книги / Статистический анализ временных рядов.

6.9. СОВМЕСТНЫЕ И УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 383

к (Я — 1)-мерному объему (6). Эта геометрическая задача подобна той, которая решалась при отыскании Рг {r\ > R\}. Множество

возможных значений (г\, ..., г*) точно найти трудно. Оно включает

с неотрицательными весами. Таким образом, указанное множество во всяком случае должно быть выпуклым телом, содержащим пере­ численные точки и (0, ..., 0).

Распределение (8) было дано Кенуем (1949) и Ватсоном (1956).

6.9.2. Условные распределения

Как было указано в § 6.3, для проверки гипотезы yt = 0, когда

но использованию распределения коэффициента rt при заданных зна­ чениях г1( ..., гг_]. Отсюда вытекает, что для проверки гипотезы У{ — 0 следует использовать условное распределение г, при задан­ ных значениях rlt ..., п -\ и у; = 0. Если используются остатки от среднего, то соответственно следует брать условное распределение г* при заданных г*....... г*_г

Если Т нечетное и все корни (отличные от 1) двойные, то г\, ..., г*

можно • представить в виде (7). Соответствующая условная вероят­ ность

(10)Рг {г/ > Я/ | г? = Ri..........rU = R U )

представляет собой отношение (Я — г)-мерного объема пересечения (6) с

н

(И)2 Vihxh> R*i,

к (Я — О-Шфному объему пересечения (6) и (12). И опять Это нагляд­ ная, но сложная геометрическая задача.

Искомые распределения можно аппроксимировать. Пусть г'

представляет собой i-й частный циклический коэффициент корре­ ляции, т. е. частный коэффициент корреляции между yt и yt+i при

Моменты могут быть найдены из соотношения (9) путем разложе­

Другой подход к получению распределений сериальных коэф­ фициентов корреляции связан с использованием канонической формы. Пусть

ные величины с нулевыми средними и дисперсиями 1/(у0 + уАх). •••

•••, 1/(То + Yi^-r-i) соответственно. Тогда

где p = уг!у0в случае г* = г\. Здесь можно воспользоваться распре­ делениями § 6.7 с заменой Xt — R на (А* — /?*)/(1 + рА(). Например,

«.11. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 389

что последнее уравнение имеет один нулевой корень при Рг = 0 , один корень между — 1 и 0 при Рг > 0 и один корень между 0 и 1

Из изложенного вытекает, что в качестве оценки для параметра

Р можно использовать величины —/ у Р 0 или —PJ(P’o + Ро)- Следу­ ет отметить, что кубическое уравнение (11) не имеет простого ре­ шения, например в виде отношения полиномов от Р0, Я, и Р'0.

Но численными методами его решение можно получить сколь угодно

скольку взаимно обратные величины Р (при соответствующим об­ разом скорректированных а®) определяют один и тот же процесс, можно ограничиться отысканием корня, лежащего между — 1 и 1.

(Корень, равный 1, не дает абсолютного максимума L.) Можно пока-

л

зать, что асимптотически корнем второго уравнения является р =

л

= —г (ввиду того что тт-*■0 иРг -»-0по вероятности). (См. упр. 85.) Можно также показать, что критерий отношения правдоподобия для проверки гипотезы Р = 0 основывается на статистике

1 - ( - р ) г

Указанная гипотеза отвергается, если (2 1 ) меньше надлежащим образом выбранной постоянной.

Отметим, что каждый корень уравнения (20) как функция от г не является рациональной функцией. Метод, основанный на макси-

А

муме правдоподобия (использующий Р), можно аппроксимировать приближением, описанным в предыдущих параграфах (использую­ щим г). (Эти задачи исследованы Диксоном (1944).)

Уравнение (12) можно переписать в виде (I + РВ') у = и, эквивалентном представлению

дывается из двух членов, один из которых зависит от интервала

6.12.ОБСУЖДЕНИЕ

На основе сериальных коэффициентов корреляции первого по­ рядка можно построить процедуры проверки нулевой гипотезы о независимости уъ ут против альтернативы, состоящей в том, что эти величины коррелированы во времени. В предположении нор­ мальности, проверка такой гипотезы может производиться с заранее выбранным уровнем значимости. Для проверки гипотез о зависимос­ ти более высокого порядка могут быть использованы частные се­ риальные корреляции.

В гл. 10 мы обсудим критерии для проверки независимости и критерии для проверки гипотез о порядке зависимости в случае» когда %yt = / (t) является нетривиальным трендом.