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(43) |
|
|
<рт(г; g, |
А) > 1 -----!.£| ± Ш + 1 Й1, |
|
|
|
Используя (40), получаем далее
(44)- щ - G)v 1/т (Я), % (v)J =
X cos Яg cos vA Cov (cgT, chT) =
Kf
|
|
,.,2 >r * ( ^ r ) * (•£ •) |
X |
x |
2 |
Я>т(r, g , A) (<r(r)o(r -}- A— o) _L |
+ o ( r ~ g ) o ( r + A) + x(A, *—г, g ~ r ) ] .
9:3. |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ И КОВАРИАЦИИ |
S7Г |
Последнюю можно аппроксимировать суммой
тm in (u ,o )+ K r
(55) |
|
■ |
|
2 |
|
|
2 |
<рг (м; |
и — s, v — s) х |
|
|
|
||||||
|
|
(2л)® |
Кт |
— |
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
' |
' |
|
1 |
u,v— — m s=max(«,t>)—/Су |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
k i ^ W ~ ) k ( п |
^ ) |
e'a “+w)- 'a+v)s а («)« Wr- |
||||||||
а ту в свою очередь |
суммой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
К Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(55) |
- j g r |
|
2 |
2 |
^ |
4 |
1 1 |
|
|
о М а м , |
|
|||||||
|
|
|
|
u,v=—m S~—KT |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поскольку |
k l(u — s)/KT] k [(у — S)/KT\ |
при больших |
Кт |
прибли |
||||||||||||||
женно |
равно |
k2 (—s/Кт) = k2 (s/Кт)-. Если |
теперь А, + |
v = |
О или’. |
|||||||||||||
± |
2 л, то (56) имеет в качестве предела |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(57) |
|
|
|
|
|
|
|
p(v) |
( k2(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же v |
|
А, Ф 0, ± 2 я, то предел (56) равен 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Наконец, входящая в (44) сумма |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(58) |
w |
^ |
|
gjA2 |
Kг |
|
|
|
ё’ А)/гЫ г И |
^ ~ ) |
Х |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
e*Wg+vA) х (Л, |
—Г, |
g —■г)’ |
|||
не превосходит по абсолютной величине |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(59) |
|
|
|
|
(2л)Ь гг~ |
sup |
|
2 |
l« (r. s, |
0 1 |
|
|
|
|
||||
и, |
следовательно, |
ее предел |
при |
Т -*■ оо |
равен |
0, |
если |
только- |
||||||||||
|
2 |
|
|х(г, |
s, 0 |< ° ° - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r , S |
, / = — о с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
|
9.3.4. |
П уст ь |
оценка |
/г (v) определена |
соот нош ен ием |
|||||||||||
(36), |
причем |
k (х) = k (—х) ы ф ун кц и я |
k (х) непреры вна н а |
от резке? |
||||||||||||||
[—1 , |
1 J. П редполож им , |
что выполнены условия |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(60) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|ог(г)|<оо, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
fes— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(61) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|x (r, |
S, 0 1 < |
°°* |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Г,5,/=—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
578 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.
Пусть последовтельность целых чисел {/Сг} такова, |
что К.т -*■ оо и |
||||||
Кг/Т -*■О при Т |
|
оо. Тогда |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<62) |
Н т |
|
Var Тт(0 ) = |
2 Z2 (0 ) |
( k*(х) dx, |
|
|
|
T-+OQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
<63) |
Н т 4 - |
Var Тт(± я) = |
2 /* (я) |
С k> (х) dx, |
|
|
|
|
Т-+ ОО |
|
|
J l | |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(64) |
Нт |
4 |
~ Var /г (v) = |
/* (v) f k 2 (х ) d x * |
v Ф |
0, ± я, |
|
|
Т-+оо |
Л Г |
_1 |
|
|
|
|
(65) |
lim 4 ~ Cov[/г(Я), |
/ г (v)] = |
0, v ^ ± L |
|
|||
|
Г-*оо А Г |
|
-ч |
|
|
||
Теорема 9.3.4 |
|
|
|
|
|
||
показывает, что дисперсия /V (v) имеет порядок |
|||||||
Кг/Т. Поскольку |
Кт -*■ 00, отношение |
/Cr/Т будет |
больше от |
ношения К/Т для произвольного К и для всех достаточно больших значений Т. Поэтому дисперсия состоятельной оценки вида (36) будет асимптотически большей, чем дисперсия оценок того типа, который рассматривался в разд. 9.3.1.
Если фиксировать |
целочисленную последовательность {/(г}, |
то различные оценки |
можно сравнивать по величине интеграла |
| k2 (х) dx. Примеры такого сравнения даны в табл. 9.3.3. Как видно
из этой таблицы и из табл. 9.3.2, для ядер с q = |
2 характеристика |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 9.3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЯДЕР |
|
||||
|
|
|
|
|
|
k(X) Д Л Я |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 * 1 ^ 1 |
f k:• (Ж) dX |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
в. |
У сеченная |
оценка |
|
1 |
|
2 |
|
||
D. |
М одифицированная |
оцен |
1 - 4 * 1 |
|
2/3 |
|
|||
|
к а Б артлетта |
|
|
|
|
|
|||
Е . |
У сеченная |
оценка |
Д ан и |
sin nxftnx) |
|
0.90282336 |
|
||
|
эл я {Ь = |
л1Кт) |
|
1 — 2а + 2а cos их |
|
|
|||
F . |
О ц енка |
Б лэкм ена — Тью - |
2 (1— 4а + |
6а2) |
|||||
|
ки |
|
|
|
|
|
|
|
|
G . |
О кно |
Хеннинга |
|
(1 + C O S J U )/2 |
_ |
3/4 = 0.75 |
|
||
Н . |
О кно |
Хемминга |
|
0.54 + 0.46 cos пх |
0.7948 |
|
|||
I. |
О ц енка |
П арзена |
|
1 — *2 |
|
1 6 /1 5 = 1.0667 |
|||
J. |
О ценка |
П арзена |
|
1— 6** + 61 х Is, 1*1 < 1/2, |
151/280 = |
0.5393 |
2 (1 - | * | ) 8. 1 / 2 < | * | < 1
9.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ И КОВАРИАЦИИ 579
смещения k и величина указанного интеграла имеют тенденцию
изменяться |
противоположным образом. |
|
(44) § 8.3, условие |
||||
Отметим, что, |
как следует из соотношения |
||||||
|
|
|
|
|
|
сю |
|
(61) |
будет |
выполнено, если, например, |
yt = р, + 2 Уsvt-s, |
где |
|||
|
|
|
|
|
|
S = —СО |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
| Vs 1< |
00 |
и |
первые четыре момента |
последовательности |
{vt\ |
|
5 = — 00 |
|
|
требованиям стационарности и |
независимости |
vt, |
||
соответствуют |
|||||||
t — 0 , ± 1 ......... |
|
|
/ч |
|
|||
Если среднее р, неизвестно, то в определении /г (v) следует за |
|||||||
менить сгт |
на с‘гТ |
или на сгТ . В конце § 9.4 показано, что теорема |
9.3.4приложима и к этим оценкам.
9.3.4.Асимптотическая среднеквадратичная ошибка
Как видно из теорем 9.3.3 и 9 .3 .4,, если Т велико, то при соот
ветствующих условиях среднеквадратичная ошибка оценки спект ральной плотности в точке v
(66) |
8 [fT(v) — f (v)]a = Var f T(v) + [%%(v) —? (v)]2 |
|||
приблизительно равна (v Ф 0, ± |
я) |
|
||
(67) |
^ / ’ (V)] k 4 x ) d x |
+ |
^ |
k 2 {/M(v)}», |
где |
|
|
|
|
(6 8 ) |
fW (V) = J L |
2 |
\ r f |
cos v r a (r). |
|
Г——OO |
|
Следует обратить внимание на то, что Кт находится в числителе
- Л
выражения асимптотической дисперсии для /V (v) и в знаменателе выражения асимптотического смещения. Поэтому, чем больше значение Кт (по отношению к Г), тем большей оказывается диспер
сия и тем меньшим будет смещение. Можно сказать, что дисперсия и смещение ведут себя противоположным образом. Для того чтобы, оба слагаемых в (67) имели одинаковый порядок, необходимо, что
бы величина Ктя^ 1 имела порядок Т. (Если эти слагаемые имеют
различные порядки, то одно из них, более высокого порядка, будет доминировать и, кроме того, будет иметь порядок больший, нежели порядок суммы при совпадающих порядках слагаемых.) Для этого можно взять, например, в качестве Кт велйчину
£80 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
<69) lira Т т2ч+1) 5 |
[/г (v) — / (v) ] 2 = |
|
|
|
|
||
|
|
= |
yf%(v) $ |
A2 (x) dx + - ^ |
{fM (v)}2 A2. |
||
|
|
|
_ l |
|
|
i r |
|
При этом предполагается, что функция k (х) = |
k (—х) непрерывна |
||||||
на {— 1, 11, выполнено |
условие |
(21) для |
q 7> 0 |
и А > 0, выполнено |
|||
условие (37) для р = |
|
00 |
|
|
оо |
|х (г, |
s, /) | < оо. |
q, |
2 | о (г) | < оо |
и |
2 |
||||
|
|
г==—оо |
|
|
r,S,t= —ОО |
|
Если q — четное целое число, то (—I)*/2 /1*1 (v) = /<*> (v) есть q-я произ
водная / |
(А) в точке А .= v [см. (23)1. Из справедливости условия |
(37) для |
р — q следует, что эта q-я производная существует и непре |
рывна для всех v.
Порядок среднеквадратичной ошибки равен 7"-2<7/(2<Ж). Боль шим значениям q соответствует меньшее значение этого порядка.
В связи с этим оценки Блэкмена — Тьюки и Парзена более пред почтительны, чем модифицированная оценка Бартлетта.
Правая часть (69) зависит от выбранной константы у. от двух характеристик ядра, § А2 (х) dx и А2, а также от / (v) и /1*1 (v). Ис
пользование асимптотической теории дает возможность сравнивать оценки, ядра которых имеют один и тот же характеристический по казатель q. Именно можно сказать, что оценка с ядром А (х) явля ется в асимптотическом плане не хуж е оценки с ядром А* (х) и
соответствующей характеристикой А*, если
|
1 |
1 |
(70) |
А2 <. А*2, | А2 (х) dx < |
( А*2 (х) dx. |
|
—I |
—I |
При этом оценка с ядром А (х) будет асимптотически лучше оцен
ки с ядром А* (х), если хотя бы одно из неравенств в (70) будет стро гим. Оценка с ядром А* (х) асимптотически допустима, если не су ществует таких А (х), для которых бы выполнялось (70) и при этом хотя бы одно из неравенств в (70) было строгим. В пяти примерах -оценок с q = 2, рассмотренных выше, ни одна из оценок не являет
ся асимптотически лучше какой-либо другой из них. См. табл. 9.3.4. Теория, рассмотренная в этом параграфе, является асимптоти ческой. Поэтому естественно ожидать, что для хорошей ее примени
мости значения Т должны быть достаточно большими.
Для малых и умеренных значений Т окна дог (А | v) и w\ (А | v)
приписывают положительные веса как значениям, близким к v, из-за наличия основного пика, так и значениям, удаленным от v, из-за наличия боковых лепестков. Область тех значений А, кото-
9.4. |
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ |
581 |
Таблица 9.3.4
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЯДЕР, ВХОДЯЩИХ В „ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ОШИБКИ ОЦЕНОК
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
k1 |
J k* (X) dx |
Е . |
Усеченная оценка Да- |
я2/6 |
я4/36 *= 2.7058 |
0.90282336 |
|
ниэля (Ь = п/Кт) |
|
|
|
Р . |
Оценка Блэкмена — |
я*д |
я4а2 |
2 (1—4а + 6аа) |
|
Тьюки |
|
|
|
<3. |
Окно |
Хеннинга |
я2/4 |
л4/16 = 6.0881 |
3/4 = 0.75 |
Н . |
Окно |
Хемминга |
0.23я* |
0.0529л4 = 5.1529 |
0.7948 |
I. |
Оценка Парзена |
1 |
1 |
16/15 = 1.0667 |
|
J. |
Оценка Парзена |
6 |
36 |
151/280 = 0.5393 |
рым приписывается значительный вес, называется шириной полосы частот спектрального окна. По этому поводу имеется целый ряд различных определений в которые, однако, мы не будем углубляться. См. Дженкинс (1961) и Парзен (1961b).
9 .4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК
. СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
При определенных условиях оценки спектральной плотности, изучавшиеся в § 9.3, оказываются асимптотически нормальными.
Мы |
покажем, что |
величина |
('Г /К т У f/г (v) — ©/г (v)] |
имеет в |
|||||||
пределе нормальное распределение. Положим |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
<1) |
|
|
|
|
|
yt =* |
2 |
Ys^-s. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = s — ОО |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гДе |
2 |
|YSI < ° ° . |
а ivt) — последовательность независимых и оди- |
||||||||
|
$=-~00 |
|
|
|
|
случайных |
величин, у |
которых |
%vt — О, |
||
наново распределенных |
|||||||||||
&V/ — а2 и 8 |
i = |
За4 -+- х4 < |
с». Найдем предельное распределе |
||||||||
ние |
разности |
U T — 8 i/r , |
гДе |
|
|
|
|
|
|||
<2) |
|
Ц т = |
l - щ г) '* |
2 |
k ( |
i t ) |
C°S V* “F 2 |
У‘У‘+е |
|
||
|
|
|
|
' |
' |
g=i |
4 |
' |
|
|
|
Разность |
между |
(Т/Кт)1/' I/г (v) — Щт (v)J и (UT — %Ur)!n равна |
|||||||||
|
|
|
|
|
A(0) |
|
l |
£ |
,2 |
|
|