е .7 . |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
363 |
|
, ( 1± 4 Э |
'/ 1 + 2 9 — / 1 |
— 28^ |
t |
|
2 ) - т е [ 1 + (: |
|
|
|
|
/ Г + 2 0 + / 1 |
- 2 0 / + |
|
|
- |
Т = 2, |
3. |
для 0, достаточно малых по абсолютной величине. Лаплас (1829) показал, что если и является корнем 1 + ]/ 1 — с уравнения v2 —
— 2у + с = 0, то
(1.04) |
и |
я 4- 3 |
(У |
(п + |
4) (я + 5) |
( / + |
- ' |
21 |
|
+ |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
Г (я + |
26) |
|
|
|
|
|
|
fe! Г (я + |
6 + 1) ( У + - |
) |
Вывод этого разложения не будет здесь приводиться из-за его слож
ности. |
Если положить с = |
40а |
и п = 772, |
получим |
|
|
(105) |
(- 1 + |
/ 1 |
— 482 \ ~ г/2 |
' |
+ х |
^ |
|
Г/2 4 - 3 |
04+ |
|
|
|
|
Г |
- |
|
2! |
|
|
|
|
, (Г/2 + |
4) (Г/2 + |
5), |
ч - |
|
+ |
Г (Г/2 + |
2Щ |
е2к + |
|
|
+ |
|
3! |
|
|
k\ Г (Г/2 + |
k + |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
Поскольку, |
далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 4 - 2 6 — У 1 — 28 |
|
|
+ 2 6 — У 1 — 20 / Г + 2 8 + / Г ^ 2 8 |
|
/ 1 4-20 4- У 1 — 20 |
|
/ 14-20 4- / 1 — 20 " / 1 4 -20 4- / 1 — 20 |
|
|
|
|
= |
|
28 |
|
|
= 0 / 1 4 - / Г ^ 4 р \ ~ ! |
|
|
|
|
|
(1 4 - / 1 |
— 402) |
\ |
|
2 |
/ |
то второй член в квадратных скобках в (103) представляет собой сте
пенной ряд по 0, начинающийся с 0Т как с самой низкой степени. Таким образом, выражение в квадратных скобках представляет собой ряд, состоящий из 1 и степеней 0, не меньших Т. Моменты квадратичной формы Qt до порядка Т — 1 получаются как
(107) а д = |
dn |
1 |
d— ( |
1 + / 1 — 48* |
\ - г / 2 1 |
|
dQn |
у Т т е=о ~dQn l |
2 |
/ |
|е=о’ |
|
|
|
|
/г = 0, 1, . . . . Т — 1 |
(См. упр. 51.) Из (105) и (107) находим, что |
|
|
S Q f - 1 = 0, |
|
|
1 < Л < 7 / 2 , |
|
Г = 2,3, ..., |
( 108) |
|
|
|
|
|
|
ГГ (Г/2 4- 2k) (26)!
а г |
2 |
Г (Г/2 4 -6 4 -1)6! |
0 < k < ( Г - 1)/2, Г = 2, 3, ... |
|
|
364 |
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
Гл. 6. |
Из этого результата, соотношения (87), замечания, сделанного вслед за теоремой 6.7.9, и формулы удвоения для гамма-функции
|
(109) |
|
Г (2k + |
1) = |
(‘ + т ) |
г (* + |
1) |
|
|
|
|
|
|
22* г |
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
У п |
|
|
|
|
8/-1 |
= 0, |
1 < |
&< 772, |
Г = |
2, |
3, . |
|
(ПО) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gr 2fe |
Г (Г /2 + |
1) Г (fe + |
1/2) |
0 < ^ < ( 7 ’-1 )/2 , |
7 = 2, 3, |
|
|
Г (Г/2 + |
k + 1) Г (1/2) * |
Моменты циклического сериального коэффициента корреляции fi, использующего остатки от среднего, равны отношениям соответ ствующих моментов квадратичных форм Q* и QoМоменты квадра
тичной формы Qi можно найти, используя производящую функцию моментов, приведенную в теореме 6.7.10. При этом моменты до по рядка Г — 1 можно получить, используя следующую аппроксима цию последней:
( Ш ) |
( 1 ± |
|
|
) ~ Г/У |
П |
Т 2 9 , |
|
Г = |
2, 3, . . . . |
|
Дело в том, что первые 7 — 1 |
производных функций (111) и (101) |
совпадают при |
0 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л емма 6.7.13. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(112) |
Ф (Т) = |
(-L+ |
n - |
4el |
) - r/2, |
г |
= |
1, |
0, 1.......... |
и |
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(113) |
ф*(7) = |
( l ± ^ |
- 492j~ r/V |
r ^ 2 9 , |
7 |
= . . . , |
- 1 , 0 , |
1, .. .. |
Тогда для действительных 0, |
|
— 1/2 < |
0 < 1/2, |
|
|
(114) |
Ф*(7) = |
ф ( 7 - 1 ) - 0 Ф( 7 + 1 ) , |
|
Т = |
. . . , _ |
1, 0, |
1 , ----- |
Д оказательство. |
|
Правая |
часть |
(114) |
равна |
|
|
(115) |
Ф( 7 - 1 ) - 0 Ф( 7 + 1 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + / 1 |
|
|
|-(Г+1)/2 ^ |
|
+ / 1 — 40а |
|
|
|
(• |
|
|
-(Г + 1)/2 / 1 ^ 2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
1 + 1 Л - 4 0 2 |
|
'i |
т/\ |
п |
------ од |
/ 1 - 2 0 |
+ / 1 + 2 0 _ |
|
|
I |
|
2 |
|
|
j |
|
V l |
|
^ T T a T v f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2(1 + V I - |
|
|
|
|
|
/ 1 |
— 20 + |
/ 1 |
+ |
20 |
|
|
|
|
|
|
ф*(П |
(1 + |
|
/ 1 |
- |
402)V i |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
У 2 |
|
|
|
|
Но это и есть ф* (7), если 0действительное и — 1/2 < 0 < 1/2. |
6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 365
Из леммы 6.7.13 и того факта, что <р (Т — 1) и ф (Т + 1) разла гаются в ряды по четным степеням 0, вытекают следующие соотно
|
шения. Во-первых, |
|
|
|
|
(116) |
Л [Q* (Т)]2*-1 |
d2k~'(f* (Г) |
|
(Г + 1 ) |
|
dQ2k~l |
0=0 |
<ге2*-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < * « 7 7 2 , Г ~ 2 , 3, |
|
что |
равно —(2k — 1) |
$Q f~2 (Т + |
1). И, во-вторых, |
|
о т , |
» й ( п г - - й 5 Р - | м - ^ ^ г = а - 1 „■ |
|
|
|
0 < й < ( Г - 1 ) / 2 , Т == 2,3........... |
|
в свою очередь равное %0?к (Т — 1) для |
0 < k < (Т — 2) / 2 , 7 ’ = |
|
= 3, |
4....... Здесь Qi (Т) и Qx (Т) обозначают соответственно квад |
ратичные формы Q* и Q1( построенные по Т наблюдениям. Ограни чения относительно значений k и Т введены здесь для того, чтобы сохранить правые части в таком виде, в каком они определялись ра нее. Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(118) |
Щ 2к~1 |
Г + |
1 |
Г (Г/2 — 3/2 + |
26) (2k — 1)! |
|
2 |
|
‘ Г (Г/2 -f 1/2+ |
6) (6— 1)! |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
к и д |
Т ~ 2, 3, . . . , |
(119) |
V0 ,2k |
т - 1 |
|
Г (Г/2 - 1 |
/2 + |
26) (26)! |
|
41 ~ |
2 |
' |
Г (Г/2 + |
1/2 + |
6) 6! |
|
|
|
|
|
|
0 |
< &< |
(Г — 1)/2, |
Г = |
2, 3, . . . . |
• _ . » - ! _____ 7 + 1 |
|
Г (Г/2 + |
1/2)Г (6 + 1 /2 ) |
|
|
“ |
Г — |
1 |
' Г (Г/2 + 1/2 + |
6) Г (1/2) ’ |
|
|
|
|
|
|
1 |
< k ^ Г/2, Т = 2, |
3, . . . , |
- |
Г (Г /2+ |
1 /2 ) Г (6 + 1 /2 ) |
|
|
|
~ |
Г (Г/2 + |
|
1/2 + 6) Г (1/2) ’ |
|
|
|
|
|
|
0 < Л < ( Т - 1 ) / 2 , |
Г = 2 , 3 , . . . . |
Заметим, что Иг!2*-1 = — ~ Лг*2*, 1 < k < (Г — 1)/2, Т = 2, 3,__
Кроме того, Sri2fe совпадает с Jlrf*, если гх вычислять по Т — 1 на блюдениям.
Найти интересующие нас моменты можно и другим путем. Для этого заметим, что Q1 = Q] + г г, причем Qi и гт независимы,
366 |
|
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
|
|
Гл. 6. |
Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 122) |
В |
: 8 (Q! |
+ |
Z r f = |
2 ( |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/= о \ |
I |
|
|
|
|
|
|
h h |
г (У+1/2) |
|
• h - l |
|
|
|
|
|
-sc |
|
Г (1/2) |
2'iiQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь квадратичную форму Q общего вида, имею |
щую характеристические |
корни |
|
|
%м- |
Тогда |
при у0 = 1 и |
Vi = 0 |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
(123) |
|
|
t)~l/2 = |
|
, |
м |
|
|
\ |
= |
П (1 — m |
|
exp l— -i- 2 |
log (1 — 20А,)J в |
|
= exp ( 4 - 2 |
|
[ ж , + |
(20^)a |
, (2вЬ<)3 |
, |
|
|
|
О |
|
I |
о |
" Г |
• • |
|
- « р {4- |
|
1 » , + - т 1 » . * + ! « + . . . | . |
При этом k-й семиинвариант равен k\, умноженному на величину
|
oft-l |
м |
л* |
(124) |
2 |
v |
|
2 |
fa» |
<=1
и (123) можно переписать в виде
(125) |
g e 0Q |
_ _ |
е х р |
(Vj0 + |
V202 + |
Г з в 3 + |
. . . ) — |
где |
|
= |
1 + |
% е |
+ |
ф292 + |
ф303 + |
. , . , |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
iH |
|
V? |
|
|
|
|
|
|
Фг — |
va + |
|
|
|
|
|
|
~2 |
> |
|
|
|
|
(126) |
Фз = |
|
|
|
|
V? |
|
|
|
v 3 + |
V j V 2 + |
- у , |
|
|
|
|
|
|
Vo |
|
|
|
V [ V 2 |
V* |
|
Ф4 — |
v4 + |
2 |
|
V ! V s |
2 |
"24 ■ |
Другие фАможно вычислить, |
воспользовавшись предыдущим тож |
деством. Из (125) получаем теперь |
|
|
(127) |
|
|
|
%Qh= |
h\%. |
|
|
Если |
\ |
|
|
(как |
это |
имеет место для квадратичной |
формы Qi в случае использования последовательных разностей),
6.7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
367 |
го V| — V3 |
— |
— 0 |
и |
|
— **1 |
— 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
Т|>2 = |
V* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^4 = |
V4 + |
— |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(128) |
|
|
% = |
%s + |
V2V4 + |
-гг- , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v;v, |
|
|
|
|
|
|
|
% = |
v8 + |
~ t |
+ |
V2Ve + |
2V4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
24 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
' a '« |
1 |
|
|
Если M |
= |
7 — 1 |
и \ |
= cos nt/T, то для четных k |
|
|
(129) |
|
|
0<г—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-tKt/T^k |
|
|
|
g ( c ° s f ) ‘ |
= T |
r |
| |
> 4 |
e |
|
|
|
|
r - |
|
|
|
- 12/ = 0 |
■r - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 / L |
2<=o ei2 n t(j-k /2 )lT __ |
I |
|
|
|
|
Сумма, |
стоящая в |
квадратных |
скобках, |
равна |
7, |
если |
/ — k/2 |
делится на Г без остатка (включая значение / — k/2 |
= 0), и равна |
0 в противном случае. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
<«*> |
|
|
|
* . - |
1 |
2 |
Г |
|
- |
1 |
|
|
|
|
где знак 2 ' указывает, что суммирование ведется по тем значе
ниям /, / = 0, 1, ..., k, для |
которых / — k/2 делится надело на Г. |
То есть это будут |
значения |
вида |
/ = k/2 ± hT, |
h —0, 1, 2, ... |
(0 < hT 4 . fe/2). Поскольку |
|
|
|
|
(131) |
k |
|
|
|
|
k/2 + hT |
k/2 — h T ’ |
|
|
|
|
|
TO V2t-1 = 0 и |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
[t/T] |
|
|
(132) |
|
2/ |
|
22 |
4П 7, |
|
-Л7 |
— |
v* = |
|
|
|
Число слагаемых под знаком суммы равно 0, если / <; Т, единице, если Т < / < 27, двум, если 27 / < 37, и т. д. В частности,
368 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
так что при этом |
|
Vo = |
Т — 2 |
|
2 |
’ |
|
|
|
|
ЗГ — 8 |
|
= ------4----- * |
|
(134) |
ЪТ — 16 |
|
v6 = |
|
----- з----- . |
|
v8 = |
35Г — 128 |
|
8 |
|
. |
Г — 2 |
|
^ 2 = |
“ у |
- , . |
|
^4 = |
72 + |
2Г — 12 |
|
8 |
|
(135) |
Т3 + |
12712 + |
8Т — 168 |
|
|
|
48 |
|
% = |
Г4 + |
28Т3 + 212Г2 — 64Г — 3696 |
----------------- |
щ ----------------------- |
Гл. 6.
Г = 2, 3, . . . .
Т= 3, 4..........
Т~ 4, 5, .. •,
Т = 5, 6, . . . ,
Т— 2, 3,
Т= 3, 4, . . . .
71 = 4, 5, . .«,
Т = 5, б,
Как было отмечено выше, % = 0 для нечетных значений k.
Моменты сериального коэффициента корреляции г\ для модели с последовательными разностями равны, таким образом,
|
г ? |
Т — 2 |
Т — 2 |
|
Т = 2 , |
|
3......... |
|
|
(Г — 1) (Г -f- 1) |
Г2 — 1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(7-2 + 2 7 — 12) |
|
Т = 3, |
|
4, |
|
|
|
= |
( Г _ 1 ) ( Т + 1)(Г + 3)(Т + |
5) . |
|
|
|
|
.*6 |
15 (Г3 + |
12Г2 + 8 Г — 168) |
|
Т = |
4, |
5, ... |
|
( Г - 1 ) ( Г + 1 ) ( Г |
+ 3)(Г + |
5)(Г + |
7)(Г + 9) |
|
= |
|
|
|
|
|
Ю,8 |
105 (Г4 + |
28Т3 + 212Т2 — 64Т — 3696) |
|
|
|
|
е г 1 ~ |
( Г - 1 ) ( 7 + 1 ) (Г + 3 ) |
(Г + |
5) (Г + |
7) (Г + 9) ( Г + |
11) (Г + 1 3 ) ’ |
|
(136) |
|
|
|
|
|
Г = |
5, |
6, . . . . |
Разложение в ряд производящей функции моментов в (123) было дано Нейманом (1941). Оно может быть использовано и для других сериальных коэффициентов корреляции. Например, в случае цикли ческого сериального коэффициента корреляции первого порядка, использующего остатки от выборочного среднего, коэффициенты в показателе экспоненты производящей функции моментов будут такими:
(137) |
= |
(cos |
*)*“ i 2 (e W + е_,2я,/г)‘ |
0>7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ |
КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
369 |
|
|
Г—1 k |
|
|
|
_ 1_ |
g i 2 n t ( 2 l - k ) / T |
|
|
2k |
|
|
|
|
|
Сумма внутри квадратных скобок |
равна здесь Т, если |
2/ — k, |
/ = |
0, 1,..., k, делится на Т без остатка (включая значение 2/ — к — |
= 0), и 0 в противном случае. Поэтому |
|
|
|
|
где знак 2 |
* указывает, что суммирование ведется по тем из зна |
чений /, / |
= 0 , 1 , , к, для которых (2/ — k) делится нацело на Т. |
Эти значения получаются следующим образом. |
Предположим, что |
k четное, k — 21. Тогда сумма берется только |
по тем значениям /, |
для которых 2 (/ — /) делится нацело на Т. Если, далее, Т четное, скажем Т — 2Н, то следует брать при этом только те /,
для которых (/ — /) делится нацело на Н. |
Но |
последние имеют вид |
/ = / ± hH = k/2 ± hT/2, h = 0, 1, 2, ... |
(0 |
< hT < k). Если же |
Т нечетное, то тогда надо суммировать по тем /, для которых (/ — /)
целится |
нацело |
на |
Т. Такие значения / имеют вид |
/ = I ± hT, |
h —0, 1, 2,... (0 < |
/гГ < |
/ = k/2). Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
|
(139) |
\ 21= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = 3,5, |
|
Пусть теперь k нечетное, скажем k = |
21 — 1. Тогда суммирование |
ведется по тем значениям /, для которых 2} — 21 + 1 |
= |
2 (/ — [) |
+ |
+ 1 делится без остатка |
на Т. Если |
при этом |
Т четное, то таких |
значений |
/ не существует. Если же Т нечетное, то 2 (/ — /) + 1 |
= |
= ±hT и отсюда h необходимо должно быть |
нечетным, скажем |
h = |
2g — 1 (g = |
1 , 2,...). Таким образом, в этом случае 2 (/ — /)-(- |
+ 1 = ± ( 2 g — 1) Т и |
|
|
|
|
|
|
|
(140) |
|
|
|
j = i ± ( g T - |
Т/2)---- L . |
|
|
|
|
Если |
Т >■ 21 — 1 , |
то |
подходящих |
значений |
g |
не |
существу |
ет, |
а |
зцачит, |
не |
существует |
и |
подходящих |
значений |
/. |
370 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.
Итак,
22' - 1 |
|
Г — 9 |
4 |
! • « , |
2 (2/ — 1) |
’ |
1 |
|
|
|
|
|
(141) |
V2J-1 = : |
|
|
|
21— |
1 |
|
|
I |
(«- |
— 2« - 1 |
|
|
2 (2 /— 1) * |
|
|
|
|
e=i |
|
|
7=3, 5....... |
|
В частности, |
|
|
|
|
|
О2/—! |
|
|
|
|
|
(142) |
v2Z_, = |
, 1 < / < ( 7 ’ +1)/2, |
Т = 2 , 3 .......... |
|
|
|
|
2(2/ — 1) |
|
|
|
|
|
(143) |
т |
j 2 l \ |
221 |
1 |
< / < 7 \ |
Г-З, 5, ... , |
|
2 (2/) |
\ / ) |
2 (2/) ’ |
|
|
|
|
|
1 |
< / < 7 7 2 , |
|
так что
Vl = |
- 1 |
, |
|
Va = |
(Т — 2) |
|
|
2 |
|
(144) |
|
|
|
4 |
|
V3 = |
|
|
|
3 ’ |
|
|
|
|
v4 = |
37 — 8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
Фг = |
- 1 |
, |
|
Фг = |
7 - 1 |
|
|
2 |
|
(145) |
|
|
|
Г + |
1 |
Фз — |
|
|
2 |
’ |
|
|
(Т — 1) (Т + 5)
ф4 =
8
Г = |
2, |
3, |
. . . , |
|
II |
00 |
|
|
Г |
= |
4, |
5, |
. . . , |
Г |
= |
5, |
6, |
. . . , |
Г = |
2, |
3, |
. . . , |
Т |
= |
3, |
4, . . . . |
Г = |
4, |
5, . . . , |
|
II СЛ |
О* |
|
Первые четыре момента циклического коэффициента г\ равны, та ким образом,
Л/т — — |
Т = 2 , 3, . . . , |
Т — 1 |
’ |
% г ? . |
Г + 1 |
’ |
|
т = з, 4, .... |
(146) |
|
|
|
|
|
Т = 4, 5, ..., |
rf |
(Г — 1) (Г + |
3) * |
ЛгГ4 = |
|
з |
|
Г = 5, 6...... |
(Г + |
1) (Г + 3) |
’ |
Они, разумеется, согласуются со (120) и (121)
0.7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
371 |
С разложением Неймана связано использование для получения первых нескольких моментов не всей производящей функции, а лишь некоторой части ее аналитического выражения. Рассмотрим, например, случай сериального коэффициента корреляции г*, ис
пользующего последовательные разности. |
Мы аппроксимируем |
log Ле01? суммой, в которой величины vk для |
четных k < 2Т заме |
ним величинами v*, формально вычисляемыми по формуле (133) для
всех I, а не только для I < |
Т, т. е. суммой |
|
|
(147) |
|
|
е2' |
(2/)! |
(492)/ |
|
|
4/ |
(/!)• |
I 4/ ’ |
|
|
|
- |
Г У |
в2/ |
Г ( 2 / + 1 ) + i - l o g ( l - 4 0 2). |
|
“ |
p i |
4/ |
Л Г ( / + 1) |
|
|
Первую сумму в правой части последнего соотношения с помощью формулы удвоения для гамма-функции можно представить в виде
|
(148) |
|
|
т У |
( 4 6 У Г ( / + у 2) |
|
|
|
Й |
4/ • /I г е/2) * |
|
Из соотношения |
|
|
|
|
(149) |
|
|
(ft + V,) |
|
|
. „ |
j |
= (1 |
|
|
|
|
|
находим, что |
|
|
|
(150) |
“ |
/ ~ ' Г (ft + |
у 2) |
1 — y i — X |
|
2 |
|
= |
- г - 1(1 — х Г 7г— 1] == |
|
|
А=1 |
ft! Г (V2) |
x Y T ^ x |
Это приводит к тождеству
(151)V *hr (ft + V*) 2 , o g ( i ± 4 = i ) .
£ft - ft! Г (Vs)
Всправедливости последнего можно убедиться, дифференцируя обе части (151) и замечая, что они совпадают при х = 0. Суммируя по лученные результаты, получаем
(152) exp 02Ц -) = ехр{-£- [— 2 l o g — — )] +
+ -J- log (1-40*;» } -
(1 - 403)‘А
1 - f у 1 _ 463 №
)
Эта аппроксимация для <£i°0<5, по существу, сводится к опусканию члена ([1 — V 1— 402]/2)г в выражении (102).
372 |
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
Гл. 6. |
6.8.АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВКОРРЕЛЯЦИИ
6.8.1.Аппроксимация распределений циклических сериальных коэффициентов корреляции
Хотя распределение циклического сериального коэффициента корреляции, использующего остатки от выборочного среднего, яв ляется известным и довольно простым в случае независимых нор мальных наблюдений и хотя оно частично затабулировано (табл. 6.1), тем не менее удобно использовать для определения процентных то чек и оценки вариабельности г\ аппроксимирующие распределения.
Мы рассмотрим также аппроксимации для распределения цикличе ского сериального коэффициента корреляции гъ вычисляемого по наблюдениям, измеренным относительно их известного среднего значения. Эти аппроксимации достаточно просты из-за симметрич ности аппроксимирующих распределений.
Большинство аппроксимаций основано на подборе соответствую щего бета-распределения с плотностью
|
(1 ) |
f /у\ — |
г + я) |
(х — а)р 1 (Ь— X)q 1 |
|
1 { ! |
Г (р) Г (q) |
ф - а ^ + ч - 1 |
|
|
для а х < Ь, и / (я) = 0 в противном случае. Момент порядка А этой плотности есть
Г (р + д) |
Г |
(х — а)р |
1 ф — х)4 |
‘У1 |
г (Р) Г (я) |
.) |
ф — а)р+ч~1 |
|
|
|
а |
|
|
|
Т^ ) г | г р |
' 0 - |
2)? 'la + |
(b - a )z ]hdz = |
Г (р + |
<?) |
|
|
|
dz — |
г (Р) г |
(q) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
T (p + |
q) |
|
|
ft-/ |
Г (р + /) |
Г (Р) |
|
|
г |
(p+q + i) ■ |
(3) g X = a + ( A - a ) 7 ^ 7 ,
(4) |
&X* = a2 + |
2a(b — a)—^ - + |
(b — a)2 |
-l , /,,(f + |
1) , n |
w |
T |
v |
7 /> + <7 ^ |
v |
' |
(p + q)(p + |
q + 1) |
