книги / Статистический анализ временных рядов

сходится по вероятности к нулю, так как сходится к нулю при i ф /

X(rft — рЛ).и

5.8.ПРОЦЕСС АВТОРЕГРЕССИИ С ОСТАТКАМИ В ВИДЕ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

5.8.1.Модель

Пусть {yt) удовлетворяет соотношению

В котором ро = сс0 = 1, а {г*} — последовательность независимых

случайных величин с %vt = 0 и 8 о< = а2. Чтобы исключить три­ виальные случаи, будем полагать Рр Ф 0 и aq Ф 0. Тогда имеем

— 0. Соотношение ( 1 ) можно записать в виде

Соотношение между {yt} и {vt) не изменится, если обе части (5) разделить на общие множители. Поэтому без ограничения общности будем считать, что (3) и (4) не имеют общих корней.

Для того чтобы yt можно было выразить в виде линейной ком­ бинации vt, vt-1 ... (когда а2 >■ 0 ), необходимо, чтобы все корни уравнения (3) лежали в единичном круге. При этом

Коэффициенты {6 S} здесь те же, что и в разд. 5.2.1. Коэффициенты {■у,} получаются следующим образом:

лученных выражений математические ожидания. В результате при­ дем к системе соотношений

р q со q со

чить левую часть выражения (1) через щ, то математическое ожида­ ние произведения щщ+н можно записать в виде

С другой стороны, используя правую часть (1), то же математиче­ ское ожидание можно записать в виде

Использование (10) и (11) приводит к следующей записи произво­ дящей функции ковариаций случайной последовательности {«<}:

В левой части последнего соотношения присутствуют лишь парамет­

определяется первой. Левая часть (13), умноженная на г4, будет полиномом степени 2q. Корни ее будут образовывать пары, как было указано в разд. 5.7.1. Одно из образующихся при этом двух мно­ жеств корней определяет М (г) и через него значения а х....... aq. [См. Дуб (1944).]

5.8.2. Оценивание параметров

Если случайные величины vt распределены нормально, то нор­ мально распределенными будут и yt. Как и в случае обычного сколь­ зящего среднего, изучавшегося в § 5.7, матрица, обратная ковариа­ ционной матрице конечного множества случайных величин ух...... г/г, является отнюдь не простой, минимальное достаточное множество статистик имеет мощность Т, а уравнения максимального правдо­ подобия сложны и не поддаются непосредственному решению. Тем не менее (как указывается в теореме 8.4.6) любое конечное множество

выборочных корреляций имеет асимптотически нормальное рас­ пределение. А. Уолкер (1962) обобщил на рассматриваемый случай метод оценивания, используемый для модели обычного скользяще­ го среднего, т. е. максимизацию функции, аппроксимирующей функ­ цию правдоподобия первых п выборочных сериальных корреляций.

Если случайные величины vt независимы и одинаково распреде­ лены с = 0 и Лу? = о2, то совместное предельное распределение

статистик V Т (гх — рх), ..., У Т (гп — р„) будет многомерным нор­ мальным с нулевыми средними и ковариациями

со

(U )w gh = 2 (P'+ePr+h + P r-&Pr+h - 2phprpr+z - 2pgprp,+„-f- 2pgpftp2).

По этому поводу см. теорему 8.4.6. [Если все корни (3) лежат в еди­ ничном круге, то условия теоремы 8.4.6 будут выполнены. См. (41) в § 5.2, а также (6) и (7).] Для усовершенствования процедуры оце­ нивания, использующей данное предельное распределение, удобно использовать переменные

Ф = (фц) и ей обратную на блоки, состоящие из q, р и п — (q + р)

строк и столбцов,

§у$* ПРОЦЕСС АВТОРЕГРЕССИИ С ОСТАТКАМИ 267

Тогда логарифм функции, аппроксимирующей функцию правдопо­ добия от х, будет равен

В этих дифференциальных уравнениях члены, включающие частные

производные щ (или <p‘;) по Ps и pft, имеют меньший порядок по Т, чем другие. Если пренебречь этими членами и умножить на соот­ ветствующие константы, то в результате получим уравнения

(19)Ф11 (х0> — р) + Ф12х<2>+ Ф13х<3>= 0,

таких значений / и s производные dxj/dps можно заменить в (2 0 ) нулями. В результате получаем, что (20) асимптотически эквива-

268 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

ние этого соотношения к (27) показывает, что (27) выполняется тог­

Х<3)

При этом

Р

Фзз'х<3>.

(См., например, упр. 8 гл. 2.) Правая часть (29) представляет рег­

270 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

и имеет поэтому в пределе нормальное распределение с нулевыми

вает, что предельное распределение вектора у Т (Р — Р), где Р =

лл

которое является нормальным, с нулевым средним и ковариацион­ ной матрицей

также сходится при Т -> оо к нормальному. Ковариация этих двух векторов в предельном распределении равйа

(38) (Ф12* -Ф 13ФюФ32) R"-1.

На рассматриваемый случай можно также распространить про­ цедуру, предложенную Дурбином для модели скользящего сред­ него, несколько видоизменив ее (Дурбин (1960b)). Предположим, что мы исходим из некоторого начального приближения (начальных оценок) для параметров рь ..., Рр.рОбозначим соответствующие

оценки Pi, .... рр. Положим щ ’ — 2> psi/*_s. Используем теперь

s=0

метод Дурбина, описанный в разд. 5.7.2, для оценки коэффициентов в модели скользящего среднего

будет удовлетворять уравнению (1) для t = ..., —1, 0, 1, ... .

Если последовательность {*,} задать для t = ..., —1, 0, а после­ довательность (г/*) задать для ^ = 1,2, .... то последовательность

Параметры Рг можно оценить теперь исходя из последовательности {J40)}, удовлетворяющей (41). В результате получим новое прибли­

дать, что при больших значениях Т (и гг) итерационный процесс будет сходиться.

5.9. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

Вольд (1965) образовывал искусственные временные ряды с помощью разностных уравнений второго порядка, в которых щ считались независимыми случайными нормальными отклонениями. Три таких ряда затабулированы в приложении А.2, там же при­ водятся их графики. При этом рх = —у, р2 = у2, корни характери­ стического уравнения равны у ехр {±г'2я/6} и у ==0.25, 0.7 и 0.9 соответственно. В каждом из этих случаев дисперсия величины щ выбиралась так, чтобы дисперсия yt равнялась единице. На приве­ денных графиках можно проследить тенденцию к наличию колеба­ ний с периодом, близким к 6. Этот период выражен заметнее для больших значений у.

Значения первых трех выборочных корреляций (rA = Ch/C0) указанных рядов для Т = 200 и соответствующих им теоретиче­ ских корреляций [рА = о (h)/a (0)] приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

ВЫБОРОЧНЫЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ ДЛЯ ТРЕХ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ (Г = 200)

Соответствующие результаты приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ

Критерий для проверки нулевой гипотезы р3 = 0 можно строить,

используя статистику У Т Ь3, значения которой в указанных трех случаях равны соответственно —0.1458, 1.208 и —0.7706. При ну­

левой гипотезе значения статистики У Т Ь3 должны быть распреде­ лены приблизительно нормально с нулевым средним и единичной дисперсией. Если ограничиться разумными уровнями значимости, например 1 %, 5% или 10%, то ни в одном из трех случаев нулевая гипотеза не будет отвергнута соответствующими двусторонними критериями.

Юл (1927) предложил использовать процесс авторегрессии в ка­ честве более предпочтительной статистической модели по сравне­ нию с моделью, в которой случайная ошибка накладывается на три­ гонометрический тренд. (Модель последнего типа рассматривалась нами в гл. 4.) Он применил его к числам Вольфа солнечной актив­ ности, которые представляют собой данные ежегодных измерений солнечной активности за период с 1749 по 1924 г. [Эти данные более широко и более подробно представлены Вальдмейером (1961).] Числа, использованные Юлом, затабулированы в табл. А.3.1 при­ ложения А.З. Подобные данные анализировались Крэддоком (1967). Соответствующие результаты приведены ниже. В первом прибли­ жении эти ряды выглядят похожими на искусственные ряды Вольда.