книги / Статистический анализ временных рядов
..pdfГлава 9
ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ПЛОТНОСТИ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Если стационарный случайный процесс имеет абсолютно непре рывную спектральную функцию, то дисперсия и ковариации такого процесса однозначно выражаются через его спектральную плотность. Представляет интерес оценка спектральной плотности процесса по его наблюдениям уи .... ут в Т последовательных моментов времени. В гл. 8 была подробно изучена выборочная спектральная плотность
/(Я) = [1/(2я)] |
2 |
cos krcr. Было показано, что 8 / (Я,) сходится |
|
г = —(Г—I) |
|
при Т -*■ оо к теоретической спектральной плотности / (Я). Однако дисперсия величины / (Я) не стремится при этом к нулю, вслед ствие чего / (Я) не может считаться удовлетворительной оценкой для / (Я).
Внастоящей главе будет рассмотрено оценивание значения / (Я)
вточке Я = v с помощью величин вида
|
л |
г-1 |
ш, cos \гСг = (2я) 1 |
Г—1 |
|
|
|
|
/ (v) = (2я)- 1 |
2 |
2 |
w' COS vrcr, |
|||
|
|
г*=— (Т —1) |
|
|
г=-(Г-1) |
|
|
где |
до, — (Т — \r\)w’ /T |
суть надлежащим |
образом |
выбранные |
|||
числа, зависящие от Т. Такую оценку можно записать |
иначе в виде |
||||||
Л |
w* (Я | v) / (Я) dk, т. е. в виде |
|
|
|
|
||
j |
взвешенного среднего величины |
||||||
*-Л |
|
|
|
|
Г—1 |
|
|
I |
(Я). Весовая функция w* (Я I v) |
|
w*cos Яг cos vr |
||||
= (2 я)- ' |
2 |
||||||
|
|
|
|
г = - (Г -1) |
|
|
|
также может зависеть от Т. Подобного рода оценки вводятся в 9.2. Там же приведен целый ряд примеров. Математическое ожидание
544 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Г л . 9 .
л
такой оценки равно ] w (к \v) f (Я,) dk, причем и здесь весовая функ- —Я
ция w (к I v) = (2 я )-1 |
Т - 1 |
w. cos кг cos vr может зависеть |
^ |
/•*=- (Г-1)
от Т. Состоятельно оценить / (v) можно с помощью последователь ности таких оценок. В разд. 9.3.2 указан метод построения подобной последовательности и вычислено асимптотическое смещение. В разд. 9.3.3 получены асимптотические дисперсии и ковариации указанных оценок. Эти оценки при соответствующих условиях ока зываются (§ 9.4) асимптотически нормальными.
Я
Всюду в этой главе предполагается, что о (0) = j / (к) dk < оо.
— Я
Поскольку Сг = С—г, cos кг — cos (—кг) и т. п., в дальнейшем мы
всегда будем брать wr — W-r и щ = ayl, (чем, не теряя общности, упростим вычисления).
Если щ — р неизвестно, то в указанной выше оценке f (v) сле дует вместо Сг и сг брать С*, с*, Сг или сг. Тогда вместо / (Я) взве
шиваются уже /* (к) или / (А,). Асимптотические свойства этих величин одни и те же.
Л
Если / (v) >• 0, —я < v < я, она представляет собой спектраль ную плотность некоторого конечного процесса скользящего средне
го, |
поскольку в этом случае wrCr ~ W-r С_г действительны, г = |
= |
0,1, ..., Г — 1. Кроме того, если wr— 0 , г — К + 1,..., Т — 1, |
то соответствующий процесс скользящего среднего является усред нением К + 1 некоррелированных переменных. Заметим, что если
w* (к 10 ) > 0 , —я < к < я, то и / (v) > 0 , — я < v < я.
9.2. ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ
9 .2 .1 . Квадратичные формы в качестве оценок спектральной плотности
Как было показано ранее, значение теоретической спектральной плотности f (А) в точке к = v может быть представлено в виде ли нейной комбинации ковариаций процесса. В то же время каждая из этих ковариаций а (Л) является математическим ожиданием не которой квадратичной формы от у( — р. Поэтому представляется естественным оценивать / (v) с помощью квадратичных форм от наблюдаемых значений ряда. Мы будем предполагать пока, что сред-
546 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.
Впрочем, вопрос о том, когда это будет действительно так, остается открытым. Н о как бы то ни было оценки (6) сравнительно легко вы числяются, поскольку для этого нужны лишь значения С0, Си ...
.... Ст—и
В случае больших выборок можно доказать, что оценки (6) ни чуть не хуже любых других оценок. Если взять последовательность
|
г |
|
|
|
|
|
|
оценок |
2 |
КУ>Уо 7 ’ = , |
1> |
2, . . . . |
то |
последовательность оценок |
|
|
Г - 1 |
|
|
|
|
Г - л |
|
<2я)-1 |
2 |
а £ С ,, где |
®Г в= w T r = |
2я |
2 |
“ ' Г , . , , будет иметь ту же |
|
г— ( Г - 1 ) |
г |
- г |
|
* „1 |
W -K |
||
последовательность математических ожиданий, что и первая последовательность, для любого стационарного в широком смысле случайного процесса. Греиандер и Розенблатт (1957, разд. 4 .2), показали, что если
(8 ) |
HmS 2 |
- / ( * ) ' |
|
Т-юо *,/=*1 |
|
для некоторого v и всех спектральных плотностей f (Я) из некоторо го класса (такого, например, как класс всех линейных процессов), то вторая последовательность имеет в пределе дисперсию, не пре восходящую предельной дисперсии первой последовательности,
00 |
|
для всякого линейного процесса у] = 2 |
такого, что |
(а) первые четыре момента {о(} конечны и являются моментами неко торой стационарной последовательности независимых случайных
величин, (Ь) для некоторого 6 > |
О выполняются |
|
(9) |
lim s2+ ey , = 0, |
lim | s |*+®у, = О, |
|
S 4 0 O |
S -> 1" ОО |
и (с) / (Я) > |
0 для всех Я, —я < |
Я < я . (Мы не будем доказывать |
этот результат.) Оценки, основанные на выборочных ковариациях, имеют, по крайней мере асимптотически, наименьшую диспер сию. Поэтому всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только оценки, являющиеся линейными комбинациями выборочных кова риаций.
Эти оценки могут быть выражены также с помощью выборочной спектральной плотности, поскольку (теорема 8.2.2)
Я
(10)j c o s X r l(\ )d \ = *
= |
= - Y |r| C„ r |
= |
0 |
, ± l |
...............± ( T ~ 1), |
lo, |
r |
- |
± |
7 \ |
± ( 7 4 - 1), • • t • |
9.2. ОЦЕНКИ. ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ 547
Используя |
(10), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<"> |
|
|
2 |
|
, w'c ' = |
~ k |
2 |
^ т = т т г с' ' |
||||
|
|
г**— (Г — 1) |
|
|
|
г—— (Г — 1) |
|
' 1 |
||||
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
“'Х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,= - ( Г - 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
ДО* = |
_| rj |
до,, |
г |
= 0, |
± |
1...........± |
( Т <— 1). |
||||
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
<13) |
|
|
Г-1 |
|
а»; ^ |
cos Хг/ (Я.)rfA, = |
|
|
||||
W = - L . |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
2п г=—(г—о |
’ j;„ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Я |
|
j 1 | |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
= |
4 - 1 |
|
2 |
|
cos А// (X) <й = |
f |
до* (К) I (A) dX, |
||||
|
|
- я ' “ - < 7 - 1 ) |
|
|
|
|
- я . |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
■ "•w — Ёг |
|
2 |
|
|
|
-Ё г _ |
2 |
, “ . - г ^ т т т cos^ |
||||
|
|
|
|
/'=—(Г—1) |
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, |
что до* (Я) г |
до (А) |
только |
тогда, |
когда до, = до* = 0, |
|||||||
г0 . Весовая функция до* (А) более удобна для определения ука
занной оценки как взвешенного среднего выборочной спектральной плотности, а весовая функция до (А,) — для представления математиче ского ожидания этой оценки в виде взвешенного среднего теоретиче
ской спектральной |
плотности. |
|
|
|
|
|
Дисперсию оценок, подобных (11), можно находить, используя |
||||||
результаты § 8.2. Пусть G = (2 я) |
1 |
|
g f i r какая-то другая |
|||
оценка такого рода. Тогда |
|
|
|
|
||
(15) Cov(G, Г) = |
- щ |
г С о у ( g 0C 0 + |
2 2 |
g rC r, w 0C0 + 2 2 » д ) |
= |
|
= |
- щ |
з [tfoO’oVar С0 + |
2 до0 2 g , Cov (С„ С0) + |
|
||
|
|
Г—1 |
|
|
Г-1 |
т |
+ 2 ^ 0 |
2 и»,Cov (Со, Q |
+ |
4 2 . grw, Cov (С„ Q J . |
|||
|
|
S**l |
|
|
Г,8»1 |
|
•9.2. |
ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ |
549 |
з kT (Я, v) определяется соотношением (73) §8.2. (Первое выражение для Cov (G, W) в (16) получается из теоремы 8.2.6, а второе — из теоремы 8.2.8 и соотношения (13) настоящего раздела.) Негауссов- ■ская компонента Cov (G, W) имеет вид
т
<19) |
1 |
2 |
И(°. p — t, p — t) + |
|
||
(2л)2 Т г |
|
|||||
|
|
/ ,р = 1 |
Т-1 |
T—t |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|||
|
|
|
P — t, |
p — t) + |
||
|
|
|
U>s |
7 |
Т - ь |
|
|
|
|
2 2*<°* p — t, |
p — t + s) + |
||
|
|
|
Г —- s |
|||
|
|
|
|
1z=\ |
0=1 |
|
|
|
T— t |
|
|
|
|
|
. |
4 V |
SrWs |
|
X |
|
|
|
JU |
(Г — r) (T — s) |
|
||
|
|
',s = l |
|
|
|
|
|
|
T-r T—s |
|
|
|
|
|
x 2 2 |
* ^ p ~ p — ( + s) |
|
|||
|
|
*=\ |
1 |
|
|
|
яя
—я —я
т
X 2 cos к (t — s) cos А/ — s') X f.S.f\s'=sl
X x (s — /, t' — t, s' — t)dM l'.
9.2.2. Особе ности оценивания спектральной плотности
Если в качестве параметра положения брать математическое ожидание некоторой статистики и если интересоваться оценкой зна чения теоретической спектральной плотности / (Я,), в точке А, = v, то следовало бы использовать такую линейную комбинацию W выборочных ковариаций, математическое ожидание которой, яв ляющееся одновременно взвешенным средним выборочной спект ральной плотности, было бы по возможности более близким к f (v). ■Свойства этого математического ожидания можно рассматривать либо с помощью коэффициентов . {w,}, либо с помощью весовой •функции w (А,). Если мы оцениваем значение / (v), то при этом же*- лательно, чтобы функция до (А,) имела пик в точке А, = v. В то же
время мы заинтересованы в том, |
чтобы дисперсия оценки была |
ло возможности меньшей. Эти два |
условия в известном смысле |
550 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9-.
противоречивы. В § 9.3 будет рассмотрено асимптотическое смеще ние и дисперсия последовательности такого рода оценок.
Используемая нами оценка является линейной комбинацией выборочных ковариаций. Число их в оценке / (v) равно Т . При уве личении Т дисперсия каждой выборочной ковариации уменьшается. Однако этот эффект погашается возрастанием числа входящих в оценку выборочных ковариаций. Мы будем изучать оценки, в кото рых число выборочных ковариаций растет не слишком быстро и в то же время дисперсия сравнительно велика по сравнению со сред ними значениями.
Указанные оценки можно рассматривать также как взвешен ные средние выборочной спектральной плотности. Поскольку зна чения выборочной спектральной плотности в различных точках, асимптотически некоррелированы, то следует ожидать, что взве шенное среднее этих значений в различных точках будет иметь ма лую асимптотическую дисперсию. Для уменьшения асимптотиче ской дисперсии последовательность весовыхфункций w * (А,)не долж на в точке, где производится оценка спектральной плотности, иметьслишком быстро возрастающий пик. Это соответствует случаю» когда число косинус-функций, входящих в весовую функцию, рас тет с ростом Т медленно.
Если оценивать / (0) величиной
(2°)
(wr — W -r), то соответствующей оценкой для / (v) будет
(2 1 ) |
Ж = -4 - |
У |
|
w co s v r C r. |
||
|
|
|
|
(Г —1) |
|
|
Весовыми функциями для f |
(0) являются |
|||||
(22) |
ш(Х|0) = |
|
1 |
Т~1 |
||
-^г |
2 |
wrcos А/, |
||||
(23) |
ш*(А|0 ) = |
|
|
|
»; cos Ar, |
|
а для? (v) — |
|
|
|
|
|
|
(24) |
a>(A|v) = |
1 |
|
Т~ 1 |
|
ovcosArcosvr =* |
-=— |
2 |
|
||||
|
|
m |
|
л=*~(Г—1) |
|
|
|
= |
-g -[а» (А— v | °) + а> (А + v | О)], |
||||
-9.2. ОЦЕНКИ. ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ 551
<25) |
I |
г- ‘ |
о>!cos Xrcos vr == |
ДО* (Л,| v) = -г— |
2 |
||
|
|
(Г—1) |
|
|
= - у |
- |
vI °) + **(*+ vI ОД. |
Таким образом, задание оценки для f (0) приводит к соответствую щей оценке функции / (v) для каждого v. Отметим, что / (v) = / (— v),
w |
(Х| v) |
= до (X| — v) и до* (X | v) =» до* (X J —v). Поскольку I (X), |
||||
} |
(X), до (X Jv) и до* (A, | v) для всех v являются четными периоди |
|||||
ческими функциями с периодом 2 л, то |
|
|
||||
|
|
а |
|
я |
|
|
<26) |
j o;(X|v)/(X)dX = |
J до(Х— v|0)/(X)dX, |
|
|
||
|
|
—Я |
|
— Я |
|
|
|
|
я |
|
я |
|
|
<27) |
j ®*(X|v)/(X)dX = |
J до*(Х — v|0)/(X)dX. |
|
|||
|
|
—Я |
|
—я |
|
|
|
Мы обычно будем требовать, чтобы для каждого v |
выполнялись |
||||
|
|
Я |
Я |
|
|
|
условия |
J o>(X|v)dX=l |
и j |
до* (X | v) d \ = 1 . Отсюда, |
в частио- |
||
|
|
—я |
—я |
|
|
|
сти, следует что до0 = Доо = 1 .. |
|
поскольку |
||||
в |
Функции до (X | v) и до* (А, | v) называются окн ам и , |
|||||
некотором смысле они |
определяют части / (А.) и I |
(X), которые |
||||
-«просматриваются» математическим ожиданием оценки и самой оценкой соответственно. Для весовой функции типично наличие одного большого пика с центром в точке v, окруженного более мелкими лепестками.
9.2.3. |
Примеры оценок спектральной плотности |
|
Как уже отмечалось, в качестве оценок спектральной плотности |
||
можно |
брать |
линейные комбинации выборочных ковариаций |
•С0, С1( .... С Т- \ . |
Это приводит к спектральным окнам, являющимся |
|
лолиномами степени не выше Т — 1. Ниже будут рассмотрены раз
личные варианты |
подобных оценок. Во многие ядра |
будут вхо |
дить функции |
k r (X) = sin* - j - X T /^2яT sin* xj и |
Агг- i (X) = |
= sin-i-X(2 r — 1)/[2 я sin-^-Xj.Mbi рекомендуем читателю в каж
дом из рассматриваемых ниже случаев строить графики последо
вательностей {до,}, {до*} и функций до (X | 0 ), до* (X | 0 ).
А. В ы борочная сп ект ральн ая плот ност ь. Выборочная спектраль
ная плотность имеет указанный выше вид с до, = 1 — | г \!Т для