книги / Общая термодинамика
..pdfНужно отметить, что от формы линий постоянного состава зависят знаки теплоемкости Сш,, и приращения количества пара при изэнтропическом изменении температуры.
В самом деле, согласно § 16-1 на участках, спускающихся слева направо, теплоемкость Ст„ процесса постоянного состава
отрицательна; |
на участках, |
поднимающихся |
слева |
направо, |
|
она положительна. |
|
|
|
|
|
С другой стороны, легко |
убедиться, |
что |
в части |
области |
|
насыщения, в которой линии постоянного |
состава спускаются |
||||
слева направо, |
изэнтропическое (в частности, обратимо-адиаба |
||||
тическое) повышение температуры сопровождается увеличе нием количества насыщенного пара; в части же области насы щения, где линии постоянного состава поднимаются слева направо, при изэнтропическом повышении температуры коли чество пара уменьшается.
Из только что сказанного явствует наличие связи между знаками теплоемкости Ст,, и приращения количества пара
при обратимо-адиабатическом изменении температуры. Суще
ствование этой |
связи может |
быть доказано на основании того, |
||||
что (§ 8-3) |
|
DQ—Cm,,dt -f- Ldm”. |
|
|||
|
|
|
||||
В обратимо-адиабатическом |
процессе |
|
||||
|
D Q =0 |
; d t= d st'y dm "= dsm", |
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dsmU _ |
Cm" |
(16-9) |
|
|
|
|
d j |
- |
L |
|
|
|
|
|
|||
(16-9) подтверждает |
то, |
что |
следует из сказанного немного |
|||
выше: |
|
|
|
|
|
|
Если dst^> 0, |
то |
|
0 |
при Ст , , < 0, и наоборот. |
|
|
Рассмотрим |
(фиг. |
16-10 |
и |
16-11) обратимые адиабаты ABD, |
||
расположенные левее критической точки К , и обратимые
адиабаты abd , расположенные правее К. На |
обеих фигурах |
при постепенном повышении температуры от |
нуля по изэнтро- |
пе ABD количество пара, ничтожно малое в А, возрастает до |
|
В и затем, уменьшаясь, доходит до нуля в точке D. На обра |
|
тимой адиабате abd фиг. (16-10) при повышении температуры от нуля количество пара неизменно возрастает; в точке d
имеем сухой насыщенный пар.
На фиг. 16-11 обратимая адиабата abed целиком располо жена в области насыщения; от а до b количество пара возра стает, от b до е — уменьшается, от е до d — снова возрастает;
офу2 е представляет обратимую адиабату, часть ру которой расположена в области газа.
изводной в А' при приближении к А' из области ненасыщенной
жидкости. Отсюда имеем:
|
л * л |
|
|
* А. |
* А . : |
т. е. в точке |
А' изохора внезапно изменяет направление, ста |
|
новясь более |
пологой. |
|
Таким же образом при переходе из области системы жидкость — пар в область газа изохора (в точке Л"на фиг. 16-12) становится более крутой, так как в точке A"
16-4. О ПРОИЗВОДНОЙ ( ^
Рассматривая изобары на диаграмме Т — S , можно вывести
заключение |
о поведении производной |
, аналогично |
тому |
|
как это было сделано относительно |
производной (Jg fj |
|
||
Однако |
при исследовании |
мы исходим из вида |
изо |
|
терм и линии насыщения на диаграмме р — V Между тем
изотермы, изобары и линии насыщения имеют различный вид для различных веществ, о чем упомянуто в § 2-4,4°.
Очевидно, что желательно формулировку положенйя о про-
изводнои ( ф- ) сделать независимой от вида указанных кри
вых. Этого можно достичь, связав изменения производной |
j |
с удельными теплоемкостями с' и с" на ветвях жидкости и
пара.
Ограничиваясь только изменениями производной (jj^J ПРИ
переходе из области ненасыщенной жидкости в область жидкость — пар и из последней в область газа, мы можем, утверждать, что
|
[16-Е]. На тех участках линии насыщения, где удель |
||
ная |
теплоемкость (с1 или с") положительна, при переходе |
||
из |
однородной области (ненасыщенная жидкость, |
газ) |
|
|
dt \ |
, |
|
|
( -щЛ |
увеличи |
|
вается скачком.
Вместо возрастания имеет место уменьшение этой производной скачком на тех участках линии насыщения, где теплоемкость (с" или с’) отрицательна.
Чтобы убедиться в правильности [16-Е], можно рассмотреть две соседние изобары и линию насыщения. Во всех случаях ветвь жидкости поднимается слева направо, ветвь пара либо спускается слева направо (фиг. 16-13), либо поднимается слева направо (фиг. 16-14, средний участок). При этом нужно по
мнить, что |
= |
Пт |
|
|
, где |
и |
— приращения тем |
|||
пературы и давления |
при изэнтропическом переходе от нижней |
|||||||||
изобары |
к соседней, |
расположенной |
выше. Так, если на ниж |
|||||||
ней |
изобаре |
давление |
равно |
р, на |
верхней р', a Ddd', Ееег и |
|||||
F f f |
— изэнтропы, |
то |
на последних |
значения А^ неодинаковы |
||||||
и соответственно |
равны dd\ ее' и f f ; |
значения же Asp —p '— р |
||||||||
одинаковы для всех |
изэнтроп. |
|
|
|
||||||
|
16-5. ЛИНИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ДИАГРАММЕ Я — S |
|||||||||
|
|
|
|
ЭНТАЛЬПИЯ — ЭНТРОПИЯ |
||||||
|
1°. Наряду с |
диаграммами |
р — V и Т — 5 в технике поль |
|||||||
зуются |
диаграммой Н — 5 , |
на |
которой |
энтальпия (теплосодер |
||||||
жание) |
откладывается |
по |
оси ординат, а энтропия — по оси |
|||||||
абсцисс (фиг. 16-15).
Эта диаграмма получила самое широкое распространение и вошла в обиход техники, так как
а) на ней изображаются прямыми линиями процессы, часто встречающиеся в технике (изэнтальпа, изэнтропа, изотерма в системе жидкость — пар);
б) на ней легко измерить приращения теплосодержания, необходимые в ряде технических расчетов.
Каждому состоянию соответствует вполне определенное значение теплосодержания. Но H ^ U ^ p V ; значения же U в
отдельных состояниях нам неизвестны, следовательно значе ния Н в каком-либо состоянии также неизвестны.
Ввиду того что Т и V положительны, имеем:
(16-13)
(16-13) показывает, что при изэнтальпическом увеличении энтропии давление должно падать, и наоборот.
3°. Теперь нам предстоит выяснить общий вид изобар, изо хор и изотерм на диаграмме Я — S. С этой целью следует
прежде всего, как это указано в § 16-2, определить частные производные
/ дн\ |
’ |
( дН \ |
/ дн \ |
|
V d) vs |
и I ) t |
|
Начнем с изобары А\А2. |
|
|
|
Производная |
в некоторой точке Л изобары (фиг. 16-16) |
||
равна tg(p^, где — угол, образованный касательной аА к изо
баре с осью энтропий:
( $ ? ) , = • » , -
Но по §16-5 прие?р=0
dРH—TdРS,
’
ИЛИ
= т=
(16-14)
т. е. частная производная энтальпии по t при p=const равна абсолютной температуре Т (в точке А).
Так как абсолютная температура не может быть ни отри цательной, ни бесконечно большой, то в любой точке любой изобары 0 < Т < оо и, следовательно,
|
0 < tg (Py, < ° ° . |
(16-15) |
т. е. угол |
всегда положительный и острый; |
поэтому на |
диаграмме Н — S изобара всегда поднимается слева направо.
Легко показать, что изобара обращена выпуклостью к оси 0S. В самом деле, пусть точка А' изобары расположена пра вее А и бесконечно близко к ней (фиг. 16-17). Тогда элемен тарное приращение dpS энтропии при переходе от Л к Л' будет положительным (dpS > 0 ).
Если |
элементарный процесс АА' обратим, |
то |
||||||
|
|
|
|
|
DnQ = C d J = T d DS. |
|
||
|
|
|
|
|
|
р р |
р |
|
Так |
|
как Ср '^> 0 |
всегда, |
Т ^>О и |
по условию dpS > 0, то |
|||
имеем: dpt > 0; |
следовательно, температура в точке А' выше |
|||||||
температуры в точке А: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
T'=T-\-dpt > T |
|
||
или |
на |
|
основании (16-14) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t g < P p > t g V |
|
|
|
Это |
и значит, |
что |
изобара |
А\АА2 обращена |
выпуклостью к |
|||
оси |
0 S . |
|
|
|
|
|
|
|
4°. Чтобы получить представление |
о расположении и форме |
|||||||
изохор |
и изотерм, |
следует |
определить частные производные |
|||||
(~51г) |
и |
(“5 §") |
Эти производные — функции состояния, поэто |
|||||
му для их определения можно предположить изохорный и
изотермический процессы обратимыми и |
положить dS — ^ |
|||||
Тогда, имея в виду, что Щ |
= |
|
и |
( * ) = 1 : |
= 1: |
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
д Н \ |
|
|
|
(16-17) |
|
|
os )t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
где cpj, и — углы, |
образованные |
касательными к изохоре и |
||||
изотерме с осью 0S. |
|
|
|
|
|
|
Условимся рассматривать |
наиболее |
распространенный слу |
||||
чай, т. е. системы, |
в которых |
> |
0. |
Тогда по |
[7-Л] |
|
|
|
|
/ > < 0 . |
|
|
|
Сравнив (16-16) и (16-17) с |
(16-14), имеем: |
|
||||
|
tg (PI, > |
tg (P p > tg <P/ |
|
(16-18) |
||
для систем, в которых |
|
|
|
|
|
|
|
Ш > ° |
» * |
< |
0. |
|
|
в каждой точке диаграммы Н — S;
для систем, в которых |
|
tg'P<>tg<P/J>tg<plI |
(16-18') |
в каждой точке диаграммы Я — S.
В последующем будем рассматривать только случай (16-18), так как систем, к которым применимо (16-18'), мало.
Приняв |
|
|
|
> 0 . |
видим, |
что |
|
правая |
часть (16-16) всегда |
||||||||
положительна |
и'конечна; |
поэтому |
из (16-18) вытекает: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Фиг-16'18)- |
|
|
|
||||
Таким образом, в координатной системе |
Я — 5 |
изохора |
|||||||||||||||
поднимается |
слева направо |
и оказывается круче изобары, на |
|||||||||||||||
нигде не имеет касательной, перпендикулярной к оси 0S. |
|||||||||||||||||
Будучи |
в каждой |
точке |
диаграммы |
|
|
|
|
||||||||||
Я — S |
круче |
изобары, изохора должна |
|
|
|
|
|||||||||||
быть |
обращена, как |
и изобара, |
выпук |
|
|
|
|
||||||||||
лостью к оси 0S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5°. Мы условились рассматривать си |
|
|
|
|
|||||||||||||
стемы, в которых й<0,поэтому в (16-17) |
|
|
|
|
|||||||||||||
tg<p, может быть положительным, отри |
|
|
|
|
|||||||||||||
цательным |
и равным нулю. |
|
|
|
,, |
|
|
|
|
||||||||
Так, |
в |
идеальном |
газе |
по |
(10-27) |
|
|
|
|
||||||||
Ь—— V; |
|
следовательно, |
1 - ( - у = 0 |
и |
|
|
|
|
|||||||||
t g = |
0 |
, |
т. |
|
е. |
изотерма |
должна |
быть |
|
|
|
|
|||||
прямой, параллельной 0S ; |
иначе говоря, |
|
|
|
|
||||||||||||
в случае идеального газа изотерма |
совпадает |
с |
изэнтальпой, |
||||||||||||||
как и следует из сказанного |
в ( 1 |
0 |
-2 |
1 ), при п = |
const. |
|
|||||||||||
В системе жидкость — пар Ь — |
= — оо(так как dp — 0 |
||||||||||||||||
при t — const) |
и по (16-17) и (16-14) |
tg <ft = |
Т = |
tg <fp, |
т. е. изо |
||||||||||||
терма |
совпадает |
с изобарой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вообще |
же |
во |
всех состояниях, в которых |
у |
< 1, t g >0- |
||||||||||||
и изотерма |
|
должна |
подниматься |
|
слева наяраво (фиг. 16-19). |
||||||||||||
Можно представит^ себе и такие случаи, когда ‘ -г |
> |
1 ; тогда |
|||||||||||||||
tg<p,<0, т. е. на диаграмме Я — S изотерма должна спускаться слева направо (D{D2, фиг. 16-20). Однако, если ограничиться
областью жидкость — пар и прилегающими к ней областями жидкости и газа, то случай tg ^ -^ O не имеет места.
То обстоятельство, что на диаграмме Н — S поведение
изотерм отличается от поведения изохор и изобар, тесно свя
зано |
с |
отличием поведения |
изэнтальп от |
поведения |
изохор |
||||||||
и изобар (см. задачу 16-14) |
на диаграмме Т — S. |
|
|
|
|||||||||
16-6. ДИАГРАММА ЭНТАЛЬПИЯ-ЭНТРОПИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ЖИДКОСТЬ — ПАР |
|
|
|
|
|
||
1°. По |
таблицам |
для системы жидкость—пар можно для |
|||||||||||
каждой |
температуры |
установить |
удельные энтропии и энталь |
||||||||||
пии s', |
h’ |
и s", |
h" |
насыщенных |
жидкости |
и |
пара. |
Выбрав |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
температуры |
так, |
чтобы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
интервалы |
между |
ними |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
были малы, |
и |
построив |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
на диаграмме |
h — 5 |
точ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ки А', В', С , К, опреде |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ляемые |
парами |
значений |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
s '-иА', соответствующими |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
выбранным |
|
температу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
рам,получим нижнююпре- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дельную кривую |
А'В'С'К |
||||
|
|
|
Фиг. |
16-21. |
|
|
(фиг. 16-21). Таким же спо |
||||||
|
|
|
кривая А"В"С"К. Обе |
собом получается верхняя |
|||||||||
предельная |
эти кривые образуют непре |
||||||||||||
рывную плавную |
линию — кривую |
насыщения. Непрерывность |
|||||||||||
линии А'В'С'КС"В"А" легко доказать, исходя |
из |
соотношения |
|||||||||||
L — h" — h'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В критической |
точке |
£, = 0, и поэтому h" — h'\ в § 16-3 было |
|||||||||||
также |
показано, что |
в |
^критической точке s" — s'. Итак, обе |
||||||||||
ветви |
встречаются в точке К. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||