книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf6.7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
$53 |
|||||
от среднего значения равны |
|
|
|
||||
(70) |
V/ = |
cos Щ- , |
/ = |
1, |
. . , , (Г — 1)/2 = Н, если |
Т нечетное, |
|
(71) |
v ,= |
co s-^ -, |
/ = |
1, |
7 7 2 - 1 = # , v* +1 = |
- l , |
|
|
|
|
|
|
если T четное. |
Теорема 6.7.7. Если случайные величины у1г ..., ут независимы и каждая из них распределена по закону N (р, а 2), а
|
|
т |
|
1—у) |
т |
|
|
|
|
2 (у‘ —у) |
2 у‘Уi- i — т уг |
||||
(72) |
гГ = |
— — f-----------------= |
- ^ 7 ----------------, |
||||
|
|
2 ( w - i i )2 |
|
2 » ? - 7 ? |
|
||
|
|
*=1 |
|
|
6=1 |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
(73) |
|
|
Рг{гГ>/?} = |
| |
, vm+1 < t f < v m, |
||
где v; = |
cos 2ni/T, |
|
|
|
|
||
|
|
|
<Г—1)/2 |
|
|
|
|
(74) |
|
ai — |
П |
(v ,-v /), |
Г = |
3 ,5 ........... |
|
|
|
|
'н* |
|
|
|
|
|
|
|
________ |
Г / 2 - 1 |
|
|
|
(75) |
|
а^ = |
К ^ + 1 |
П (v, — V/), Г = |
4, 6 , . . . , |
||
а т — 1, |
..., (Т — 3)/2, |
еслм Т нечетное, или т — 1, ..., TI2 — 1 |
|||||
если |
Т четное. |
|
|
|
|
|
Р. Андерсон (1942) указал это распределение и вычислил таблицу значений R, при которых функция распределения принимает соот ветственно значения 0.01, 0.05, 0.95 и 0.99. Значения R приведены
в табл. 6 .1.
тт
Распределение отношения 2 |
*W/<-i/2 |
yt можно вывести из |
t= 1 |
t=i |
|
теоремы 6.7.6, если только Т нечетное, поскольку при этом дваж ды встречаются все корни, за исключением лишь одного простого корня cos 2пТ/Т — 1.
Теорема 6.7.8. Если случайные величины У\, ...» ут независимы
икаждая из них распределена по закону N (0, а 2), причем Т нечетное,
6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 355
где v* |
= cos 2ш77\ |
i = |
0, ..., (Т — |
1)/2, и |
|
(78) |
|
|
------------- ( Т - 1 ) / 2 |
|
|
a ; = : K i _ v ; П |
(v; - v ? ) . |
|
|||
|
|
|
/==1 |
|
|
|
|
|
i=4*t |
|
|
Д оказательство. |
Утверждение |
теоремы вытекает |
из теоремы |
||
6.7.6, |
если в последней заменить vf, |
/? и Я н а — v«+i_f. — vo = |
|||
5= — 1, — R* и (T — 1)/2 |
соответственно. [Р. Андерсон |
(1941).} |
6.7.6. Другие распределения сериальных коэффициентов корреляции
В случае сериального коэффициента корреляции, использующего сумму квадратов последовательных разностей остатков от среднего значения, именно
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
(У* —У) (0<-1 — у) + 4- (У1 — У)2+ 4 - (Ут—У)2 |
|
|
||||
(79) |
|
г! - J=!--------------------r - L - ----------- !------------ , |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
(yt — y f |
|
|
|
|
|
|
|
|
/=»i |
|
|
|
|
|
характеристические корни равны cos я t!T, t = |
1, ..., Т — |
1, |
Т =? |
||||||
= 2, |
3, |
.... причем все |
различны. Положим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
h z] |
|
|
|
(80) |
|
|
|
s — |
<=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * |
|
|
|
|
|
Я, — произвольные |
|
t= I |
|
Яг _1 < |
||||
где |
веса, удовлетворяющие |
условию |
|||||||
< кТ - 2 |
< ... < |
Ях. Нейман (1941) |
показал, что если Т — |
1 = |
2Я |
||||
и f (s) — плотность распределения |
s, то |
|
|
|
ли-\
(81)/ » -
|
о, |
|
|
|
^2Л+1 |
Я2Л, |
Л — 1, • . • , Я- |
|
( - 1 ) я ~ й (Я — 1)1 |
^ 2 h < s< h h - u |
h — 1...........Я, |
||||
|
|
/■ |
2Я |
||||
|
|
|
|
|
|||
I |
V |
- |
s |
(s — M |
|
|
|
|
|
|
|
||||
для таких Л, для |
которых указанные неравенства допустимы. (На |
||||||
пример, если |
Я1 = |
Я2 > Я 3 = Я4 > . . . > |
А*2я—1 = %2 н, то неравен |
||||
ство Ям < |
s < Я м- i |
невозможно.) В частности, в интервале Я2а+| < |
< s < Ям плотность / (s) будет полиномом степени не более Я — 2.
356 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.
(В случае если все корни двойные и притом различные, этот резуль тат согласуется с результатами разд. 6.7.4.)
Нейманом было показано, что если все веса Kt различны, то про изводные dk f (s)/ds* непрерывны на отрезке Я2я < s < Ях, k = О, 1, ..., Я — 2 (даже в точках s — \ , t = 1, ..., 2Я). В принципе соот
ношение (81) можно проинтегрировать и получить плотность / (s). Постоянные интегрирования определяются тем фактом, что произ водные порядка, меньшего чем Я — 1, в смежных интервалах имеют совпадающие значения в общих концевых точках этих интервалов (и равны 0 при s = %2 н и s = кг). В интервалах A.2* < s < А.2*_i
знаменатель выражения для ( Я — 1)-й производной от плотности f (s) представляет собой квадратный корень из полинома от s сте
пени 2Я . Если Я |
= 1 |
(Т = 3), то эта плотность равна |
||||
|
|
|
|
|
, > |
^2 <1 s <С A.J, |
(82) |
/(*) |
= |
-I |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
в противном случае, |
а соответствующая ей функция распределения имеет вид |
||||||
(83) |
F(s) = |
j / ( 0 ^ = 4 - + -T arcsin^ T % f M > h < s < K |
||||
и F |
(s) = |
|
Ьг |
s >* |
1 |
% |
1 |
для |
Если # > 1, то в выражении для плот |
ности появляются эллиптические, гиперэллиптические и другие бо лее сложные интегралы.
Если Т — 1 нечетное, то соответствующее распределение можно
получить с помощью следствия 6.7.4 из распределения для четного Т — 1.
В случае сериального коэффициента корреляции (79) имеем %t =
= cos nt/Ty |
t = |
1, ..., |
T — |
1. Распределение |
величины |
г\ |
|
симметрично |
ввиду |
того, |
что |
%T-t = — |
f = 1, |
...» Т — 1. |
Все |
корни образуют пары (положительное и отрицательное значения),
если только Т |
не является четным и %т/ 2 |
— 0. Возможные значе |
ния коэффициента г\ заполняют интервал (—cos я/Т , cos я/71). |
||
6.7.7. Моменты |
и производящие функции |
моментов |
Если п = Qi/Qo, то |
|
|
(84) |
%r\h= W Q r h. |
|
Моменты величин Qj и Q*0 могут быть найдены из характеристиче
ских функций этих величин или из производящих функций их момен тов (моменты положительного порядка получаются дифференциро
6.7. р а с п р е д е л е н и я с е р и а л ь н ы х ко эф ф и ц и ен то в к о рр е л я ц и и 357
ванием, а моменты отрицательного порядка — интегрированием). Однако при нулевой гипотезе независимости (ух = 0) более эффек тивным является вычисление этих моментов с использованием фак
та независимости |
т\ и |
Qo (теорема |
6.7.2). |
|
|
|
||||
Л емма |
6.7.8. |
Если n = |
Qi / Qo |
и у1 — |
0, то |
|
|
|||
(85) |
|
|
|
|
|
= %r\hlQlg. |
|
|
|
|
Т еорема |
|
6.7.9. |
Если г\ — Q*/Qo |
и у1 = |
0, то |
|
|
|||
(86) |
|
|
|
I r t |
1 0 ? |
|
|
|
||
|
|
|
ЪО? ' |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о казательство. |
Это следует непосредственно из леммы 6.7.8, |
|||||||||
если в последней положить g = h.a |
|
|
|
|||||||
Если гг = |
Qy/Q0 и |
= |
0, |
то справедливо аналогичное соотно |
||||||
шение l / f |
= |
SQA/SQ O- |
|
|
|
|
Г-1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно квадратичная форма Qo имеет канонический вид 2 |
2<- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=i |
|
При этом она распределена по закону X2 с Г — 1 степенями свободы. |
||||||||||
|
|
Q0 имеет канонический |
г |
|
|
|
||||
Аналогично, |
вид J |
г<и |
распределена |
по |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
закону X2 с Т степенями свободы. Соответствующие моменты равны |
||||||||||
|
SQo = |
т |
Г { ( Г - 1 ) / 2 + й } |
|
( 7 - 1 ) |
< К |
|
|||
(87) |
Г {(Г - |
1)/2} |
|
|
||||||
|
-Л |
nh Г { Т/ 2 + |
h\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
го |
|
Г [ Т/ 2] |
|
|
|
|
|
Для отыскания &Qht удобнее использовать производящие функ
ции моментов. Если Qx = у'Агу, где Ах — произвольная симметри ческая матрица с характеристическими корнями Х1( ..., ЯгиАо = I, то из следствий 6.7.1 и 6.7.2 получаем для достаточно малых зна чений 0
(88) $e6Q‘ = 11 - 20А, Г 7’ = (1 —20X,)j
(См. упр. 29.) Вычислим (88) для первых трех частных моделей, определенных в § 6.5.
Л емма 6.7.9. Пусть в матрице Ах элементы, расположенные на диагоналях, смежных с главной, равны 1/2, а остальные элементы
353 |
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
Гл. 6. |
равны нулю. |
Тогда определитель DT = 11 — 20АХ| равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
= 1 |
, 2 ............. |
|
Д оказательство. |
Разлагая |
определитель |
DT по элементам пер |
|||||||||||
вой строки, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
— 0 |
0 |
0 |
.. • |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
—.0 |
1 |
-0 |
0 |
1I » |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
0 - 0 |
1 — 0 . • • |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
D T = |
0 |
01 —-0 |
1 . . . |
0 |
|
0 = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
- 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 . . . |
— 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0 —0 .0 . • . |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
1 — 0 |
. • • |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 + 0 |
0 |
— 0 |
1 • . * |
|
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 . . . |
|
1 ■- 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
. • . |
- 0 |
1 |
|
|
|
|
|
= D T^.1-- |
02£>г .- 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Dx = |
1. Таким образом, DT удовлетворяет разностному уравне |
|||||||||||||
нию |
|
|
|
Df — Df_i -|- Q2Dr_2— 0. |
|
|
|
|
||||||
(91) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Характеристическое |
уравнение последнего |
|
|
|
|
|
||||||||
(92) |
|
|
|
|
хг— х + |
02 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
имеет корни (1 ± |
V 1 — 402)/2. Поэтому решением (91) для Q2 Ф 1/4 |
|||||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(93, 0 |
г |
■+ |
ГТ Е У . ) Г + |
С, ( |
' - |
ф |
д * |
) г, |
Г |
- |
1 , 2 . . . . |
|||
Постоянные сх и сг определяются из условий Dx = |
1 |
и D2 = |
1 —02 |
|||||||||||
для 0 ф 0, Т = |
1, 2, |
... . Это и доказывает лемму, необходимую для |
||||||||||||
изучения |
модели |
разд. |
6.5.4. щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 6.7.10. Определитель Ат —11 — 20Аг |, где матрица Аг определяется сериальным циклическим коэффициентом корреляции
6.7. |
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ |
359 |
||||
первого порядка, равен |
|
|
|
|
||
(94) |
1 + |
у \ - 492 у |
+ j |
1 |
_ 2 qT = |
|
Дт — |
|
|
|
|
|
|
|
^ YT+Ш + У1 — 29 |
j7 |
^ )^Г+2ё — /1 ~ ^ 2 ё |
j rjB |
||
|
|
|
|
|
т = 2, |
3, . . . . |
Д оказательство. |
Разлагая |
определитель Ат (сначала |
по эле |
ментам его первой строки, а затем по элементам первых столбцов полученных определителей), получаем
|
|
1 |
-- 0 |
0 |
0 |
... |
|
0 |
0 |
- 0 |
|
|
|
— 0 |
1 —0 |
0 ... |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
0 |
-- 0 |
1 - 0 |
... |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
(95) |
Ат = |
0 |
0 |
- 0 |
1 |
... |
|
0 |
0 |
0 |
_ |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
|
1 —0 |
0 |
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
.... |
- 0 |
1 |
- 0 |
|
|
|
|
—0 |
0 |
0 |
0 ... |
|
0 - 0 |
1 |
|||
|
|
|
|
- 0 |
- 0 |
|
10 ... |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 — 0 ... |
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
0 - 0 |
|
1 |
... |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
- 1 |
+ 0 |
\ |
|
|
|
|
1 |
I |
• |
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||
|
|
Цт |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|0 ... |
1 —0 |
0 |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|0 ... |
■- 0 |
1 - 0 |
||
|
|
|
|
— 0 |
0 |
|
10 ... |
0 —0 |
1 |
||
|
|
|
|
—0 |
1 —0 |
0 ... |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
0 - 0 |
1 —0 ... |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
0 |
о —е1 |
1 ... |
0 |
0 |
|||
|
|
( - 1 )т0 |
* |
1 |
1 |
• |
|
• |
\ |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
с» |
0 ... |
1 |
--0 |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
с1 |
0 ... |
—0 |
1 |
||
|
|
|
|
—0 |
О |
О |
О |
... |
0 --0 |
||
|
|
&т—\— |
T |
+ ( -1)' |
г_| 02 (— 0)г—2—- |
||||||
|
|
|
-WD -2 |
|
|
|
|
|
560 |
|
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
|
Гл. 6. |
_ |
( _ |
1)Г 02 ( _ 0)Г -* + ( _ 1)Г 02 (_ |
I f '1Dr-2 = |
|
= Dr- 1 |
- 202Dr-2 — 20\ |
T = 3, |
4, . . . . |
|
Подстановка сюда выражения (89) приводит к (94). Для |
Т — 2 |
|||
имеем а12 = а21 = |
1 и поэтому Д2 = 1 — 402.щ |
|
|
|
Л емма 6.7.11. |
Определитель Ст — |1 — 20Аа |, |
где матрица Ах |
соответствует модели с последовательными разностями, равен
с |
1—26 |
|
|
|
—1/~1—463 хГ1 |
|
|
(96) |
У 1 — 40* |
1\ |
2 |
/ |
\ |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Т = 2, |
3, |
Д оказательство. |
Разлагая |
определитель |
Ст (сначала |
по эле |
ментам его первой строки, а затем по элементам последней строки одного из получаемых определителей и по элементам первого столб
ца другого), имеем |
|
|
|
|
|
|
— 0 - 0 |
0 |
0 . .. |
0 |
0 |
0 |
|
— 0 |
1 - 0 |
0 . .. |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
— 0 |
1 — 0 . .. |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
— 0 |
1 . .. |
0 |
0 |
0 |
(97) Ст = |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 . |
1 — 0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 . .. — 0 |
1 — 0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 . .. |
0 |
— 0 |
1 — |
|
1 — 0 |
0 ... |
0 |
0 |
0 |
|
|
— 0 |
1 — 0 .... |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
- 0 |
1 .... |
0 |
0 |
0 |
— 0) |
|
|
|
|
|
+ |
|
0 |
0 |
0 . |
1 - 0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 . .. |
- 0 |
1 |
- 0 |
|
0 |
0 |
0 . .. |
|
0 - 0 1 - 0 |
|
0 -- 0 |
|
0 . . . |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 .- 0 . . . |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
-- 0 |
|
1 . . . |
0 |
0 |
0 |
+ 0
0 |
0 |
0 . . . |
|
1 -- 0 |
0 |
0 |
0 |
0 . . . - 0 |
1 — 0 |
||
0 |
0 |
0 . . . |
0 - “ 0 1 — 0 |
362 |
СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ |
Гл. 6. |
где Я = (Т — 1)/2, если Т нечетное, и Я = 772 -- 1, |
если Т чет |
|
ное. в |
|
|
Л емма |
6.7.12. Если QI — (у — уг)' Ах (у — уг), |
А0 = I, а е |
является характеристическим вектором матрицы А1( соответствую щим характеристическому корню 1, и у0 = 1, Тх = 0, то
т ^
для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.
Д оказательство. Эта лемма является частным случаем след ствия 6.7.2. »
Т еорема 6.7.10. Производящая функция моментов квадратичной
формы Q*, основанной на последовательных разностях, при у0 |
= 1 |
|||||
и у1 = |
0 имеет вид |
/ 1 |
|
20 |
|
|
(101) |
i e eQ* = |
— |
|
|
||
|
|
|
|
’ |
||
|
| / 1 + 20 4 - / 1 — 20 j r _ | / 1 + 2 9 - / 1 — 20 / |
|||||
|
2 |
I |
\ |
2 |
I |
|
|
|
|
|
|
Т — 2, 3, |
. . . , |
для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.
Т еорема |
6 . 7 . 1 1 . Производящая функция моментов квадратичной |
||||||||
формы QI, |
основанной на последовательных разностях, при у0 = |
1 |
и |
||||||
— 0 имеет вид |
|
|
|
|
Г |
|
|
||
(102) |
g eeQ* = |
/ Г — 402 |
|
|
|
|
|||
/ |
/ 1 |
— / 1 — 402 |
\ г |
|
|
||||
|
|
1 + / 1 — 402 |
|
|
|||||
|
|
2 |
-/ |
н \ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = 2, 3, |
... |
, |
для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.
Следует отметить, что (102) совпадает с выражением 1/]/25т~ь которое является производящей функцией моментов квадратичной
формы Qi = 2 ytyT-1, определенной в разд. 6.5.4 для Т — 1 на-
<=2
блюдений.
Моменты циклической квадратичной формы Qx можно найти из производящей функции моментов
(103) |
_1_____ | | 1 + / 1 |
— 40а | г/2 | ]/1 |
+ 2 9 |
— / 1 — 29) п |
|
|
|
|
■Г[ |
|
Т 1 - 1 |
|
+ / 1 |
— 402 |
/ 1 + |
29 — / 1 — 29у |
|
|
1 |
||||
|
|
|
/Г + 2 0 + / Г —20/ |
||
|
|
|
|