книги / Статистический анализ временных рядов

Когда мы перейдем к рассмотрению конкретных моделей, то уви­ дим, что обычно критическая область (13) имеет вид

о независимости против альтернатив о положительной зависимости имеет критическую область гг > Сг.

6.3.2. Равномерно наиболее мощные несмещенные критерии

При проверке гипотезы о том, что порядок зависимости меньше i (т. е. y-L = 0 ), нас может интересовать альтернатива, состоящая в том, что порядок зависимости равен /(т. е. у-ьФ 0 ). Эта альтер­ натива двусторонняя, а для двусторонних альтернатив не существу­ ет равномерно наиболее мощного критерия. Например, наилучший

подобный критерий для проверки гипотезы у,- = у^ против альтер­

нативы у( = у|-2) < ур с уровнем значимости е, имеет критическую область (11). В то же время наилучший подобный критерий для про­

верки той же гипотезы, но при альтернативе у£. = у*2) > у/1* будет иметь критическую область

требуем, чтобы критерий был несмещенным, т. е. чтобы его функция

мощности достигала минимума при yt = у (/ ). В классе несмещен­ ных критериев с данным уровнем значимости найдем равномерно наиболее мощный критерий. Такой критерий действительно будет существовать, поскольку семейство плотностей экспоненциально, и область принятия гипотезы будет интервалом. Опишем вывод рав­ номерно наиболее мощного несмещенного критерия только в общих чертах. Полное и строгое доказательство приведено у Лемана (1959, гл. 4, разд. 4).

Таким образом, (2 0 ) является условием локальной несмещенности критерия.

Мы хотим теперь найти такую критическую область R, чтобы она удовлетворяла соотношениям (16) и (2 0 ) и, кроме того, макси­ мизировала функцию р (у;) для некоторого частного значения у19

например для yt =yi-2) > у\1К В силу обобщенной фундаменталь­ ной леммы Неймана — Пирсона (упр. 12) такая область определя­ ется неравенством

ная область удовлетворяет (16) и (2 0 ). Неравенство (2 1 ) равносильно

и неравенство (2 1 ) определяет некоторый полуинтервал (— оо, с). Однако такая критическая область не удовлетворяет соотношениям (16) и (20). (См. упр. 13.) Поэтому величину В следует брать отри­ цательной. Указанная производная будет непрерывно возрастающей функцией, принимающей нулевое значение только в одной точке. Эта точка будет точкой минимума функции g (Qt). Если этот мини­ мум отрицателен (что имеет место, когда А достаточно велико), то (21) определяет два полуинтервала (— сю, с) и (d, сю). Область принятия в таком случае равна (с, d). Отметим, что значения c u d

определяются соотношениями (16) и (2 0 ), которые не зависят от у*21.

Подобным же образом при у}2> < у*'* можно доказать, что констан­ та В должна быть положительной и что область принятия будет ин­

тервалом, удовлетворяющим (16) и (2 0 ) независимо от значения у*2). Таким образом, мы получили равномерно наиболее мощный несме­ щенный критерий.

Теорема 6.3.5. Равномерно наиболее мощный критерий для про­ верки нулевой гипотезы у, = у!-1* против альтернативы уг =£ у!1’

6.3. РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ 297

с уровнем значимости et имеет критическую область

е/.г(в».... v*l))

oo

=( i — 8,) J QA (Q/1 Qo. . . . . Qi—i: TiVQi-

Следствие 6.3.2. Равномерно наиболее мощный критерий для про­

верки гипотезы у, = 0 против альтернатив yt Ф 0 с уровнем зна­ чимости г, имеет критическую область

a/Qo....Qf-i)

и

cu^Qo Qi—l)

<3o> J

oi^Qo Qt—l )

Если условная плотность распределения величины Qt при за­

данных Qq, ..., Qi_ 1 для Y/ = 0 симметрична, то (30) автоматически

поскольку тогда обе части (30) будут равны нулю. При этом (29) можно записать в виде

Равномерно наиболее мощный односторонний подобный критерий можно называть также равномерно наиболее мощным односторон­ ним несмещенным критерием, поскольку из несмещенности крите­ рия вытекает подобие критической области.

Следует отметить, что условное распределение величины Q, при заданных Q0, ..., Q,_i не зависит от значений параметров у0, ...

..., Yi_i. Ввиду этого последним можно приписать любые значения, которые окажутся более удобными. Например, можно взять у0 =

можно рассматривать как сериальный коэффициент корреляции.

терии (13) и (28) могут быть определены с использованием условного распределения г, = QJQa при заданных гъ ..., г,_\.

Частную сериальную корреляцию порядка i при неизменных сериальных корреляциях порядков 1, ..., t — 1 можно определить обычным способом. Мы уже говорили о том, что этот частный се­ риальный коэффициент корреляции может быть использован для проверки гипотезы у* = 0. Поскольку он является линейной функ­

6.3.3. Случаи, когда равномерно наиболее мощного критерия не существует

Имеется целый ряд задач сериальной корреляции, решения которых нельзя получить из теорем 6.3.4. и 6.3.5. Если бы мы хотели проверить нулевую гипотезу

Если альтернативные гипотезы не связывают специальным обра­ зом Рх и р2, то равномерно наиболее мощного критерия для проверки гипотезы рх = р2 = 0 не существует.

Теория, изложенная в этом параграфе, была развита Т. Андер­ соном (1948), (1963).

6.4.ВЫБОР ПОРЯДКА ЗАВИСИМОСТИ КАК ЗАДАЧА СО МНОГИМИ РЕШЕНИЯМИ

Займемся теперь вопросом об определении порядка зависимости на основании наблюдений уъ ..., ут. Будем предполагать, что ис­ следователь может определить некоторый наименьший пг и неко­ торый наибольший р — возможные порядки зависимости. Во мно­ гих случаях m оказывается равным нулю (указывая тем самым на независимость). В других случаях исследователь может в силу ка­ ких-нибудь причин ожидать, что порядок зависимости не меньше некоторого положительного числа т. Ввиду того что имеющиеся наблюдения удалены друг от друга не более чем на Т — 1 единиц времени, ясно, что максимальный порядок р не может быть больше чем Т — 1. Однако ясно также, что для того, чтобы процедура об­ ладала хорошими свойствами в отношении мощности, максималь­ ный порядок р должен быть выбран по возможности много мень­ шим Т — 1.

Исследователь имеет, таким образом, задачу со многими реше­ ниями. Именно, ему необходимо выбрать порядок m, т + 1, ...

..., р — 1 или р. Эта задача подобна задаче выбора степени поли­ нома, представляющего тренд, изучавшейся в разд. 3.2.2. Хотя распределения здесь уже другие, общая структура задачи и ее ре­ шение будут теми же, что и в разд. 3.2.2. Мы формализуем задачу, стоящую перед исследователем, считая, что ему необходимо решить, какому из перечисленных ниже взаимно не пересекающихся мно­ жеств принадлежит параметрическая точка (ym+ i, • • • , ур):

ровка состоит в том, что исследователю необходимо решить, вер­ на ли хотя бы одна и (если да) какая именно из следующих нулевых

гипотез:

Н'р’-Ъ =

Нр.р—1 • Yр — Ур^-1 — 0 *

Нр,р—1 т+ 1 '• Ур — • • • = Y^+i = 0*

Если верна какая-нибудь из гипотез (2), то будут верны и все ей предшествующие. Если же некоторая из гипотез (2) ложна, то бу­ дут ложными и все последующие. Иными словами,

Яр.р—1...... т+1 — Я т .

Предположим, что исследователь намерен непосредственно конт­ ролировать вероятности ошибок, возникающих при неправильном решении о том, что коэффициенты отличны от нуля, когда они в дей­ ствительности равны нулю, т. е. вероятности завышения порядка зависимости. В связи с этим будем считать, что исследователь при­ писывает некоторый уровень значимости каждой из нулевых ги­ потез:

рр= Рг (отвергнуть Н*р| Н*р),

рр+ рр- 1 = Рг (отвергнуть Яр,р_!

причем Pi > 0 и Рр + ... + рт+1 < 1. Поскольку здесь каждая нулевая гипотеза включает в себя последующую (т. е. каждая по­ следующая гипотеза является более сильной), вероятности откло­ нения берутся монотонно неубывающими (т. е. вероятность откло­ нения более сильной нулевой гипотезы, когда она верна, не меньше аналогичной вероятности для менее сильной гипотезы). С помощью взаимно непересекающихся множеств, указанное разнесение по уровням значимости записывается в виде