книги / Общая термодинамика
..pdfРассмотрим, например, соотношение (14-4); перепишем егс так:
Умножив обе части на Т; тогда можем |
(14-4) представить в |
|
виде: . |
|
(14-52) |
Ф |
1 = т( ж ) . |
|
Это равенство можно |
прочесть так: |
|
[14-3]. Теплота обратимого изобарного увеличения объема на единицу равна произведению абсолютной тем пературы на частную производную давления по темпе ратуре при постоянной энтропии (т. е. в обратимо-адиа батическом процессе).
Таким же образом можно преобразовать соотношение (14-43).
Как и во всех аналогичных случаях формулировка [14-3]
поясняет с м ы с л . а не определяет численное значение
этой величины. В |
общем |
случае |
Ф |
-у |
при Ц — Vj = l. |
||
5°. Вот два примера применения законов взаимности: |
|||||||
По (14-17) |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
(14-17) получено в |
предположении, |
что |
параметрами системы |
||||
являются m — const; V и |
t. |
|
|
|
|
|
|
Поэтому t и V независимы |
друг |
от' друга и |
|
||||
( - С~) |
— Т Г— |
( — |
) |
] — |
Т |
|
|
\ дИ Л |
LW |
\ dt |
jv \ t |
|
|
|
|
но по (14'48> ( § ) , |
= ( - ! ) „ ' |
|
|
|
|
|
|
Окончательно |
[ ц |
щ |
= |
т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14-53) |
Взяв вместо (14-17) равенство |
Ср = Т^щ^ |
, легко получим: |
||||||||
|
(?£р) = т |
l d t \ d p )t\p |
|
|
|
|
||||
|
\ Ф |
h |
|
|
|
|
||||
Заменив частную производную ( ^ - ) ее выражением (14-49), |
||||||||||
придем к формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
= - Г |
® |
й , |
|
|
|
|
<Н-54) |
|
(14-53) и (14-54) были получены другим путем |
в |
§ |
13-6. |
|
||||||
14-7. ЭНТРОПИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА |
|
|
|
|||||||
1°. Обозначим буквами s и с |
энтропию и объем |
граммоля |
||||||||
идеального газа. Согласно (14-38) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
s = Rlnv + |
<p(f). |
|
|
|
|
(14-55) |
|||
Здесь <р(t) — произвольная |
функция |
интегрирования. |
|
|||||||
Из (14-55) следует, что всякое |
изотермическое |
изменение |
||||||||
объема идеального газа |
вызывает |
одинаковое |
по знаку |
изме |
||||||
нение его энтропии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О физическом смысле функции ср(^) легко |
составить |
пред |
||||||||
ставление, если в равенство dS = |
^г |
подставить |
|
выражения |
||||||
для dS и DQ. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rdlno-\-d<f(t) = ds = |
cv- ^ - \ - jr d V , |
|
|
(14-56) |
||||||
причем -у- = ~ |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* Р (0 |
= |
<\,-т |
|
|
|
|
04-57) |
|
и интегрирование |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?(0 = |
j |
cv-j~ + |
a, |
|
|
|
|
||
где а — интеграционная |
константа. |
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что согласно (14-57) |
cv = |
. |
|
|
|
|
||||
2°. В той области температур, в которой^ |
может |
счи |
||||||||
таться постоянной, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому |
y{t) = |
cv \nT + |
a |
(14-59) |
|
и |
|||||
s — Я In и |
cv In Т -)-й. |
(14-60) |
|||
|
|||||
Пусть при v = 1 |
и Т — 1 энтропия |
идеального |
газа равна |
||
s|(l; из (14-60) легко |
увидеть, |
что |
|
|
|
Выражение (14-60) энтропии идеального газа получается непосредственно интегрированием выражения (14-56), если счи
тать cv постоянной |
и помнить, |
что ■— = |
. |
|
|
|
|||||||
3°. По (10-17) в идеальном газе |
|
|
Сопоставив |
это |
|||||||||
равенство с |
(14-57), |
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ж |
= Т |
^ ^ > или |
du = |
Td<?(t). |
|
(14-61) |
|||||
Это |
равенство, |
|
связывающее |
du и dy(t), |
в |
ряде |
случаев |
||||||
весьма |
полезно. |
п = |
|
pv = RT и Inn = In Я - ] - In Т — In р, |
|
||||||||
Так |
как |
при |
1 |
то |
|||||||||
(14-55) |
можно переписать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s = |
— Я In р -(- Я In Я |
Я In T -j- <p(t) |
|
|
|||||||
или, положив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим: |
|
Я In Я + |
Я In Г - f «р(0 = |
ф(0, |
|
|
(14-62) |
||||||
|
|
|
s = |
— R In p + |
<p(t). |
|
|
|
(14-63) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это |
выражение |
нами |
получено |
другим путем [см. (14-40)]. |
|||||||||
В идеальном |
газе |
ср — cv -\- R. |
Поэтому |
при |
cv = const |
||||||||
имеем |
(14-59): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R In Т -|- <р(t) = |
а -)- (Я -(- cv) ЫТ = ср ЫТ -f- а |
|
|
|||||||||
и, положив |
а-\- Rln R = Ь, получим |
из (14-63) |
формулу |
|
|||||||||
|
|
|
s = |
— R\np-\-cp lnT + |
b, |
|
|
(14-64) |
|||||
аналогичную (14-60). К (14-64) приводит |
интегрирование выра- |
||||||||||||
жения |
ds = |
~Y — ср - j------- f d p . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4°. |
Во всех приведенных выражениях с , |
cv, |
v, |
<?(t), |
ф(£) |
||||||||
и s относятся к граммолю идеального газа. Энтропия |
п грам* |
молей, очевидно, равна: |
|
5 = ns. |
(14-65) |
Таким образом, |
умножив каждое |
из |
выражений |
(14-55), |
|||||||
(14-60), (14-63) и (14-64) на п, получим |
выражение |
энтропии п |
|||||||||
граммолей идеального газа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как видим, выражение |
энтропии |
идеального |
газа |
содер |
|||||||
жит произвольную константу. Это происходит |
потому, |
что |
|||||||||
термодинамика |
дает |
только |
дифференциальные соотношения, |
||||||||
и при их интегрировании |
такая константа |
неизбежно появ |
|||||||||
ляется. Это имеет место и по отношению |
к |
другим |
призна |
||||||||
кам, таким как |
внутренняя |
энергия |
U, |
свободная энергия F |
|||||||
и т. п. Однако |
при пользовании интегральными соотношениями |
||||||||||
нас в основном интересуют изменения |
этих |
величин |
при |
пе |
|||||||
реходе из одного состояния |
в другое |
|
В этом |
случае |
произ |
||||||
вольные константы исключаются и неопределенность отпадает.
З А Д А Ч И
14-1. В координатной системе Г — S изобразить обратимый цикл Карно 12341 в двух предположениях:
имея в виду, что в координатной системе р —- V из изотерм 12 и 34 верхней является 12.
14-2. Показать, что контур обратимого цикла должен обходиться в
одном и том же направлении на диаграммах р — V и Т — S. |
|
|
|||||
14-3. Пользуясь результатом задачи |
14-2, показать, |
что |
в координатной |
||||
системе Т — 5 изохора |
круче изобары. |
|
|
|
|
|
|
Указание. Рассмотреть |
на диаграммах р — V и Т — 5 |
обратимый |
цикл |
||||
1231, где 12— изохора, 23 — адиабата и |
31 — изобара, |
имея |
в виду |
оба |
воз |
||
можных случая: |
|
|
|
|
|
|
|
14-4. Пользуясь1диаграммой Т — S, |
показать справедливость теорем § 7-2 |
||||||
о том, что теплоты |
всех |
обратимых |
элементарных |
процессов, |
имеющих |
||
общие начало и конец, одинаковы, а теплоты всех обратимых элементарных процессов, имеющих общее начало.,.*! направленных к одной обратимой адиа бате, имеют один и тот же знак.
14-5. Пусть при одинаковых объемах Vi температура и давление идеаль
ных газов А и В соответственно ta\ра\ tb, р ь. Оба |
газа |
изотермически рас |
|
ширяются до объема V2. |
|
|
|
Определись отношение |
— приращений энтропий |
газов В и А. |
|
|
а |
|
|
14-6. В идеальном газе |
совершается обратимый цикл, состоящий из |
||
двух изохор и двух изобар. |
Непосредственным |
вычислением приращений |
|
энтропии в каждом из процессов цикла показать, что ^ dS = 0.
14-7. Расширение в пустоту — необратимый процесс и поэтому к нему
неприменима зависимость dS = |
* |
|
Помня, |
что энтропия — признак системы, |
определить приращение энтро^ |
|||||||||||||
пии идеального газа при его расширении 12 |
в |
пустоту, |
рассмотрев после |
|||||||||||||
довательность 132 двух обратимых процессов: |
изохорного |
13 |
и |
изобар |
||||||||||||
ного 32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в любом (обра |
||||
|
14-8. Определить приращение энтропии идеального газа |
|||||||||||||||
тимом или |
необратимом) |
изотермическом процессе |
12, исходя из того, что |
|||||||||||||
из состояния 1 в состояние 2 |
можно |
прийти |
посредством |
обратимых адиа |
||||||||||||
батного 13 и изохорного 32 процессов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
14-9. Определить приращение энтропии Произвольной системы в обрати |
|||||||||||||||
мом элементарном изодинамическом процессе. |
|
|
|
приращения |
энтропии |
|||||||||||
|
Полученный результат применить к определению |
|||||||||||||||
идеального газа в любом конечном изодинамическом процессе. |
|
|
|
|||||||||||||
|
Указание. Энтропия — признак системы; |
поэтому |
|
вместо |
любого |
изоди- |
||||||||||
намического |
процесса можно |
рассматривать |
обратимый изодинамический |
|||||||||||||
процесс. |
|
|
|
|
политропическом |
процессе, |
происхо |
|||||||||
|
14-10. Показать, что в обратимом |
|||||||||||||||
дящем в идеальном газе, теплоемкости |
С |
и |
Cv |
которого |
постоянны, при |
|||||||||||
ращение энтропии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
So — *Sj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где \— показатель политропы; |
Tt и Т2 — начальная и конечная температуры. |
|||||||||||||||
К каким результатам приводит это выражение |
в случае |
обратимых |
изотер |
|||||||||||||
мического (Х=1) |
и адиабатного |
(). = Ср — Cv ) процессов? |
|
|
|
|
||||||||||
14-11. U, Я, |
S — внутренняя |
энергия, энтальпия |
и |
энтропия. Исходя из |
||||||||||||
того, |
что dS — полный дифференциал, доказать: |
что |
удельные |
(или моляр |
||||||||||||
ные) |
внутренняя |
энергия |
и* энтальпия идеального |
газа |
являются функциями |
|||||||||||
только температуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Указание. Воспользоваться выражениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dU = |
TdS — pdV\ |
dH = |
TdS -f- Vdp. |
|
|
|
|
|
|||||
14-12. Какова зависимость между p, v, t в системе:
а) удельная (или молярная) внутренняя энергия которой зависит только от температуры;
б) удельная (или молярная) энтальпия которой зависит только от тем пературы.
14-13. Установить уравнение состояния системы, для^ которой одновре менно справедливы оба пункта „а“ и „6“ задачи 14-12.
Г Л А В А П Я Т Н А Д Ц А Т А Я
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ (ТЕРМИЧЕСКИХ) МАШИН
15-1. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ: ДВИГАТЕЛИ И „НАСОСЫ"
1°. Необходимость в поднятии к. п. д. тепловых двигате лей дала толчок зарождению и развитию термодинамики.
Со своей стороны термодинамика сразу указала правиль ные пути решения вопроса и открыла новую область приме нения тепловых машин.
В настоящей главе изложены основные и вместе с тем простейшие применения термодинамики в теории этих машин.
2°. Напомним, что соотношения |
|
|
||
|
Q = ф DQ и |
We = |
|
|
выражают тепло, полученное системой извне |
в течение цикла, |
|||
и работу внешних сил за тот же период. |
|
|
||
Тепловой |
машиной называется система, |
описывающая |
та |
|
кие циклы, в течение которых |
|
|
|
|
|
< } ф 0; |
1Ге ^ 0 . |
|
|
При этом, так как согласно первому началу |
Q-\-W e — 0, |
то |
||
Q > 0 , если |
U ^<[0, и наоборот. |
|
|
|
Тепловые |
машины, в течение циклов которых |
|
||
< 3 > 0 и г е < 0 ,
называются тепловыми двигателями.
Таким образом, если машина является тепловым двига телем, то внешние силы совершают отрицательную работу.
Если в течение цикла
|
Q < 0 , |
a |
We > 0, |
то такие |
тепловые машины |
называются тепловыми насосами. |
|
О подразделении тепловых |
насосов и их назначении будет |
||
сказано |
в § 15-8. |
|
|
15-2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЦИКЛОВ ДВИГАТЕЛЕЙ И НАСОСОВ
1°. Выясним" особенности' циклов обоих типов тепловых машин.
Прежде всего очевидно, что система, совершающая адиа батные циклы, не может быть тепловой машиной, так как в таком цикле
Q—0 и Г е= 0 ,
а это противоречит определению § 15-1, 2°.
Системы, в. которых совершаются циклы с одним источ ником тепла, также не могут быть тепловыми двигателями. Действительно, согласно второму началу (12-5) при наличии одного только источника внешняя работа не может быть от рицательной.
Если цикл с одним источником необратим, то Q < 0 и We^>0', следовательно, система может быть тепловым на сосом.
С этим тесно связано понятие „вечного двигателя вто рого рода14. Допустим, что при наличии одного только источника цикл мог бы быть циклом двигателя. Тогда в каче
стве такого |
источника |
можно |
|
|
было |
бы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
принять |
океан |
или атмосферу, |
|
и ввиду |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
весьма значительной массы воды в океа |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
не и воздуха в атмосфере двигатель |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
функционировал |
бы |
весьма |
продолжи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тельное |
время, |
отнимая |
у них |
|
тепло и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
понижая |
их температуру. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Такому двигателю дали название „веч |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ного двигателя второго рода4 Согласно |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
второму |
началу |
он неосуществим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2°. Из сказанного вытекает, что толь |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ко при наличии не менее |
|
двух |
|
теплоисточников |
система |
мо |
|||||||||||||||
жет |
быть тепловым |
двигателем, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим |
цикл |
Карно. Пусть |
этот цикл обратим. |
Тогда |
|||||||||||||||||
(фиг. |
15-1) |
согласно |
|
§ |
13-3 |
тепло, |
сообщаемое |
|
системе |
за |
|||||||||||
весь |
цикл, |
и внешняя |
работа |
выражаются |
формулами |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
— т |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 а |
|
‘ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qabcda |
|
Qab |
|
|
J a |
|
|
|
|
|
(15-1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
— T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Weabcdaeabcda —^abQi |
л |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J n |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
легко |
вывести, |
что |
если |
Та ~>Тс , |
т. е. если |
ab |
яв |
|||||||||||||
ляется верхней |
изотермой, |
а ей — нижней |
и |
цикл |
abeda |
совер |
|||||||||||||||
шается |
по |
часовой |
стрелке, |
|
то |
|
Q |
и Qab имеют |
один знак, |
||||||||||||
a We— противоположный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В цикле debad, совершающемся против часовой стрелки, |
|||||||||||||||||||||
верхней изотермой будет Ьа, |
|
нижней — dc. |
Ввиду |
обратимо |
|||||||||||||||||
сти |
Qba= — Qab\ (15-1) |
теперь |
|
заменятся |
следующими |
равен |
|||||||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 а |
|
|
|
|
|
|
[15-А]. Обратимый цикл Карно abeda является циклом |
||||||||||||||||||||
|
теплового |
двигателя, |
если скрытая |
теплота |
|
на верхней |
|||||||||||||||
|
изотерме |
положительна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
[15-Б]. Обратимый цикл Карно debad будет циклом |
||||||||||||||||||||
|
теплового |
насоса, |
если скрытая |
теплота |
на |
верхней изо |
|||||||||||||||
|
терме |
отрицательна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь следует отметить, что циклы abeda |
и debad являют |
||||||||||||||||||||
ся обратимыми; |
поэтому |
|
из |
|
[15-А] |
и [15-Б] вытекает, что |
|||||||||||||||
при обращении цикла Карно цикл |
|
двигателя |
становится цик |
||||||||||||||||||
лом насоса', |
и наоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
