книги / Общая термодинамика

Выберем ординату у т прямой 1'а2', параллельной Ох, так, чтобы имело место равенство

УтАВ=Ут(Х2— Хl ) = ° I J .

или

пературу, так как теперь начальным и конечным состояниями

‘В котором только что указанное усло­ вие не соблюдено: на участке lb энтро­ пия возрастает, а на участке Ь2 — умень­ шается. Такие процессы не будут рас­ сматриваться при определении средних температур. Таким образом, элементар­ ное приращение dS на любом участке процесса 1а2 будет иметь тот же знак,

fTdS

^Г > 0 и, так как dS и (S 2— одного знака, дробь

должна быть положительной.

3°. Введем еще однопонятие. Когда процесс 1а2 обратим,

IT d S -Q \аГ

1а2

В этом случае средняя температура может быть выражена также через теплоту Qla2, полученную системой извне в те­

чение процесса 1а2\

Условимся называть эффективной ту температуру, которая определяется по формуле (15-5), независимо от того, обратим процесс или нет.

Обозначим эффективную температуру через Те, и чтобы отличать обратимые процессы от необратимых, теплоту послед­ них будем отмечать чертой сверху (Qla2).

ТQ\a2

е'

Эффективная температура обратимого процесса совпадает

равна нулю. При изотермическом расширении идеального газа, имеющего температуру Т, эффективная температура может принять любое значение, не превышающее Т. Действительно, если осуществляется необратимое адиабатно-изотермическое расширение в пустоту, эффективная температура Те= 0; если

изотермическое расширение обратимо, Те=Т\ наконец, если необратимое изотермическое расширение неадиабатно, но изо­

динамично, ТО 0 < Q la2<Qia2 И ПОЭТОМУ 0 < Те < Т.

15-5. ДИКЛ КАРНО, ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ДАННОМУ

1°. Перейдем от отдельных процессов к циклам. Пусть (фиг. 15-8) 1а2Ы — произвольный цикл. Цифрами 1 и 2 обо: значены состояния, в которых энтропия имеет наименьшее и наибольшее значения.

В процессе 1а2 энтропия возра­ стает; обозначим через Те эффектив­ ную температуру процесса 1а2:

T'е = CA=Da.

В процессе 2Ы энтропия постоянно убывает; пусть эффективная темпера­

тура этого процесса будет Т”:

T”=C $= D B .

Изотермы Ла, вр и изэнтропы |5Л, аВ вместе образуют цикл ЛаВрЛ, который может рассматриваться как обратимый цикл Карно. Он называется эквивалентным данному произвольному циклу 1а2Ы.

Пусть We — внешняя работа, а Q — тепло, полученное извне в течение цикла 1а2Ы:

Q = <3|a2+ ^2»1: We= ~ Q -

Те же величины в течение обратимого цикла ЛаВ(ЗЛ будут:

В силу обратимости

Q A . = K ( s . - SA ) = K i S , - - 9,);

Q v = T ” ( S , - S J = f ; ( S , - S J .

Но по (15-6)

П ( 5 2- 5 , ) = 0 ;а2; ^ ' ( 5 , - 5 , ) = ^ , .

Отсюда получаем:

®Ал~®\а2> ФвЭ= @261>

поэтому

Q=Q; W = W e.

Таким образом, в течение рассматриваемогоцикла 1а2Ы и ему эквивалентного обратимого цикла Карно АаВ$А оди­ наковы:

тепло, полученное системой на участке цикла, где энтропия возрастает;

тепло, отданное системой на участке, где энтропия убы­ вает;

внешняя работа и тепло в течение всего цикла.

Этим оправдывается термин „эквивалентный", относящийся к обратимому циклу Карно.

2°. Преимуществами эквивалентных циклов Карно являются их обратимость и вытекающие отсюда простые зависимости между работой, теплотой и температурами верхней и нижней изотерм.

Благодаря простоте этих зависимостей нетрудно вывести

вращения часовой стрелки, то скрытая теплота на верхней изотерме положительна. Система, в которой совершаются такие циклы, является тепловым двигателем.

В обратимом цикле dcbad Карно (фиг. 15-3), совершаю­ щемся против часовой стрелки,

Таким образом, если обратимый цикл Карно совершается так, что его контур на диаграмме Т—5 обходится в направ­ лении, противоположном вращению часовой стрелки, то скры­ тая теплота на верхней изотерме отрицательна. Как мы уже знаем, система, в которой совершаются такие циклы, пред­ ставляет собой тепловой насос.

15-6. ТЕРМИЧЕСКИЙ К. П. Д. ТЕПЛОВОГО ДВИГАТЕЛЯ

1°. Первые тепловые двигатели были значительно менее совершенными, чем .теперь; тем не менее удобства, вносимые ими, были очевидны. Наиболее крупным их дефектом был несоразмерно большой расход топлива. Как влияют на рас­ ход топлива природа теплоносителя (т. е.

системы, совершающей работу в двига­

тельном исследовании Сади Карно („Раз­ мышления о движущей силе огня", 1824 г.), положившем начало развитию термодинамики.

2°. При расчете экономичности дви­ гателя существенную роль играет поня­

тие теплового к. п. д. цикла двигателя, который в последую­ щем ради краткости будем называть к. п. д. двигателя.

Схема рассуждений, приводящих к этому понятию, такова. Пусть (фиг. 15-9) Q' — положительное тепло, получаемое системой в течение цикла 1а2Ы. Если состояния 1 и 2 вы­

тельна. Следовательно, Q'=:Q{a2. Отрицательное количество тепла обозначйм Q''; очевидно, Q" = Q261.

Как мы уже знаем, в цикле двигателя

поэтому

Чтобы сообщить системе количество тепла Q', нужно из­ расходовать количество топлива N , причем, очевидно, N z=z = kQ\ где k — коэффициент пропорциональности. Тепло |Q''|, отдаваемое системой, первое время после появления двига­ телей вовсе не использовалось. Поэтому обстоятельства пред­ ставлялись в следующем .виде: в течение цикла двигателя затрачивается количество топлива N для сообщения системе Q' единиц тепла; при этом отрицательная внешняя работа рав­ на W0.

при условии, что убывание энтропии, неизбежное при совер­ шении цикла, происходит при температуре абсолютного нуля; такое убывание энтропии практически неосуществимо.*

3°. Очень просто определяется термический к. п. д. обра­ тимого двигателя, работающего по циклу Карно.

В самом деле, по (!5-1)

показывает, насколько изменяется состояние в изотермическом

процессе: чем больше приращение S b— S a, т. е. чем сильнее S b

где s" и s'— удельные энтропии насыщенных жидкости и пара при температуре Т\ = Та;

km" — приращение количества пара.

Приращение Sb— Sa пропорционально km"; следовательно, чем больше приращение количества пара, т. е. чем сильнее состояние b отличается от состояния а, тем больше (S b—5 а).

Другой пример: пусть граммоль идеального газа расши­ ряется от объема va до объема vb; приращение энтропии

sb - s a = R T l n ^ .

может быть пропорциональной массе системы. В самом деле, при расширении п граммолей идеального газа

Sb - S a = nRTl п - £ ,

термическом процессе изменяется состояние системы. (15-15) можно формулировать так:

[15-В]. Термический к. п. д. двигателя, работающего по обратимому циклу Карно,

зависит только от температур верхней и нижней изотерм (и вовсе не зависит ни от природы системы, ни от ее массы, ни от изменений состояния в результате изотер­ мических процессов).

Чем меньше отношение абсолютных температур нижней и верхней изотерм, тем ближе т\ко к единице.

Следует обратить внимание на то, что в обратимом цикле

коэффициент которых был бы выше к. п. д. обратимого цикла Карно при тех же край­ них температурах.

Это предложение очень важно; ниже оно точно формулировано и подробно ра­ зобрано.

Обратимый цикл Карно CcDdC, в котором температура верхней изотермы равна наивысшей температуре Тк , а тем­

пература нижней изотермы—наинизшей температуре Tt, назы­

вается циклом Карно, сопряженным с данным.

Нужно отличать цикл Карно, сопряженный с данным, от цикла Карно, эквивалентного данному. Эквивалентными в на­ шем случае являются:

1)цикл АаВЬА Для обратимого цикла lk 2 ll, причем тем­ пературы изотерм Аа и ВЬ обозначены Та и Ть\

2)цикл FfH hF для необратимого, но допускающего обра­ щение цикла lk 2 ll; причем эффективные температуры для участков lk 2 и 211 суть Tf и Th

т. е.

[15-Г]. Если температуры верхней и нижней изотерм обратимого цикла Карно соответственно равны наивысшей и наинизшей температурам источников в течение произ­ вольного цикла двигателя, то термический к. п. д. по­ следнего меньше термического к. п. д. цикла Карно.

В этой теореме цикл может быть как обратимым, так и необратимым, но допускающим обращения. ,

Следующая теорема позволяет установить верхний предел термического к. п. д. произвольного необратимого цикла дви­ гателя, когда имеются только два источника тепла:

[15-Д]. Если произвольный необратимый цикл двига­ теля и обратимый цикл Карно осуществляются при на­ личии тех же двух источников тепла, то термический к. п. д. первого меньше термического к. п. д. второго.

Это вытекает из второго начала термодинамики.

получают теплоту от источника А, а отдают источнику В; температуры источников тА и тв ; тл> т в .

Обозначим положительную теплоту, отрицательную теп­ лоту, внешнюю работу и термический к. п. д. цикла Карно

через QK, QK, WeK, ч\к, а те ж£ величины необратимого цикла—

через Q', Q", We, rt.

можно изменить направление цикла; тогда система станет тепловым насосом, работающим по циклу Карно.

Пусть циклы необратимого двигателя и теплового насоса начинаются и завершаются одновременно. Тогда за это время будет получено от источника А количество тепла Q'zzrQ' —

— QK, от источника В Q”=zQ" — Q” = 0, или по (15-17)