книги / Общая термодинамика
..pdfили на |
основании (11-15) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
_ т ы (р2) |
|
|
|
|
|
W, |
°о = |
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
а так |
как |
при Р| = р2 также |
w l = w 2, то должно |
быть о, = о2. |
|||
Однако обратное утверждение несправедливо: если 0 != :а 2) то |
|||||||
нельзя |
утверждать, |
что р, = |
р2 и |
w l = w 2. |
|
|
|
3°. |
В дальнейшем нам понадобится лучше вникнуть в смысл |
||||||
(11-15). |
Из |
единственности |
обратимой адиабаты |
(см. гл. |
12) |
||
в системе |
с тремя |
параметрами |
следует, что |
в любой |
си |
||
стеме координат (р — v, v — t и др.) обра тимая адиабата — вполне определенная кривая и две такие адиабаты не пере секаются. Это, в частности, означает, что в системе координат р — v каждому значению р соответствует на заданной обратимой адиабате только одно значе ние v, что и выражено в (11-15).
Одновременно при наличии нескольких обратимых адиабат некоторому значе нию р соответствует по одному значе нию v на каждой адиабате (фиг. 11-7).
Поэтому для определения значения v по данному значе нию р нужно еще указать адиабату. Это нетрудно сделать, пользуясь тем, что через точку диаграммы может проходить только одна обратимая адиабата. Пусть рассматриваемая обратимая адиабата проходит через точку As, координаты которой ps, PJ . Тогда, чтобы указать адиабату, можно вместо (11-15) написать так:
v=z<f(p,A s) или v = <р(р, ps, vs). |
(11-16) |
Смысл (11-16) таков: на обратимой адиабате, проходящей через точку As (p , vs), каждому значению р соответствует одно значение v.
11-6. ТЕЧЕНИЕ И СКОРОСТЬ ЗВУКА
1°. Ряд свойств и особенностей обратимого адиабатиче ского стационарного течения связан со скоростью звука в те кущей среде.
Как известно, скорость звука а выражается формулой
где индекс s указывает, что |
производная |
др |
берется |
в пред- |
|||||
положении обратимо-адиабатического процесса. |
|
|
|||||||
Можно написать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11-17') |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
dsP |
|
|
|
|
(11-18) |
|
|
а2 = |
v -у—,----- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ds lnv |
|
|
|
|
|
|
как известно, коэффициент |
адиабатической |
сжимаемости |
|||||||
|
т = |
_ |
J _ (*»\ |
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
|
v [ |
dp )s |
|
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— v № ) |
= |
— |
и сс2 = |
— |
|
|
(11-17") |
||
Как объем, так и производная |
|
и |
ys зависят |
от дав- |
|||||
ления. Поэтому при |
различных |
давлениях |
скорость |
звука |
|||||
в одной и той же среде будет различна. |
|
|
|
|
|
||||
Если при течении давление изменяется от |
|||||||||
одного сечения к другому, |
то в |
различных |
|||||||
сечениях скорость звука будет неодинакова. |
|||||||||
Из (11-17") следует, |
^ITO |
скорость |
звука |
||||||
тем больше, чем меньше ys. |
|
|
|||||||
"Например, в |
случае |
жидкостей, далеких |
|||||||
от |
критического |
состояния, |
коэффициент ул., |
||||||
очень мал. Поэтому в таких |
жидкостях ско |
||||||||
рость звука |
очень велика. |
Если |
пренебречь |
||||||
сжимаемостью жидкостей, т. е. принять ys = 0 , то нужно считать скорость звука в них бесконечно большой.
Если (фиг. 11-8) 5 и S — обратимые адиабаты двух различ ных однородных систем, то в точке пересечения А адиабат уу
больше для того тела, адиабата которого |
более полога. Сле |
||||||
довательно, |
скорость зву'ка в |
этом теле |
будет меньше. |
||||
|
В газах на одной и той же |
адиабате скорость звука умень |
|||||
шается с уменьшением |
давления |
(т. е. увеличение |
объема) |
||||
и |
суремится |
к нулю, |
когда |
давление |
стремится |
к нулю |
|
(а |
объем — к |
бесконечности). |
|
|
|
|
|
|
Действительно, написав уравнение адиабаты в виде: |
||||||
|
pvk — В — const, |
и м е |
е |
м ~ |
£ = - р ^ т |
|
|
По (11-17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
«2 = - |
‘>2 ( | ^ |
= |
+ |
- ^ т . |
причем |
А > 1 . |
|
|
||||
2°. Перепишем |
(11-9) |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
— vdsp = wdsw = .w 2ds \nw, |
|
(1Ы 9) |
|||||||||
(11-18) и |
(11-19) дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a2ds lnv — w 2ds \nw. |
|
(11-20) |
||||||||
Эту |
зависимость легко |
|
связать |
с |
зависимостью |
(11-7). |
||||||||
Если последнюю прологарифмировать, получим: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
In /и-|-In у = In о-|- In да. |
|
|
|
|||||||
Дифференцируя |
и помня, |
что в стационарном течении |
||||||||||||
|
|
|
|
т = const |
и dlnm = |
0, |
|
|
|
|||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds \nv = |
d \no-\-ds \nw. |
|
(11-21) |
|||||||
Воспользовавшись (11-20), |
чтобы исключить d In у из (11-21), |
|||||||||||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dlna = ^ |
— l)d ,ln w . |
|
(11-22) |
|||||||
(11-22) применимо во всех случаях |
обратимо-адиабатического |
|||||||||||||
стационарного течения |
и позволяет |
непосредственно |
сделать |
|||||||||||
несколько |
существенных |
заключений общего характера. |
||||||||||||
Прежде |
всего |
заметим, |
что |
возможны |
два случая, |
когда |
||||||||
ds = 0 и d lna = |
0: |
площадь |
поперечного |
сечения |
постоянна |
|||||||||
на всем |
протяжении |
канала, и тогда |
о = |
const и do = |
0, или |
|||||||||
do = 0 |
только в |
отдельных |
|
сечениях, |
в которых а |
достигает |
||||||||
экстремума (максимума или минимума). |
|
|
|
|||||||||||
Из (11-22) вытекает; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
* * ф 0 , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
т ф а ; |
dw^O; d p^O ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
do = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw = |
0 |
и dp = |
0 или w = |
а. |
|
|
|||||
и в стационарном течение произведение то окажется одина
ковым |
во всех сечениях канала: |
|
|
|
|||
|
|
|
то — const. |
|
|
|
|
При |
этих |
условиях |
из (11-7) и (1 l-9f получим: |
|
|||
|
|
zw = то = const, |
|
|
(11-24) |
||
|
|
т2 — Т| = — оАр, |
|
|
(11-25) |
||
где |
|
|
Д р = |
р 2 — р , . |
|
|
|
Так |
как |
в несжимаемой |
жидкости |
(§ |
11-6,1°) |
а = -|-оо, |
|
(11-22) дает: |
|
|
|
|
|
|
|
еИпо-)- ds \nw = 0, |
или |
In (ow) = |
const; zw = |
const, |
|||
т. e. то |
же, |
что и (11-24). |
|
|
|
|
|
Соотношения (11-24) |
и (11-25) позволяют |
ответить на ряд |
|||||
вопросов, связанных с течением жидкости, удельный объем
которой постоянен. |
|
Прежде всего из (1 Г-24) следует, что |
скорость стационар |
ного течения обратно пропорциональна |
площади поперечного |
сечения канала. С другой стороны, изменения скорости и дав ления всегда имеют разные знаки. Следовательно, знаки из менения площади сечения и давления одинаковы. Например, если желательно, чтобы в направлении течения давление падало, то в этом направлении канал должен суживаться.
Допустим, даны площадь о одного из сечений и скорость течения w в этом сечении. Согласно (11-24) этого достаточно для определения расхода (в предположении, что удельный объем известен).
Расход легко определить и в том случае, если дана разность
давлений Др в сечениях |
А, и А2, |
площади которых |
0 | и о2. Дей- |
ствительно, по (11-24) |
w\ — |
2 |
на основании |
и |
(11-25) можно написать:
Отсюда
(11-26)
«■.2
В частном случае, если |
= 0, то вместо (11-24) имеем: |
ч2 = — о&р; отсюда
Эту формулу можно получить и из (11-26). Действительно,
стационарное течение может иметь место только |
в |
случае, |
||||||||
если oj = |
oo при |
W\ — 0. Положив |
в (11-26) о, = оо, получим |
|||||||
(11-27). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11-8. ТЕЧЕНИЕ ГАЗООБРАЗНОЙ СИСТЕМЫ |
|
|
|||||||
1°. Постоянство удельного объема очень упрощает процесс |
||||||||||
течения и ёго |
исследование. |
Рассмотрим теперь течение ка |
||||||||
кой-нибудь газообразной системы (идеальный или |
реальный |
|||||||||
газ, влажный насыщенный пар и т. п.), |
когда |
нельзя |
прене |
|||||||
брегать сжимаемостью. |
|
|
|
|
|
|
||||
Представим, |
что в |
канале |
имеется сечение |
Л0, |
в |
котором |
||||
скорость |
течения |
пренебрежимо |
мала, |
и можно |
положить |
|||||
w0 = 0; о0 |
оо. |
Это |
сечение |
условимся |
называть |
исходным |
||||
и величины, относящиеся к нему, будем отмечать индексом (0);
так, |
р0, v0 |
будут |
давление |
и |
удельный |
объем |
в |
исходном |
||||||||||
сечении А0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Конечное |
сечение |
|
канала— устье — обозначим |
через |
Л', |
|||||||||||||
а давление, |
удельный |
объем, |
площадь |
сечения и скорость |
||||||||||||||
течения в |
устье — через р\ |
v\ o' и w\ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разберем |
сначала |
случай, когда |
р' = |
0, |
т. е. когда |
давле |
||||||||||||
ние, |
падая, |
переходит |
от |
значения р0 в исходном сечении |
||||||||||||||
к значению |
= 0 в устье. При этом скорость звука, имеющая |
|||||||||||||||||
наибольшее |
значение |
а0 |
в сечении |
Л0, |
будет |
уменьшаться |
||||||||||||
в направлении течения и станет |
равной |
нулю |
в устье; |
о.' = |
0; |
|||||||||||||
скорость |
же |
течения |
будет |
возрастать |
(d w > 0) |
от |
w 0 = 0 |
до |
||||||||||
наибольшего значения w' в устье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда следует: — = |
0; |
— очень |
|
мало |
в |
сечениях, |
близ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
а 0 |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ких |
л |
W |
|
велико |
в |
сечениях, |
^ |
|
|
|
л . |
|
W* |
|
||||
к Л0; — очень |
близких |
к А |
и —= |
|
||||||||||||||
|
и |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в сечениях, близких к А0, |
|
— 1^<0, |
в |
се |
||||||||||||||
чениях же, |
близких |
к А', |
разность |
|
— 1^ > 0 |
и |
велика. Сле |
|||||||||||
довательно, |
в канале |
должно |
быть |
сечение |
А , |
в котором |
||||||||||||
|
|
|
|
w„ |
|
|
|
|
|
|
|
am. |
|
|
|
|
(11-28) |
|
|
|
|
|
^ - — 1 = 0 , или wm = |
|
|
|
|
||||||||||
Согласно зависимости |
(11-22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( J — |
|
= |
|
rflno; |
|
|
|
|
|
|
|||
кроме того, |
dw~> 0, |
поэтому в сечениях близких к А0, сИпо<0 |
||||||||||||||||
и й з < 0; |
в сечениях, |
|
близких к |
А', |
сИ п о> 0 |
и d a > 0 , |
а в |
се |
||||||||||
чении Лт сПпз = 0 |
й d.3 — 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
названа линией скорости течения. DBmD' и ССтС' — линии ско рости звука и давления.
На фиг. 11-10 представлены в случае „а“ линии давления,
скорости течения и части |
линии скорости |
звука для различ |
|||
ных значений давления |
в |
устье, |
как |
угодно близких к рт, |
|
но меньших, чем рп. Левые |
части |
(от |
Л0 |
до Ат) этих линий |
|
не зависят от р'. |
|
|
|
|
|
Каждому значению р'^соответствуют своя линия давле ния, линия скорости течения и линия скорости звука в правой части (от Ат до Л'). Например, при р' = р| линии давления и
скорости течения в правой части будут: С С\ и В1ПВ[
Другие свойства горлозины в случае , а “ можно выразить так:
[11-Е]. В стационарном обратимо-адиабатическом те
чении |
системы, |
в |
которой |
v = y (р, |
р0, t>0), |
давление, |
|||||||
удельный объем, |
скорость |
течения |
и |
удельный |
расход |
||||||||
в горловине |
(т. е. |
|
рот, vm, wm, p.m) вполне |
определяются |
|||||||||
давлением и удельным объемом (р0, и0) |
в исходном |
се |
|||||||||||
чении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
по |
|
(11-16) |
и |
(11-17') |
при |
о = |
<р(р, |
р0, |
и0) |
|||
а2 = __у2 (др\ |
— |
У- |
_ |
|
[у (Р. Ро. |
|
|
|
|
|
|
||
\dv)s |
,dv |
|
|
df (p, p0, p0) • |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
\dp)s |
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив — У р Pp’; p j |
через |
<j>{p, pg, v0), имеем: |
|
|
|||||||||
|
|
(>P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = |
<!>(P, |
|
Po, |
o0): |
al = <KPm. Po. yo). |
|
(11-30) |
|||||
С другой стороны, интегрируя (П-9) в пределах р0 и р, на ходим:
рр
X — т0 = — J* vdp — — j <р(р, Ро. vo)dp-
|
Ро |
|
По |
|
|
|
Этот интеграл, |
очевидно, |
является |
функцией |
р, р0, у0> кото |
||
рую обозначим |
через F {p , |
р0, и0); |
тогда |
|
|
|
Помня, что |
* — *о = Р(Р> |
Ро. |
уо)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем: |
|
|
|
|
|
(11-31) |
w 2 — 2 F (р, ро, |
»0); w* |
= 2 |
Д(рт , Ро, |
»0). |
||
Но в случае „а“ wm= ащ или по (11-30) и (11-31)
2^ (P m. Ро, Vo) = t(P„,> Ро, »<>)•
Отсюда следует, что рт— функция р0, у0:
Рт= « (Ро, Щ). |
(11-32) |
Внося (11-32) в выражения (11-9), ( 11-30),(11-31) и равенство (11-7):
W
1 = ВИДИМ, что vm, wm (а, следовательно, и am = wm, ит
о\
\
т n — -^ J и также являются функциями р0, vQ.
Таким образом, теорема [11-Е] доказана.
Из нее вытекает, что в случае „а“ расход при стационар ном обратимо-адиабатическом течении вполне определяется
площадью |
поперечного |
сечения |
ат горловины |
и |
значениями |
Ро, 0О. |
|
стационарном течении расход т оди |
|||
Действительно, при |
|||||
наков во |
всех сечениях; |
поэтому |
т = пгт=:\ътот, |
а |
согласно |
[11-Е] — функция р0, v0. |
|
|
|
|
|
Из изложенного выше непосредственно вытекает следую
щий результат: |
|
|
|
|
|
[11-Ж]. Для |
того чтобы в стационарном обратимо |
||||
адиабатическом |
течении |
сжимаемой |
системы |
давление |
|
в устье |
канала |
оказалось меньше значения рт =(о(р0,о0) |
|||
[определяемого |
(11-32)], |
необходимо |
наличие в |
канале |
|
горловины. |
|
|
|
|
|
При |
этом часть А0Ат канала будет дозвуковой, а часть |
||||
АтА' — сверхзвуковой.
Если на протяжении всего канала давление, посто янно падая, оказывается в устье больше рт = <ю(р0, у0),
то канал должен быть суживающимся (и не иметь гор ловины); при этом течение будет дозвуковым.
Этот результат справедлив в случае не только газообраз ной, но и любой другой сжимаемой системы.
3°. Выше было показано, что случай „а“ невозможен при течении несжимаемой жидкости; очевидно, он практически не может возникнуть, если сжимаемость текущей жидкости мала. Наконец, нужно помнить, что в случае „а“ давление р' в устье меньше ш(р0, v0); следовательно, случай „а“ не может иметь место при р'>(о(р0, vQ).