книги / Статистический анализ временных рядов

С ледствие 6.5.3. Характеристические корни матрицы А/, по­ лучаемой из матрицы Ai, указанной в (62), по формулам (16) и (17), равны cos njs/(T + 1), s = 1, ..., Т. Соответствующие им харак­ теристические векторы имеют вид (69).

Применение преобразования с этой ортогональной матрицей при­

Следует отметить, что здесь корни для Т = Т* соответствуют корням из предыдущего случая для' Т = Т* + 1, за исключением того, что опускается корень 1 (соответствующий характеристиче­ скому вектору с равными компонентами). Однако характеристиче­ ские векторы будут уже другими. Ортогональная матрица (70) сим­ метрична.

6.5.5. Модели с двойными корнями

В 6.7 мы будем изучать распределения сериальных корреля­ ций. В случае независимости (ух = ... = ур = 0) мы найдем, что, если характеристические корни числителя квадратичной формы об­ разуют пары, за исключением, быть может, одного простого корня, распределение сериальной корреляции может быть выражено явно в относительно простом виде. Например, таким случаем будет цикли­ ческая модель для четного Т и / = 1. В моделях двух других типов корни для / = 1 не образуют пар и распределение величины гх не выражается в явном виде для произвольных значений Т.

Ватсон и Дурбин (1951) предложили выбирать матрицу Ах таким образом, чтобы корни образовывали пары. Этого можно добиться, взяв матрицу Ах в виде

так что достаточное множество статистик для параметров у0, ..., ур и

(4)Q/ = (у — уе)' А/ (у — уе) = у'А/У — ТХ,у2.

Если же в не является характеристическим вектором матриц А/, / — 0 , 1, ..., р, то минимальное достаточное множество статистик для указанных параметров будет состоять из Q0, ..., Qp и линейно независимого подмножества (не обязательно собственного) статистик е'А0у, ..., е'Ару.

Например, в циклическом случае

г

В третьей из рассматривавшихся моделей вектор е не является ха­

рактеристическим вектором матрицы Ах и поэтому для Q\ нельзя получить выражение (4). В случаях моделей, основывающихся на

использовании матрицы Ai в блочной матрице, положение будет следующим. Для четного Т вектор е (размерности Т) будет харак­ теристическим вектором матрицы Ax, если вектор е (размерности

772) является характеристическим вектором матрицы Аь Для не­ четного Т вектор е (размерности Т) будет характеристическим век­

характеристическим вектором матрицы А,*, соответствующим харак­

ляется характеристическим вектором матрицы А/, соответствующим

у — уг состоят и з линейных комбинаций компонент вектора у, имею­

щего нормальное распределение, то у и у — уг будут иметь совмест­ ное (сингулярное) нормальное распределение. Ковариационная мат-

=Бе — е -уг- е'Бе =

среднее у не коррелировано с компонентами вектора у — уг и по­ этому не зависит от у — уг. в

С л е д с т в и е 6.6.1. Совместное распределение квадратичных форм Qo, ...» Q*P от остатков и распределение среднего у независимы.

Выводы относительно равномерно наиболее мощных критериев в § 6.3 и относительно процедур со многими решениями в § 6.4 могут

6.6. СЛУЧАИ, КОГДА СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫ 329

Она может быть выписана только для тех наборов Qo, ..., QLJ . при

которых &*i (Qo. •••. Qi-1) > 0 и, значит, при которых т* (Qo, ...

..., Q*_i; у,-) > 0 . Мы можем воспользоваться теперь фундаменталь­ ной леммой Неймана — Пирсона.

Т е о р е м а 6.6.2. Наилучший подобный критерий для проверки ну­

роятность события (14), вычисляемая согласно плотности (13), при

роятность события (14), вычисляемая согласно плотности (13), при

C (Qo- • • •. Qi-1)

no множеству (15) был равен e(.

330 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Следствие 6.6.3. Равномерно наиболее мощный несмещенный кри­ терий для проверки нулевой гипотезы = 0 против альтернатив Y, ф 0 с уровнем значимости е, имеет критическую область

Q; > ^ , ( Q;, . . . . Q U .

можно рассматривать как сериальный коэффициент корреляции.

Если уо > 0. a Vi = ... = у, = 0, то совместное распределение величин г\.......г\ не зависит от у0 и Qo. (См. теорему 6 .7.2 .) Опти­ мальные критерии (15) и (21) можно тогда определить, используя

условное распределение г\ при заданных значениях г*, ..., /y*_i. Теоремы § 6.4 относительно оптимальных процедур со мно­ гими решениями могут быть подобным же образом перефразированы

в терминах Qo, ..., Qp, на случай когда %yt = р, а е является ха­ рактеристическим вектором матриц А0, ..., Ар.

6 .6 .2 . Некоторые функции регрессии

При изучении случая ненулевых средних можно рассматривать средние и более общего вида. Предположим, что

т

ветствующей нормальной плотности равен тогда —1/2 , умноженной

\V—1 /

линейными несмещенными оценками, поскольку vSv— характеристи-

рактеристические векторы имеют в качестве t-x компонент величины

векторы образуют последовательности, которые были использованы при рассмотрении периодических трендов в гл. 4. Предположим, что

(32) %yt = = а 0 + 2 (а К ) cos — ^ t + р (vft) sin /)

где vl t ..., v, составляют подмножество множества целых чисел 1, ...

... , (Т — 2)/2, если Т четное, или 1,..., (Т — 1)/2 , если Т нечетное.