Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Общая термодинамика

..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
29.73 Mб
Скачать
☆

Действительное

движение

каждой частицы

системы, обла­

дающей внешним

движением,

складывается

из термического

и внешнего движений.

 

 

2°. Количество движения и момент количества движения системы, в которой происходит только термическое движение, всегда равны нулю. Это следует из беспорядочности движе­ ния частиц и из того, что их число очень велико. Действи­ тельно, если какая-либо частица, масса которой т , имеет ско­

рость 1 w, то всегда найдется частица той же массы т ,

движущаяся со скоростью — w. Ввиду этого сумма Еmw, являющаяся количеством движения системы, должна быть равна нулю. Аналогично, если момент количества движения

какой-нибудь частицы равен р., то всегда найдется другая ча­

стица, момент количества движения которой равен —|х. По­

этому сумма Ер., представляющая собой момент количества движения всей системы, будет равна нулю.

Весьма существенно, что равенство нулю сумм Еmw и Ер. справедливо в отношении не только всей системы, но и каж­ дой ее небольшой части, если только число частиц, заключен­ ных в ней, достаточно велико.

Рассмотрим теперь системы, не находящиеся в покое. Пусть, например, газ движется по трубе или цилиндр, в который за­ ключен газ, придет в поступательное движение со скоростью

w n. Ясно, что в этом случае к скорости w

термического движе­

ния каждой частицы прибавится скорость wn поступательного

движения цилиндра; вследствие этого

количество движения

всей системы будет не нуль,

а(Е m )w n, где

Em — масса

всего

газа.

Пусть w. — скорость

 

 

 

3°.

/-той частицы

во внешнем

дви­

жении,

а т. — ее масса. Тогда

 

 

 

Т =

Vmr w]

 

( И - D

 

2

 

представляет собой живую силу системы во внешнем движении.

До сих пор мы применяли первое начало только к систе­ мам, внешней кинетической энергией которых можно было пренебречь. В тех случаях, когда внешняя кинетическая энер­ гия не пренебрежимо мала и может изменяться, первое начало термодинамики пишут так:

dT + dU =D Q + DWe.

(11-2)

1 В § 11-1 — 11-4 чертой над буквами отмечается векторный характер величин.

в) Предположим, что внутренняя поверхность канала на­ столько гладка и вязкость текущей системы настолько мала, что трением о стенки и внутренним трением системы можно пренебречь.

г) Допустим, что при отсутствии трения можно считать тече­ ние обратимым даже тогда, когда скорости течения значительны.

2°. С понятием стационарного движения мы познакомились в теории дросселирования. Но при дросселировании, скорости принимаются пренебрежимо малыми, а при течении они могут достигать весьма больших зна­ чений; поэтому здесь нужно дать более общее определение стационарности.

Стационарным называется такое течение, при котором в каждой точке канала скорость течения, давления, температу-

Фиг. 11-1.

ры и все удельные величины постоянны, т. е. не зависят от времени; каждая из этих величин может изменяться при пере­ ходе от одной точки канала к другой.

Пусть части В\ и В2 текущей системы (фиг. 11-2) имеют равные массы и в момент t\ занимают положения 1-V и 2-2'. Если течение совершается в направлении В\—*В2, то часть В и перемещаясь и деформируясь, достигнет в некоторый после­ дующий момент t2 участка 2-2' канала. При стационарном те­

чении состояние части В { системы

в момент t2, когда В\ зани­

мает участок 2-2'

канала, ничем не отличается от

состояния

части В2 в момент

t\.

 

 

 

 

 

 

3°. В канале, наполненном текущим веществом,

мысленно

выделим среднюю

 

часть,

заключенную в момент t

между

се­

чениями 1

и 2 (фиг. 11-2),

и будем

рассматривать

ее как

си­

стему. Так

как сио-тема течет, то

она будет

перемещаться и

деформироваться и в некоторый последующий момент V ока­

жется расположенной между сечениями V и 2'.

Обозначим

участки между поперечными сечениями 1, 1'; V, 2; 2, 2' соот­

ветственно

через

 

В\,

В\2 и В2. Ясно, что в момент t система

состоит из

частей

 

В,

и B i2, а в момент t' — из частей В Х2 и В2,

причем часть B i2— общая.

 

 

 

 

Массы

частей

В ь

В 12, В2 будем

обозначать

соответственно

через m,, mi2, т2.

Так как тепловое движение

не принимается

в расчех, то нужно считать, что система состоит из одних и тех же частиц и ее масса неизменна. По определению стацио­ нарности масса части B i2 также неизменна. Таким образом

т.

e.

 

 

 

-f- m,2=m,2 -f- m2,

 

(П-5)

 

 

 

m x—tn2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частицы,

которые

в

момент t

были между

сечениями 1 и

2,

окажутся

в

момент

V между

сечениями

V и 2';

поэтому

гп\ — это масса

того

количества

вещества, которое

протекло

через сечение 1 в промежуток t'— t времени, а т2 — масса ко­ личества, протекшего через сечение 2 за тот же промежуток времени.

11-3. „РАСХОД", „УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ"

1°. Масса (или вес) количества вещества, протекшего через некоторое сечение канала в единицу времени, называется рас­

ходом в

этом сечении.

 

 

 

 

 

 

 

При стационарном течении расход в данном сечении не

должен зависеть от времени. Поэтому,

обозначив расход через

т ,

имеем:

 

dm

Дт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11-6)

 

 

 

т ~~ЗТ ~ дГ ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

d m — масса

элементарного

количества вещества, протек­

 

 

шего

через рассматриваемое

сечение за

время dt\

 

Д т — масса

конечного

количества,

протекшего

за конеч­

 

 

ный промежуток

времени Дл

 

 

 

 

 

Рассмотрим

расходы т х и т2 в сечениях

/ и 2 (фиг.

11-2).

По

обозначениям § 11-2,3°

т х и т2— массы

количеств,

про­

текших через сечения / и 2 за время

V — 1\ поэтому

 

причем

= т2. Следовательно, m , = m 2.

 

 

 

Ввиду произвольности выбора сечений 1 и 2 это равенство означает, что в стационарном течении расход во всех сече­ ниях один и тот же. Это свойственно только стационарным течениям.

Пусть а — площадь рассматриваемого сечения, a m

расход. Отношение u.

—

равно расходу через еди-

о

с

at

ницу площади поперечного сечения и называется удельным расходом. При переменном сечении канала удельный, расход в стационарном течении меняется от сечения к сечению.

2°. Пусть

 

|х, v и w — удельный

расход,

удельный

объемы

скорость

течения

в рассматриваемом

сечении,

площадь кото­

рого о (фиг.

11-3).

в момент t

 

 

 

 

 

 

Частица,

находившаяся

в этом

wdt

 

сечении, пройдет за время dt путь- wdt и все

 

частицы, протекшие за время dt через это

 

 

 

сечение, будут находиться в бесконечно ма­

6

 

 

лом цилиндре, высота, площадь основания и

 

 

 

объем которого wdt] о; dV =zow dt.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

масса

вещества

в

этом

объеме

 

 

 

равна dm, а его удельный

объем

в рассма­

 

 

 

триваемом сечении v; тогда

dV = vdm

и,

таким

образом,

 

 

 

 

dV =

owdt = vdm.

 

 

 

 

 

Разделив

на

dt,

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

т

 

w

 

 

 

(11-7)

 

 

 

 

— = mv =

GW, —

 

V

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

*

о

 

 

 

 

 

Каждое из равенств (11-7) называется

уравнением

непрерыв­

ности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11-4. ОСНОВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

 

 

 

 

Основное

уравнение теории течения

проще

всего

получить

из теоремы

динамики: „Произведение

ускорения

ас

центра

масс системы на ее массу равно векторной сумме F

всех внеш­

них сил

(т ас

- F).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив

через а с1 и F t

проекции

а. и F на ось OL канала,

имеем:

 

 

 

macl = F l

 

 

 

 

 

 

(П-8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осью крнала называют геометрическое место центров его поперечных сечений; если ось — кривая линия, то за OL при­ нимают касательную к ней в рассматриваемом сечении.

Согласно § 11-2,1° „б“ и „в“ пренебрегаем силой тяжести и считаем стенки канала гладкими, т. е. что внешнего трения нет. Таким образом, Ft является проекцией только сил внеш­

него давления.

Применим (П-8) к части текущей среды (фиг. 11-4), за­ ключенной между сечениями 1 и 2 канала, нормальными к его оси и находящимися на бесконечно малом расстоянии dl друг от друга. Обозначим площади этих сечений и внешние давле­

ния

на

них <зь

а2

и рь р2; ввиду

бесконечной

малости рас­

стояния

между

сечениями о2 = а, +

do,

p2 = Pi-|-dp. Проекции

сил,

образуемых давлениями р х и р2,

будут:

 

 

 

F u = 9|/>i;

F 2l = — о2р 2 =

— (о, + da) (р,

+ dp).

Нам следует еще учесть силу F 6 , образуемую давлением р'

боковой

поверхности

канала.

Для

вычисления

проекции F a

этой силы представим

себе боковую поверхность

канала раз-

 

 

 

4

/1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фиг. 11-4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

битой

на

бесконечно

узкие

полоски,

поверхности

которых

do6 . От нормального давления

этой

полоски

возникает сила

dF6, проекция

которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF6l = do6(р ' cos а) =

р' (dCo cos о),

 

 

где (фиг. 11-5)

do6 cos а

равна

проекции

dog на

плоскость ш,

параллельную сечениям 1 и 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

На

фиг. 11-5

ab и■e f

изображают

соответственно 4зб и р';

^ = ^

=

cosa;

b c-ef =

ab -eg . Так как р'

на всех полосках оди­

наково,

то

 

F6i = № F 6i=p'$do6cosa,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем

интегрирование

производится

по

всей

боковой поверх­

ности,

и поэтому

| da6 cos а равен

проекции

всей

боковой по­

верхности на о),

т. е. равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 — 0 |= do.

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P i< P ' < p 2 > т. е. p ’ =

pi +

kdp,

где

0 < А < 1 ;

 

следовательно,

F 6l =

p'do =

(pi + kdp) do.

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= F и +

F2i +

^6t= ° i/71—

(3 i ■+" ^ 3) (P i

+ dp) +

 

 

 

 

 

 

+ {p i -{-kdp) do;

 

 

 

 

 

ограничиваясь

членами

первого

порядка

малости,

получаем

из (11-8)

окончательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тас1 =

— о,4р.

 

 

 

 

 

Чтобы

определить произведение тас1, заметим, что если

р —

плотность,

а

V — объем всей

части канала

между сечениями

1 и

2,

то

т =

рV и V = ajd/ с

точностью

до

бесконечно

ма­

лых

величин

второго

порядка

и выше. Теперь

имеем:

 

 

 

 

fa\acldl =

— 3jdp,

или a cfll ~ — vdp\

 

так как

К.

 

 

 

р — =

ри =

1,

 

 

 

 

 

 

 

1 m

1

 

 

’

 

 

 

 

то

 

 

 

—

=: у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

другой

теореме

механики, если

^ — проекция ско-

рости течения на

ось

OL,

то

acld l= z ^ ~

 

Но скорость w тече­

ния параллельна

оси OL,

т. е. w ^ w , и

окончательно:

 

 

с^ ~ — — vdp,

или

wdw =

— vdp.

 

(11-9)

Это и есть основное

уравнение

 

теории

течения.

Здесь

w —

скорость

течения в

сечении,

в

 

котором

давление р,

a dw

и dp — элементарные

изменения

 

скорости

течения

и давления

при переходе от

этого сечения

 

к

другому, бесконечно

близ­

кому. Согласно § 11-2 течение в отсутствие трения считается обратимым.

Таким образом, (11-9) относится к любому обратимому

стационарному

течению.

 

 

 

 

В последующем будем

рассматривать

только адиабатное

течение; в этом

случае

по

(6-59)

 

 

 

d ji = vdsp.

(11-Ю)

Кроме того, обозначив через т

кинетическую энергию единицы

массы, имеем:

 

 

 

 

 

 

т =

у

;

d'z = wdw.

(11-11)

Итак, основное уравнение (11-9) обратимо-адиабатного ста­ ционарного течения (индекс s) может быть записано в сле­ дующем виде:

ds Ц- = ds‘с = wdsw = — vdsp = — dsh\

( 1112)

dx -\ -dih = Q.

22 А. Л. Акопян.

(11-12) приводят к следующему заключению:

[11-Б]. Какова

бы ни была природа текущей системы,

в стационарном

адиабатическом обратимом течении

можно изменить скорость, только изменив давление. При переходе вдоль канала от одного сечения к другому приращения скорости и давления всегда имеют разные знаки.

Так, для того чтобы осуществить течение с постоянно возрастающей скоростью, необходимо, чтобы в направлении течения давление постоянно падало.

Если, наоборот, мы хотим добиться увеличения давления при течении, скорость течения должна уменьшаться.

11-5. ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАВИСИМОСТЯХ

(11-7) и (11-12)

1° Пусть стационарное течение происходит по каналу,

изображенному на фиг 11-6.

Возьмем два соседних сечения Л

и А'. В сечении А скорость, давле­

ние и площадь обозначим

через w,

р,

о;

соответственные

величины в

сечении А' пусть

будут w\ р', о'

 

Положим р 1— р =

4р;

w' — W—

= Lw и выберем соседние сечения

А и А' так, чтобы

разность йр была

небольшой.

 

 

 

 

 

Отношение ^

показывает,

ка­

 

 

д р

 

 

*

 

кой была бы разность скоростей

течения в двух сечениях,

если

бы

разность давлений между ними равнялась единице.

 

 

При приближении сечения

А! к А 4р уменьшается; в

пре­

деле, когда 4/?-» О,

 

 

 

 

 

 

lim

До>

dw

 

 

 

 

Jp

~dp

 

 

 

 

Д/7->О

 

 

 

 

 

_dw

Др dp

Эту производную легко определить для стационарного об­ ратимого адиабатического течения из основной зависимости

(11-9):

wdw — — vdp.

Действительно, отсюда и из (11-7) находим:

dw _ v

_

о

(11-13)

dp — ~ ~ w

~~

п1;

 

Это соотношение справедливо,если одновременно не удовлет­ воряются тождественно равенства dw = 0 и dp — 0, что мо­ жет иметь место, например, в прямолинейном канале посто­ янного сечения.

Так как т постоянна, то из (11-13) следует, что произ­

водная ^ отрицательна, прямо пропорциональна площади о

рассматриваемого сечения и больше ни от чего не зависит. Таким образом, (11-13) приводит к следующим заключе­

ниям:

а) Всегда в сечении, площадь которого очень велика (в пре­

деле

а = оо), абсолютное значение производной

^

очень

ве­

лико

(в

пределе

dwdp

= оо).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

постоянном

расходе

и

конечном

значении

v

пло­

щадь а очень велика, если скорость w очень

мала

(^=^0).

 

б) В сечении с минимальной

площадью (з = а

) производ­

ная ^

имеет минимальное

абсолютное

значение,

и

поэтому

d

dw

= 0,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

dp

 

 

d dw

a*wd2

 

ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при a =

a

 

 

 

(H-14)

 

 

 

 

 

-г- = -т-9- = 0

 

 

 

 

 

 

 

dp dp

dp

 

 

 

r

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ип22

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

линия w = f( p )

имеет в этом

сечении

точку

пере­

гиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

Если в канале имеются сечения

с

одинаковыми пло­

щадями, то в этих сечениях производные ^

 

должны

быть

равны. Например, на фиг. 11-6

площади

сечений

В

и С

оди­

наковы

(ад = а с );

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(dw\

 

_/dw\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\dP/B

 

\dp)c

 

 

 

 

 

 

 

Следствия „а“ и „б“ позволяют без вычислений составить

себе

правильное

представление

о линии w ~ f( p )

в ряде

тех­

нически важных

случаев.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Из уравнения обратимой

адиабаты

идеального

газа

 

/

 

 

 

pv

А

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

const

 

 

 

 

 

 

следует, что в обратимо-адиабатических процессах объем идеального газа является функцией давления. Исходя из един­ ственности обратимой адиабаты (см. § 12-8), можно показать что этот результат справедлив для любой системы, зависящей

от

трех

параметров.

Таким

образом,

мы

должны

принять,

что

в обратимо-адиабатическом процессе

объем

и

удельный

объем

любой такой

системы

зависят

только

от

давления:

 

 

 

v =

(в (р ).

 

 

 

(11-15)

Однако вид функции ш(р) известен только для идеального газа.

(11-15) и (11-9) приводят к следующей теореме:

[11-В]. Если в двух сечениях давления одинаковы, то при обратимо-адиабатическом стационарном течении скорости в этих сечениях тоже должны быть одинаковы.

В самом деле, по (11-9) и (11-15) для произвольных сече­

ний А х и А2 имеем:

Очевидно, при р { = р2

 

 

 

 

 

 

 

 

| <»(p)dp =

0,

 

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т, =

т2.

 

 

 

Но

 

 

 

w\

 

w\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1=

~2~ ’

т2 ^

~2

 

 

Таким образом, при р х= р2 имеем:

 

 

 

 

 

т, = т 2;

mi =

w2.

 

 

Это и есть теорема [11-В].

 

 

 

 

Легко

установить на основании

этой теоремы,

что

равен­

ство давлений,

а следовательно, "и

скоростей может

иметь

место только в

сечениях

канала, имеющих одинаковые пло­

щади. В

самом

деле, соотношение mv = ow можно

переписать

так: о =

mv

п

 

 

 

 

 

 

—

. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

mv*

а9 =

tnvо

 

 

 

 

 

о. = — - ;

— - ,

 

 

 

 

 

1

 

1

w2

 

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности